八年级上册第五章相交线与平行线单元测试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册第五章相交线与平行线单元测试卷（培优篇）（Word 版 含解析）
一、选择题
1．如图，直线AD ，BE 被直线BF 和AC 所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A ．∠4，∠2
B ．∠2，∠6
C ．∠5，∠4
D ．∠2，∠4
2．如图，∠1的同位角是（ ）
A ．∠2
B ．∠3
C ．∠4
D ．∠5 3．如图，直线a ∥b ，把三角板的直角顶点放在直线b 上，若∠1＝60°，则∠2的度数为
（ ）
A ．45°
B ．35°
C ．30°
D ．25°
4．如图，//,AD BC D ABC ∠=∠,点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点F 是边AB 上一点，使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若100DEH ︒∠=，则BEG ∠的度数是（ ）
A ．30︒
B ．40︒
C ．50︒
D ．60︒
5．给出下列命题：①平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧；②平面上任意三点能
确定一个圆；③图形经过旋转所得的图形和原图形全等；④三角形的外心到三个顶点的距离相等；⑤经过圆心的直线是圆的对称轴.正确的命题为（ ）
A ．①③⑤
B ．②④⑤
C ．③④⑤
D ．①②⑤
6．两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）
A ．一对邻补角的平分线互相垂直
B ．一对同位角的平分线互相平行
C ．一对内错角的平分线互相平行
D ．一对同旁内角的平分线互相平行
7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后的方向与原来的方向相反，那么两次拐弯的角度可能是是（ ）
A ．第一次右拐60°，第二次左拐120°
B ．第一次左拐60°，第二次右拐60°
C ．第一次左拐60°，第二次左拐120°
D ．第一次右拐60°，第二次右拐60°
8．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A ．②③
B ．①②③
C ．①②④
D ．①④ 9．下列命题中，属于真命题的是（ ） A ．相等的角是对顶角 B ．一个角的补角大于这个角
C ．绝对值最小的数是0
D ．如果a b =，那么a=b 10．如图，直线a 和直线b 被直线c 所载，且a//b ，∠2=110°,则∠3=70°，下面推理过程错
误的是（ ）
A ．因为a//b ，所以∠2=∠6=110°，又∠3+∠6=180°(邻补角定义）
所以∠3=180︒-∠6=180︒-110︒=70︒
B ．//,13,12180a b ︒∴∠=∠∠+∠=
1180218011070︒︒︒︒∴∠=-∠=-=
所以370︒∠=
C ．因为a//b 所以25∠=∠又∠3+∠5=180°(邻补角定义），
3180518011070︒︒︒︒∴∠=-∠=-=
D ．
//,42110a b ︒∴∠=∠=，43180︒∠+∠=，∴∠3=180°−∠4=180°−110°=70° 所以3180418011070︒︒︒︒∠=-∠=-=
11．下列说法中不正确的个数为（ ）．
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
12．下列命题中，是真命题的是（ ）
A ．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
B ．相等的角是对顶角
C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
二、填空题
13．平面内不过同一点的n 条直线两两相交，它们交点个数记作n a ，并且规定10a =，则2a =__________，1n n a a --=____________．
14．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE ＜180°且点E 在直线AC 的上方时，他发现若∠ACE ＝_____，则三角板BCE 有一条边与斜边AD 平行．
15．如图，图①是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF 折叠成图②，则图②中的∠CFG 的度数是_____________．
16．下列说法中正确的有_____________（填序号）.
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫两点的距离；③两点之间线段最短；④若AC=BC ，则点C 是线段AB 的中点；⑤相等的角是对顶角；⑥180°角是补角；
⑦65.5°＝65.50′；⑧如果∠1＋∠2＋∠3＝90°，那么∠1、∠2、∠3互为余角.
17．如图，长方形ABCD 的周长为30，则图中虚线部分总长为____________．
18．如图，已知AB ，CD ，EF 互相平行，且∠ABE ＝70°，∠ECD ＝150°，则∠BEC ＝________°.
19．如图，//AB CD ，GF 与AB 相交于点H ，与CD 于F ，FE 平分HFD ∠，若50EHF ∠=︒，则HFE ∠的度数为______．
20．在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．
（1）嘉嘉将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点A 落在DE 上，且//BC DE ，则ACE ∠的度数为__________．
（2）如图2，淇淇将等腰直角三角板放在一组平行的直线与之间，并使直角顶点A 在直线a 上，顶点C 在直线b 上，现测得130∠=，则2∠的度数为__________．
三、解答题
21．已知//AB CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，连接EG 、FG ．
（1）如图，当点G 在AB 、CD 之间时，请直接写出AEG ∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系__________．
（2）如图，当点G 在AB 上方时，且90EGF ︒∠=， 求证：90︒∠-∠=BEG DFG ；
∠交（3）如图，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K， FT平分DFG
∠=∠，请你判断FR与HK的位置关HK于点T，延长GE、FT交于点R，若ERT TEB
系，并证明．（不可以直接用三角形内角和180°）
22．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF 与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°．
（1）AD与EF平行吗？请说明理由；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，则∠F与∠H相等吗，请说明理由．
23．如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．
(1)已知∠EFD＝70°，求∠B的度数；
(2)求证：FH平分∠GFD．
(3)在(1)的条件下，若∠FQH＝30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为α，请直接写出当α为多少度时，QH与△EBF的某一边平行?
24．如图1，AB ∥CD ，点E 在AB 上，点G 在CD 上，点 F 在直线 AB ，CD 之间，连接EF ，FG ，EF 垂直于 FG ，∠FGD =125°．
(1)求出∠BEF 的度数；
(2)如图 2，延长FE 到H ，点M 在FH 的上方，连接MH ，Q 为直线 AB 上一点，且在直线 MH 的右侧， 连接 MQ ，若∠EHM=∠M +90°，求∠MQA 的度数；
(3)如图 3，S 为 NB 上一点，T 为 GD 上一点，作直线 ST ，延长 GF 交 AB 于点 N ，P 为直线 ST 上一动点，请直接写出∠PGN ，∠SNP 和∠GPN 的数量关系 ．（题中所有角都是大于 0°小于 180°的角）
25．已知E 、D 分别在AOB ∠的边OA 、OB 上，C 为平面内一点，DE 、DF 分别是CDO ∠、CDB ∠的平分线．
（1）如图1，若点C 在OA 上，且//FD AO ，求证：DE AO ⊥；
（2）如图2，若点C 在AOB ∠的内部，且DEO DEC ∠=∠，请猜想DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系，并证明；
（3）若点C 在AOB ∠的外部，且DEO DEC ∠=∠，请根据图3、图4直接写出结果出DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系．
26．（1）方法感悟
如图①所示，求证：BCF B F ∠=∠+∠．
证明：过点C 作//CD EF
//AB EF (已知)
//CD AB ∴(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
1,2B F ∴∠=∠∠=∠(两直线平行，内错角相等 )
12B F ∴∠+∠=∠+∠
即BCF B F ∠=∠+∠
（2）类比应用
如图②所示，//,AB EF 求证：360B BCF F ∠+∠+∠=︒．
证明：
（3）拓展探究
如图③所示，//,AB EF BCF ∠与B F ∠∠、的关系是 (直接写出结论即可)． 如图④所示，//,AB EF BCF ∠与B F ∠∠、的关系是 (直接写出结论即可)．
27．如图，已知C 为两条相互平行的直线AB ，ED 之间一点，ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ，180FDC ABC ∠+∠=︒．
（1）求证：//AD BC ；
（2）连结CF ，当//CF AB ，且32
CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数；
（3）若DCF CFB ∠=∠时，将线段BC 沿直线AB 方向平移，记平移后的线段为PQ （B ，C 分别对应P ，Q ，当20PQD QDC ∠-∠=︒时，请直接写出DQP ∠的度数______．
28．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），将线段AB 平移至线段CD ，使点A 的对应点C 在x 轴的正半轴上，点D 在第一象限． （1）若点C 的坐标（k ，0），求点D 的坐标（用含k 的式子表示）；
（2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值；
（3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和
∠BCD之间的一个等量关系，并说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.根据此定义即可得出答案.
【详解】
∵直线AD，BE被直线BF和AC所截，
∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠6是内错角，
故选B.
【点睛】
本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题关键是熟记内错角和同位角的定义．2．D
解析：D
【分析】
根据同位角定义可得答案．
【详解】
解：解：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，根据定义，结合图形，
∠1的同位角是∠5．
故选：D．
【点睛】
本题考查同位角的定义，解题关键是熟练理解同位角的定义，本题属于基础题型．
3．C
解析：C
【分析】
由a与b平行，利用两直线平行同位角相等求出∠3的度数，再利用平角定义及∠4为直角，即可确定出所求角的度数．
【详解】
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝60°，
∵∠4＝90°，∠3+∠4+∠2＝180°，
∴∠2＝30°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根据平行线的性质求角的度数，利用直角转化角是一种比较常见的方法，在一条直线上，3个角共顶点，且有一个角为直角，则另两个角的和为90°．
4．B
解析：B
【分析】
AD∥BC，∠D=∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．
【详解】
解：设FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，
而∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，
∠DEH=100°，则∠CEH=∠FAE=80°，
∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，
在△AEF中，
在△AEF中，80°+2α+180-2β=180°
故β-α=40°，
而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
故选：B．
【点睛】
此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°-
2β=180°，题目难度较大．
5．C
解析：C
【分析】
①垂径定理的逆定理，注意有否有缺少什么；②如果三点共线；③旋转的性质；④三角形的外心的性质；⑤圆的性质.
【详解】
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧，原命题错误；
②三点共线时不能确定一个圆，原命题错误；
③由旋转的性质可知，原命题正确；
④由三角形的外心的性质，原命题正确；
⑤由圆的性质，原命题正确；
本题的答案是：C.
【点睛】
考查垂径定理的逆定理、旋转的性质、三角形的外心的性质、圆的性质.
6．D
解析：D
【解析】试题分析：A、两条平行线被第三条直线所截，一对邻补角的平分线互相垂直，故本选项正确；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故本选项正确；
C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，故本选项正确；
D、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，故本选项错误；
故选：D．
7．C
解析：C
【解析】
试题分析：两次拐弯以后方向相反，那么2次同方向拐弯之和是180°.
故选：C.
8．C
解析：C
【分析】
根据同位角的定义逐一判断即得答案．
【详解】
图①中的∠1与∠2是同位角，
图②中的∠1与∠2是同位角，
图③中的∠1与∠2不是同位角，
图④中的∠1与∠2是同位角，
所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据对顶角、补角、绝对值的定义与性质逐项判断即可得．
【详解】
A 、相等的角不一定是对顶角，此项是假命题；
B 、一个角的补角不一定大于这个角，如这个角为130︒，其补角为50︒，小于这个角，此项是假命题；
C 、由绝对值的非负性得：绝对值最小的数是0，此项是真命题；
D 、如果a b =，那么a b =或=-a b ，此项是假命题；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了对顶角、补角、绝对值、真命题与假命题，熟练掌握各定义与性质是解题关键．
10．D
解析：D
【分析】
根据平行线的性质结合邻补角的性质对各选项逐一进行分析判断即可得．
【详解】
A ． 因为a//b ，所以∠2=∠6=110°，又∠3+∠6=180°(邻补角定义）
所以∠3=180︒-∠6=180︒-110︒=70︒，正确，不符合题意；
B ． //,13,12180a b ︒∴∠=∠∠+∠=，
1180218011070︒︒︒︒∴∠=-∠=-=，
所以370︒∠=，正确，不符合题意；
C ． 因为a//b ，所以25∠=∠，又∠3+∠5=180°(邻补角定义），
3180518011070︒︒︒︒∴∠=-∠=-=，正确 ，不符合题意；
D ． //,42180a b ︒∴∠+∠=，∴∠4=180°-∠2=180°-110°=70°，
43
∠=∠，∴∠3=70°，
故D选项错误，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据在同一平面内，根据两条直线的位置关系、垂直的性质、平行线平行公理及推论、点到直线的距离等逐一进行判断即可．
【详解】
∵在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确；
∵过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确；
∴不正确的有①②④⑤四个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直线的知识；解题的关键是熟练掌握直线相交、直线垂直、直线平行以及垂线的性质，从而完成求解．
12．A
解析：A
【解析】
分析：根据平行线的判定与性质，对顶角的性质，平行线的作图，逐一判断即可.
详解：根据平行公理的推论，可知：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故正确；
根据对顶角的定义，可知相等的角不一定是对顶角，故不正确；
根据两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故不正确；
根据平行公理，可知过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不正确.
故选A.
点睛：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟记公理的内容和特点，找到反例说明即可.
二、填空题
13．【分析】
条直线相交只有一个交点，条直线相交，交点数是，条直线相交，交点数是，
即，可写出， 的解.
【详解】
解：求平面内不过同一点的条直线两两相交的交点个数，可由简入繁， 当2条直线相交时，交点
解析：1n -
【分析】
2条直线相交只有一个交点，3条直线相交，交点数是12+，n 条直线相交，交点数是
123(1)n ++++-，即1123(1)(1)2
n a n n n =++++-=-，可写出2a ， 1n n a a --的解.
【详解】
解：求平面内不过同一点的n 条直线两两相交的交点个数，可由简入繁，
当2条直线相交时，交点数只有一个；
当3条直线相交时，交点数为两条时的数量+第3条直线与前两条的交点2个，即交点数是12+；
同理，可以推导当n 条直线相交时，交点数是123(1)n ++++-，即
1123(1)(1)2
n a n n n =++++-=-， 212(21)12
a ∴=⨯⨯-=， 111(1)(1)(2)122
n n a a n n n n n -∴-=----=-， 本题的答案为：1，1n -.
【点睛】
本题考查了平面内直线两两相交交点数的计算，涉及到一种很重要的数学方法数学归纳法的初步应用接触，此方法在推导证明中比较常用.
14．或或
【分析】
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【详解】
解：有三种情形： ①如图1中，当AD ∥BC 时．
∵AD ∥BC ， ∴∠D ＝∠BCD ＝30°，
∵∠ACE+∠E
解析：30或120︒或165︒
【分析】
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【详解】
解：有三种情形： ①如图1中，当AD ∥BC 时．
∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°．
②如图2中，当AD∥CE时，
∠DCE＝∠D＝30°，可得∠ACE＝90°+30°＝120°．
③如图2中，当AD∥BE时，延长BC交AD于M．
∵AD∥BE，∴∠AMC=∠B=45°，
∴∠ACM＝180°-60°-45°＝75°，
∴∠ACE＝75°+90＝165°，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为30°或120°或165°．故答案为30°或120°或165°．
【点睛】
本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．
15．130°
【解析】
∵AD∥BC，∠DEF=25°，
∴∠BFE=∠DEF=25°，
∴∠EFC=155°，
∴∠CFG=155°-25°=130°．
故答案为130°．
点睛：本题主要是根据折叠能
解析：130°
【解析】
∵AD∥BC，∠DEF=25°，
∴∠BFE=∠DEF=25°，
∴∠EFC=155°，
∴∠CFG=155°-25°=130°．
故答案为130°．
点睛：本题主要是根据折叠能够发现相等的角，同时运用了平行线的性质．
16．①③
【解析】根据直线公理，可知过两点有且只有一条直线，①正确；连接两点的线段的长度脚两点的距离，故②不正确；根据线段公理，两点之间线段最短，故③正确；若AC=BC，只有在一条直线上时，点C是线段A
解析：①③
【解析】根据直线公理，可知过两点有且只有一条直线，①正确；连接两点的线段的长度脚两点的距离，故②不正确；根据线段公理，两点之间线段最短，故③正确；若AC=BC，只有在一条直线上时，点C是线段AB的中点，④不正确；根据对顶角的定义，可知相等的角不一定是对顶角，⑤不正确；根据和为180°的两角互为补角，知⑥不正确.
故答案为：①③.
17．15
【分析】
由长方形的性质和平移的性质，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，
虚线部分的总长为：．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了长方形的性质，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，解析：15
【分析】
由长方形的性质和平移的性质，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，
虚线部分的总长为：
1
3015
2
AB BC
+=⨯=．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了长方形的性质，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．40
【解析】
根据平行线的性质，先求出∠BEF和∠CEF的度数，再求出它们的差就可以了．解：∵AB∥EF，
∴∠BEF=∠ABE=70°；
又∵EF∥CD，
∴∠CEF=180°-∠ECD=18
解析：40
【解析】
根据平行线的性质，先求出∠BEF和∠CEF的度数，再求出它们的差就可以了．
解：∵AB∥EF，
∴∠BEF=∠ABE=70°；
又∵EF∥CD，
∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°，
∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°；
故应填40．
“点睛”本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等进行解题．
19．65°
【分析】
由AB//CD可得∠HFD=130︒，再由FE平分∠HFD可求出∠HFE．
【详解】
∵
∴∠EHF+∠HFD=180°
∵
∴∠HFD=130°
∵平分，
∴∠HFE=∠HFD=
解析：65°
【分析】
由AB//CD 可得∠HFD=130︒，再由FE 平分∠HFD 可求出∠HFE ．
【详解】
∵//AB CD
∴∠EHF+∠HFD=180°
∵50EHF ∠=︒
∴∠HFD=130°
∵FE 平分HFD ∠，
∴∠HFE=12∠HFD=1130652
⨯︒=︒ 故答案为：65°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键．
20．15° 15°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠D+∠BCD=180°，从而得到∠BCD，再利用角的和差得到∠ACE；
（2）根据平行线的性质得出∠2+∠BAC+∠ACB+∠1=
解析：15° 15°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠D+∠BCD=180°，从而得到∠BCD ，再利用角的和差得到∠ACE ；
（2）根据平行线的性质得出∠2+∠BAC+∠ACB+∠1=180°，再由等腰直角三角形的性质得到∠BAC=90°，∠ACB=45°，结合∠1的度数可得结果．
【详解】
解：（1）由三角板的性质可知：∠D=60°，∠ACB=45°，∠DCE=90°，
∵BC ∥DE ，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴∠BCD=120°，
∴∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，
∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=15°，
故答案为：15°；
（2）∵a ∥b ，
∴∠2+∠BAC+∠ACB+∠1=180°，
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC-∠ACB=45°，
∵∠1=30°，
∴∠2=15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了三角板的性质，平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
三、解答题
21．（1）∠G=∠AEG+∠CFG ；（2）见解析；（3）FR ⊥HK ，理由见解析
【分析】
（1）根据平行线的判定和性质即可写出结论；
（2）过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质得角相等和互补，即可得证；
（3）根据平行线的性质得角相等，即可求解．
【详解】
解：（1）如图：过点G 作//GH AB ，
∵//AB CD ，
∴//GH CD ，
∴AEG EGH ∠=∠，CFG FGH ∠=∠，
EGF AEG CFG ∴∠==∠+∠
AEG ∴∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系为G AEG CFG ∠=∠+∠．
故答案为：G AEG CFG ∠=∠+∠．
（2）如图，过点G 作//GP AB ，
180BEG EGP ∴∠+∠=︒，
180EHG HGP ∠+∠=︒，
90180EHG EGP ∴∠+︒+∠=︒，
90EHG EGP ∴∠+∠=︒，
//AB CD ，
DFG EHG ∴∠=∠，
180180()1809090BEG DFG EGP EHG EGP EHG ∴∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．
（3）FR 与HK 的位置关系为垂直．理由如下： FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，GFT KFT ∴∠=∠，
90EGF ∴∠=︒，
90GFT ERT ∴∠+∠=︒，
90KFT ERT ∴∠+∠=︒，
ERT TEB ∠=∠，
90KFT TEB ∴∠+∠=︒，
//AB CD ，
FKT TEB ∴∠=∠，
90KFT FKT ∴∠+∠=︒，
90FTK ∴∠=︒，
KT FR ∴⊥，即FR HK ⊥．
∴FR 与HK 的位置关系是垂直．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
22．见解析
【解析】
分析：（1）求出∠ADE +∠FEB =180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据角平分线定义得出∠BAD =∠CAD ，推出HD ∥AC ，根据平行线的性质得出∠H =∠CGH ，∠CAD =∠CGH ，推出∠BAD =∠F 即可．
详解：（1）AD ∥EF ．
理由如下：∵∠BDA +∠CEG =180°，∠ADB +∠ADE =180°，∠FEB +∠CEF =180° ∴∠ADE +∠FEB =180°，∴AD ∥EF ；
（2）∠F =∠H ，理由是：
∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ．
∵∠EDH =∠C ，∴HD ∥AC ，∴∠H =∠CGH ．
∵AD∥EF，∴∠CAD=∠CGH，∴∠BAD=∠F，∴∠H=∠F．
点睛：本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．
23．（1）35°；（2）见解析；（3）30°或65°或175°或210°
【分析】
(1)利用AB∥CD，得到∠B＝∠BFD，又∠B=∠EFB，由此得到∠EFB=∠BFD=1
2
∠EFD=35°；
(2)由(1)知∠EFB＝∠BFD，利用FH⊥FB，得到∠BFD＋∠DFH＝90°，∠EFB＋∠GFH＝90°，再由等角的余角相等得到∠DFH＝∠GFH即可求解；
(3)按QH分别与△EBF的三边平行三种情况分类讨论即可．
【详解】
解：(1)AB∥CD，∴∠B＝∠BFD．
∵∠EFB＝∠B，
∴∠EFB=∠BFD=1
2
∠EFD=35°，
∴∠B＝35°，
故答案为：35°；
(2)∵FH⊥FB，
∴∠BFD＋∠DFH＝90°，∠EFB＋∠GFH＝90°
∵∠EFB＝∠BFD，由等角的余角相等可知，
∴∠DFH＝∠GFH．
∴FH平分∠GFD．
(3)分类讨论：
情况一：QH与△EFB的边BF平行时，如下图1和图4所示：
当为图1时：
∵BF与HQ平行，∴∠H+∠BFH=180°，又∠H=60°，
∴∠BFH=120°，此时旋转角α=∠BFQ=120°-∠HFQ=120°-90°=30°，当为图4时：
此时∠HFB=∠H=60°，
旋转角α=∠1+∠2+∠3=360°-(∠HFB+∠HFQ)=360°-(60°+90°)=210°；情况二：QH与△EFB的边BE平行时，如下图2所示：
此时∠1=∠3=35°，∠2=∠4=30°，
∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2=35°+30°=65°；
情况三：QH 与△EFB 的边EF 平行时，如下图3所示：
此时∠3=∠Q=30°，
∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2+∠3=35°+110°+30°=175°，
综上所述，旋转角α＝30°或65°或175°或210°．
故答案为：α＝30°或65°或175°或210°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，周角的定义等，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
24．（1）145︒；（2）55︒;（3）2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【分析】
（1）过点F 作//FN AB ，根据AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°可计算NFG ∠，EFN ∠，从而求算BEF ∠；
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，由（1）知55,=35NFG EFN ∠=︒∠︒，从而求算35AEF EHL ∠=∠=︒，再根据90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒，利用外角求出MHL ∠，从而求算MQA ∠;
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒ 设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒，从而表示PGN ∠，进而寻找数量关系．
【详解】
（1）过点F 作//FN AB ，如图：
∵AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°
∴55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴180145BEF EFN ∠=︒-∠=︒
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，如图：
由（1）知：55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴35AEF EHL ∠=∠=︒
又∵90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒
∴90EHM x ∠=︒+︒
∴903555MHL x x ∠=︒+︒-︒=︒+︒
∴5555MKH MQA MHL M x x ∠=∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，如图：
设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒
设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒
又∵125FGD ∠=︒
∴125PGN y ∠=︒-︒
∴2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【点睛】
本题考查平行线的性质综合，转化相关的角度是解题关键．
25．（1）证明见解析；（2）∠CDB +∠AEC ＝2∠DCE ；（3）图3中∠CDB ＝
∠AEC +2∠DCE ，图4中∠AEC ＝∠CDB +2∠DCE ．
【分析】
（1）依据DE 、DF 分别是∠CDO 、∠CDB 的平分线，可得∠CDF ＝12
∠CDB ，∠CDE ＝12∠CDO ，进而得出∠EDF ＝12
（∠CDB +∠CDO ）＝90°，再根据平行线的性质，即可得到∠AED ＝90°，即DE ⊥AO ；
（2）连接OC ，依据∠DEO ＝∠DEC ，∠EDO ＝∠EDC ，可得∠DOE ＝∠DCE ，再根据三角形外角性质，即可得到∠CDB +∠AEC ＝∠COD +∠OCD +∠EOC +∠ECO ＝2∠DCE ；
（3）如图3中，依据∠CDB 是△ODG 的外角，可得∠CDB ＝∠DOG +∠DGO ，依据∠DGO 是△CEG 的外角，可得∠DGO ＝∠AEC +∠C ，进而得到∠CDB ＝∠DOG +∠AEC +∠C ＝∠AEC +2∠DCE ；如图4中，同理可得∠AEC ＝∠DOE +∠CDB +∠C ＝∠CDB +2∠DCE ．
【详解】
解：（1）如图1，∵DE 、DF 分别是∠CDO 、∠CDB 的平分线，
∴∠CDF ＝
12∠CDB ，∠CDE ＝12∠CDO ， ∴∠EDF ＝12
（∠CDB +∠CDO ）＝90°， 又∵DF ∥AO ，
∴∠AED ＝90°，
∴DE ⊥AO ；
（2）如图2，连接OC ，
∵∠DEO ＝∠DEC ，∠EDO ＝∠EDC ，
∴∠DOE ＝∠DCE ，
∵∠CDB 是△COD 的外角，∠AEC 是△COE 的外角，
∴∠CDB ＝∠COD +∠OCD ，∠AEC ＝∠EOC +∠ECO ，
∴∠CDB +∠AEC ＝∠COD +∠OCD +∠EOC +∠ECO ＝2∠DCE ；
（3）图3中，∠CDB ＝∠AEC +2∠DCE ；图4中，∠AEC ＝∠CDB +2∠DCE ．理由： 如图3，∵∠DEO ＝∠DEC ，∠EDO ＝∠EDC ，
∴∠DOE ＝∠DCE ，
∵∠CDB 是△ODG 的外角，
∴∠CDB ＝∠DOG +∠DGO ，
∵∠DGO 是△CEG 的外角，
∴∠DGO ＝∠AEC +∠C ，
∴∠CDB ＝∠DOG +∠AEC +∠C ＝∠AEC +2∠DCE ；
如图4，∵∠DEO ＝∠DEC ，∠EDO ＝∠EDC ，
∴∠DOE ＝∠DCE ，
∵∠AEC 是△OEH 的外角，
∴∠AEC ＝∠DOE +∠OHE ，
∵∠OHE 是△CDH 的外角，
∴∠OHE ＝∠CDB +∠C ，
∴∠AEC ＝∠DOE +∠CDB +∠C ＝∠CDB +2∠DCE ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的综合运用，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
26．（2）见解析；（2）BCF F B ∠=∠-∠，BCF B F ∠=∠-∠．
【分析】
（2）过点C 作CD ∥AB ，由平行线的性质，得到180B BCD ∠+∠=︒，
180DCF F ∠+∠=︒，即可得到结论成立；
（3）①过点C 作CD ∥AB ，由平行线的性质和（2）的证明方法，即可得到答案； ②过点C 作CD ∥AB ，由平行线的性质和（2）的证明方法，即可得到答案；
【详解】
()2证明:过点C 作//CD AB
//AB EF (已知)
//CD EF ∴(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
180,180B BCD DCF F ∴∠+∠=︒∠+∠=︒(两相线平行，同旁内角补)，
∵BCF BCD DCF ∠=∠+∠，
∴360B BCF F ∠+∠+∠=︒；
（3）①过点C 作//CD AB ，如图：
∵AB ∥CD ∥EF ，
∴180,180B BCD DCF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∵BCD BCF DCF ∠=∠+∠，
∴BCF F B ∠=∠-∠；
故答案为：BCF F B ∠=∠-∠；
②过点C 作//CD AB ，如图：
∵AB ∥CD ∥EF ，
∴180,180B BCD DCF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∵BCD BCF DCF ∠+∠=∠，
∴BCF B F ∠=∠-∠．
故答案为：BCF B F ∠=∠-∠．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，以及掌握平行线的判定和性质进行证明．
27．（1）证明见解析；（2）∠BCD ＝108°；（3）70°
【分析】
（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠EDF ＝∠DAB ，由角平线的定义得出∠EDF ＝∠FDC ，最后根据同旁内角互补，两直线平行进行求证；
（2）设∠DCF ＝x ，则∠CFB ＝1.5x ，由两直线平行，内错角相等得出∠ABF ＝1.5x ，由角平分线的定义得出∠ABC ＝3x ，最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关于x 的方程，求解即可；
（3）画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠CDF ＝∠CBF ，由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC 与∠FDC ，由平移的性质与平行公理的推论得出AD ∥PQ ，最后根据两直线平行，同旁内角互补列式求解．
【详解】
解：（1）证明：∵AB∥DE，∴∠EDF＝∠DAB，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵
3
2
CFB DCF
∠=∠，设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，
∵CF∥AB，
∴∠ABF＝∠CFB＝1.5x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，
∵AD∥BC，
∴∠FDC+∠BCD＝180°，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝3x，
∴∠BCF＝2x，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴3x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BCD＝3×36°＝108°；
（3）如图，∵∠DCF＝∠CFB，
∴BF∥CD，
∴∠CDF +∠BFD＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF +∠BFD＝180°，
∴∠CDF＝∠CBF，
∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，
∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠FDC，
∴∠ABC＝∠CDE＝2∠FDC，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠FDC＝60°，
∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，∴BC∥PQ，
∵AD∥BC，
∴AD∥PQ，
∵∠PQD﹣∠QDC＝20°，
∴∠QDC＝∠PQD﹣20°，
∴∠FDC+∠QDC +∠PQD＝60°+∠PQD﹣20°+∠PQD＝180°，
∴∠PQD＝70°，即∠DQP＝70°．
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
28．（1）D（k+2，2）；（2）k＝2；（3）∠BPD＝1
2
∠BCD+
1
2
∠A，理由详见解析
【分析】
（1）由平移的性质可得出答案；
（2）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，由四边形BEFD的面积可得出答案；
（3）过点P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，则∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分线的性质得出
∠PBA＝1
2
∠ABC，∠PDC＝
1
2
∠ADC，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D，
∴D（k+2，2）；
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，
∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，
∴1
(12)(k4)
2
⨯+⨯+＝
11
1(k2)225
22
⨯⨯++⨯⨯+，
解得：k＝2．
（3）∠BPD＝1
2
∠BCD+
1
2
∠A；理由如下：
过点P作PE∥AB，如图2所示：
∴∠PBA＝∠EPB，
∵线段AB平移至线段CD，
∴AB∥CD，
∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，
∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，
∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠PBA＝1
2
∠ABC，∠PDC＝
1
2
∠ADC，
∴∠BPD＝1
2
∠ABC+
1
2
∠ADC＝
1
2
∠BCD+
1
2
∠A．
【点睛】
本题考查了平移的综合问题，掌握平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质是解题的关键．。