新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十四解题5大技法破解“计算繁而杂”这一难题含解析

PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝＝，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝，
a 33|PF 1|，故选D.
2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上
任意一点，
是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )
A ．
B ．3
32
3
C ．
D ．122
解析：选C 如图所示，
设P (x 0，y 0)(y 0＞0)，则y ＝2px 0，2
0即x 0＝.
y 20
2p 设M (x ′，y ′)，由＝2，PM ―→ MF
―→ 得Error!化简可得Error!
y 0
3y 02p
2的中点，又F 1(－c,0)，∴点
C ．(0，]
D ．[2，＋∞)
2解析：选B 设P (x 0，y 0)，
则·＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)PF 1―→ PF 2
―→
＝x －c 2＋y ＝a 2－c 2＋y ，
2
020(
1＋
y 20
b 2)
20上式当y 0＝0时取得最小值a 2－c 2，根据已知－c 2≤a 2－c 2≤－c 2，
341
2所以c 2≤a 2≤c 2，即2≤≤4，即≤≤2，1412c 2a 22c
a 所以所求双曲线的离心率的取值范围是[，2]．
25．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为的直线交抛物线于A ，B 两点，若＝λ43AF ―→ FB
―→
＞1)，则λ的值为( )
A ．5
B ．4
解析：由已知得c ＝5，
2设椭圆的方程为＋＝1，
x 2
a 2－50y 2
a 2联立Error!
消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝，
12 a 2－50
10a 2－450由题意知x 1＋x 2＝1，即＝1，解得a 2＝75，
12 a 2－50
10a 2－450所以该椭圆方程为＋＝1.
y 275x 2
25答案：＋＝1y 275x 2
257．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1
的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则·的最
PA ―→ PB
―→
(3,0)，设P (x 0，y 0)，Q(x 0，－y 0)，则＋＝1，k AP ＝m ＝，k B Q ＝n ＝，∴mn ＝，∴＝，∴直线y ＝
x ＝
x ，即x －3y ＝0.又点A 到直线1－mn 9－b 23
1－mn 9－b 2
3
9－b 2
x 的距离为1，∴＝＝1，解得
mn |－39－b 2|9－b 2＋939－b 2
18－b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝，∴e ＝＝＝.
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8c 2a 21824答案：2
4
9．已知椭圆C ：＋y 2＝1过点A (2,0)，B (0,1)两点．设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直x 2
4PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．
解：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x ＋4y ＝4，2020又A (2,0)，B (0,1)，
所以，直线PA 的方程为y ＝(x －2)，y 0
x 0－22y 0
圆交于A ，B 两点，|AB |＝.
(1)求此椭圆的方程；
(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝＝，a 2＝b 2＋c 2，c a 6
3∴＝.由题意可知＝，∴b ＝1，a ＝，
b a 33b 2a 3
33∴椭圆的方程为＋y 2＝1.x 2
3(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，
所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
12k 9。