西北师大附属中学2006届高三毕业班3

西北师大附属中学2006届高三毕业班
数学基础能力综合测试（三）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、若在则且αααα,cos sin ,0tan ><
（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 2、已知集合等于则若a N M Z x x x x N a M ,},,03|{},0,{2φ≠⋂∈<-== （ ） A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、8
3、函数)10()1(log <<-=a x y a 的定义域为
（ ）
A 、),2[+∞
B 、]1,(-∞
C 、（1，2）
D 、]2,1(
4、设10<<<a b ，则下列不等式成立的是
（ ）
A 、12<<b ab
B 、0.50.5log log 0b a <<
C 、222<<a b
D 、12<<ab a
5、某地区高中分三类，A 类校共有学生4000人，B 类校共有学生2000人，C 类校共有学生3000人.现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A 类校抽取的试卷份数应为（ ） A 、450 B 、400 C 、300 D 、200
6、如图，函数)(x f y =的图象如下，则函数)(x f y =的解析式为 （ ）
A 、)()()(2x b a x x f --=
B 、)()()(2b x a x x f +-=
C 、)()()(2b x a x x f +--=
D 、2()()()f x x a x b =-- 7、实数的最大值是则满足y x y x y x y x 2,042,22-=+-+
（ ）
A 、5
B 、525+
C 、9
D 、10
8、已知F 1、F 2为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，它与
双曲线的一个交点为P ，且 3021=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为 （ ） A 、x y 2
2
±
= B 、x y 3±= C 、x y 3
3
±
= D 、x y 2±=
9、已知(,)a x y =，其中{1,2,4,5},{2,4,6,8},x y ∈∈则满足条件的不共线的向量共有（ ） A 、16个
B 、13个
C 、12个
D 、9个
10、在棱长为2的正方体AC 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离是 A 、
3
2 B 、
34 C 、3
32 D 、
3
2
2 11、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足,10),()2(时当≤≤-=+x x f x f 1()3
f x x =
，则使1
()3
f x =-的x 值等于
（ ）
A 、Z k k ∈-,14
B 、Z k k ∈+,14
C 、Z k k ∈-,12
D 、Z k k ∈,2
12、甲、乙两人同时从A 地出发沿同一路线走到B 地，所用时间分别为t 1,t 2，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走（m ≠n ）；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，则下列结论成立的是 （ ）
A 、t 1>t 2
B 、t 1=t 2
C 、t 1<t 2
D 、t 1,t 2的大小
无法确定 二、填空题：把答案填在题中横线上.
13、设抛物线,50242的距离是到直线上一点=+=x P x y 则P 到抛物线焦点F 的距离
为 .
14、给出下列四个命题：①若命题“p :x >2”为真命题，则命题“q:x ≥2”为真命题；②如果一个简单多面体的所有面都是四边形，那么F=V-2（其中F 是面数，V 是顶点数）；③
函
数
);
0(log )0(22>-=>=-x y x y x 的反函数是④在
.s i n s i n ,B A B A ABC >>∆的充要条件是中
其中所有正确命题的序号是 . 为
m
15、设
d c b a ),,(),,(==”n =(,)ac bd ad bc -+，若已知(1,2)p =，p (4,3)q =--，则q = .
16、等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且,.26,825324n
S T a a a a n
n =
=+=-记如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，M T n ≤都成立.则M 的最小值是 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、已知,a b 是两个不共线的向量，且(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ=.
（Ⅰ）求证：a b +与a b -垂直； （Ⅱ）若(,),444ππ
παβ∈-
=，且3
5
a b ⋅=，求sin α的值。

18、如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC=AA 1，∠ACB=90°，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 是AA 1上的点. （Ⅰ）如果1AC EG ⊥，试确定点G 的位置;
（Ⅱ）在满足条件（Ⅰ）的情况下，试求.,cos 1的值><AC
19、甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是
2
1
，甲、乙、丙三人都做对的概率是
,241甲、乙、丙三人全做错的概率是.4
1 （Ⅰ）分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率.
A
C 1 B 1
G
F E
C
B A 1
20、已知等差数列{a n }，公差大于0，且02712,252=+-x x a a 是方程的两根，数列{b n }
前n 项和为T n ，且.2
1
1n n b T -=
（Ⅰ）写出数列{a n }、{b n }的通项公式；
（Ⅱ）记n n n n n c c b a c ≤=+1:,求证.
21、平面内动点M 与点12
(2,0),(2,0) P P -所成直线的斜率分别为k 1、k 2，且满足.2
1
21-=k k （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程，并指出E 的曲线类型；
（Ⅱ）设直线：)0,0(:≠>+=m k m kx y l 分别交x 、y 轴于点A 、B ，交曲线E 于点C 、D ，且|AC|=|BD|.（1）求k 的值；（2）若点)1,2(N ，求△NCD 面积取得最大时直线l 的方程.
参考答案
一、选择题：BCDCB ADDCB AC 二、填空题：13、4 14、①②④ 15、（－2，1） 16、2 三、解答题：17、解：（Ⅰ）（解法一）
22
1a b ==，
22
()()0()()a b a b a b a b a b ∴+⋅-=-=⇒+⊥-
（解法二）(cos cos ,sin sin )a b αβαβ+=++，(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--
()()(cos cos )(cos cos )(sin sin )(sin sin )a b a b αβαβαβαβ+⋅-=+-++- 2222cos cos sin sin 0()()a b a b αααβ=-+-=⇒+⊥- （Ⅱ）.5
4
)4sin(),0,2(4),4,4(-=-∴-∈-∴-
∈παππαπ
πα
43sin sin[()]44525210
ππαα∴=-+=-⨯+⨯=-
. 18、解：（Ⅰ）以C 为原点，z CC y x 为轴为轴为1,,轴建立空间直角坐标系. 设AC=2，则C （0，0，0），A （0，2，0），C 1（0，0，2）E （1，1，0） 设).,1,1(),2,2,0(),,2,0(1h AC h G -=-=则
由1100(1)(2)1201,AC EG AC EG h h ⊥⇒⋅=⇒⨯-+-⨯+=⇒=即点G 为1AA 的中点。

（Ⅱ）(1,0,0),(1,2,1)F GF ∴=--. .6
36
222|
|||,cos =
⨯=
⋅>=
<GF AC GF AC
19、解：（Ⅰ）分别记甲、乙、丙三人各自全做对这张试卷分别为事件,,A B C ，则1
()2
P A =
，根据题意得1
1()()224
11(1)(1()(1()24P B P C P B P C ⎧⋅⋅=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩
解得11(),()34P B P C ==或11
(),()43
P B P C ==
答：乙、丙两人各自全做对这张试卷的概率分别为3
1
41,4131和或和。

（若少一解，则扣1
分）
（Ⅱ）记“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D ，则
()()()()()()()()()()
12311312111111
234234234481224P D P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅++++⋅⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++= 答：甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为
.24
11 20、解：（Ⅰ）由题意得⎩⎨
⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=⋅=+.3,
9;9,3,17,1252525
252a a a a a a a a 或所以 又因为等差数列的公差大于零，5293
323
a a d d -=+⇒=
=，2(2)21n a a n d n ∴=+-=- 由1111112
11223
n n T b T b b b =-⇒==-⇒=
当2n ≥时，1111()32n n n n n n n b T T b b b b ---=-=-⇒=，112120,,333
n n n n b b b b -=≠∴=∴= （Ⅱ）2(21)3
n n n n
n c a b -==
，11112(21)2(21)8(1)0,333n n n n n n n n n n c c c c ++++----∴-=-=≤∴≤。

21、解：（Ⅰ）设动点M 的坐标为(,)x y ，
1211
,2222
y y k k x x ⋅=-∴⋅=-+-，即
22
1(0)42
x y y +=≠ 动点M 的轨迹E 是中心在原点，半长轴为2，焦点为（0,2±）的椭圆（除去长轴两个
端点.）它的方程是22
1(0)42
x y y +=≠。

（Ⅱ）（1）在),,0(),0,(0,0:m B k
m
A y x m kx y l -
==+=可得中分别令AB 的中点为(,)22
m m
Q k -
设1122(,),(,)C x y D x y ，由22222
(12)4240142
y kx m
k x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+
=⎪⎩ 22
2
121222
424
32816,,1212mk m k m x x x x k k -∆=-++=-⋅=
++，
∵||||AC BD =，∴CD 中点就是AB 中点，即222
241,412,,0,122mk
m k k k k k k
k -
=-
=+=>∴=
+
21(2)||||CD x x -=
点N 到CD 的距离||d m =
，11||||22NCD S CD d m ∆=⋅=
22
4)|()22
m m m -+==≤=
当且仅当224m m -=时等号成立，即22,m m ==，此时0∆>，
所以直线的方程为:2
l y x =。