高中数学圆的方程专题复习

高一数学辅导资料内容：圆与方程

本章考试要求

考试内容

要求层次A B

C 圆与方程

圆的标准方程与一般方程√

直线与圆的位置关系√

两圆的位置关系

√

用直线和圆的方程解决简单的问题

√

空间直角坐标

系

空间直角坐标系

√空间两点间的距离公式

√

一、圆的方程【知识要点】

1.圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)

0()

()(2

2

2r

r b y a x 0b a 时，圆心在原点的圆的方程为：2

22r y x .

2.圆的一般方程02

2

F

Ey Dx y

x ，圆心为点,

2

2

D E ，半径2

2

42

D

E F

r

，

其中042

2

F

E

D .

3.圆系方程：过圆1

C ：22

1110x y

D x

E y

F 与圆2

C ：2

2

2220

x y D x E y F 交点的圆系方程是222

2

111222

0x y D x E y F x

y

D x

E y

F （不含圆2C ）,

当

1时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.

【互动探究】

考点一求圆的方程

问题1．求满足下列各条件圆的方程：

1以两点(3,1)A ，(5,5)B 为直径端点的圆的方程是2求经过)2,5(A ，)2,

3(B 两点，圆心在直线32y

x

上的圆的方程；

3过点4,1A 的圆C 与直线10x y 相切于点2,1B ，则圆C 的方程是?

考点二圆的标准方程与一般方程

问题2．方程222

221

0x y ax ay a

a 表示圆，则a 的取值范围是

考点三轨迹问题

问题3.点4,2P 与圆2

2

4x

y

上任一点连线的中点轨迹方程是

问题4．设两点3,0A ，3,0B ，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为2，求P 点的轨迹.

二、直线和圆、圆与圆的位置关系

【知识要点】

1.直线与圆的位置关系

将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆的半径为r ，圆心C 到直线l 的距离为d ,则直线与

圆的位置关系满足以下关系：2.直线截圆所得弦长的计算方法：利用垂径定理和勾股定理：

2

2

2AB

r

d （其中r 为圆的半径，d 直线到圆心的距离）.

3.圆与圆的位置关系：①设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足关系：位置关系外离外切相交内切内含

几何特征d R r

d R r R r d R r d R r 0d R r 代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解②设两圆0:1

112

2

1F y E x D y

x C ，0:2222

2

2F y E x D y

x

C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程

是

4.相切问题的解法：

①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解

②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为1（或一条直线存在斜率，另一条不存在）③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0来求解.

特殊地,已知切点),(00y x P ,圆2

22r y x 的切线方程为 . 圆2

2

2

)

()

(r b y a x

的切线方程为

【互动探究】

考点一直线与圆的位置关系

问题1:1已知圆22

:40C x y x

，l 过点(3,0)P 的直线，则

.A l 与C 相交.B l 与C 相切

.C l 与C 相离.D 以上三个选项均有可能

2直线l ：1mx

y m 与圆C ：2

2

1

1x y 的位置关系是

.A 相离

.B 相切.C 相交

.D 无法确定，与m 的取值有关.

3过点1,3P 引圆2

2

44100x

y

x y 的弦，则所作的弦中最短的弦长为

.A 22.B 4

.C 8.D 42

4求圆心为1,2且与直线51270x y 相切的圆 .

考点二

直线与圆相切的有关问题问题2．1

圆042

2

x y

x

在点)3,1(P 处的切线方程为2过点2,3P 的圆2

2

4x

y

的切线方程是

位置关系相切相交相离几何特征d r d r d r 代数特征

0△0△0

△