福建省南安一中1213学年高一下学期期中数学(附答案)

本试卷考试内容为：数学必修④.共4页，满分１５０分，考试时间１２０分钟. 注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.
2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．保持答题纸纸面清洁，不破损。

考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.若cos 0α<且tan 0α>，则α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
2.sin 300︒ = （ ）
A ．
12 B ．1
2
- C D ．3.化简 AC －BD ＋CD —AB
的结果为 （ ）
A ．A
B B ．DA
C ．BC
D ．0
4.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 （ ）
A ．1(0,0)e = 2(1,2)e =-
B ．)2,1(1-=e 2(3,7)e =
C ．)5,3(1=e )10,6(2=e
D ．)3,2(1-=e )4
3,21(2-=e
5.||1,||2a b == ，且()0a b a +=
，则a 、b 的夹角为 （ ）
A ．60
B ．90
C ．120
D ．150 6.函数)3
2sin(2π
+
=x y 的图像 （ ）
A ．关于原点对称
B ．关于点（0,6
π
-
）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线6
π
=
x 对称
7.若1
sin(
)45
x π
-=-，则cos()4x π+的值等于 （ ）
A ．15-
B ．1
5 C ．
8.若函数()(1)cos f x x x =+，02
x π
≤<
，则()f x 的最大值为 （ ）
A ．1
B
C ．2
D ．1+
9.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 （ ）
A ．
1sin 0.5 B ．sin 0.5 C ．2sin1 D ．1
cos 0.5
10.若2
0,AB BC AB ABC +>∆ 则为 （ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D ．以上答案均有可能 11.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 （ ） A ．向左平移
5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π
6
个长度单位
12.函数cos y x ω=（0ω>）在区间[0,1)上至少出现2次最大值，至多出现3次最大值，则ω的
取值范围是 （ ） A ．24πωπ≤≤ B ．24πωπ<≤ C ．26πωπ<≤ D. 26πωπ<< 二、填空题：每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．
13.已知(,1),(,4)a x b x ==-
且a b ⊥ ，则x = .
14.已知向量a ，b 满足3,2a b == 且a 与b 的夹角为60
，则a -
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图：在ABC ∆中，D 为BC 中点, 13AM AB =
,2
3
AN AC =, 设,AB a = .AC b =
（Ⅰ）试用,a b 表示MN ； （Ⅱ）试用,a b
表示MD ．
18．（本小题满分12
分）已知(sin ),(sin ,cos )a x x b x x ωωωω==
（0ω>），
函数1
()2
f x a b =- ，且()f x 的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．
19．（本小题满分12分）已知函数()cos 2cos ,f x x x =+5[,]66
x ππ
∈-，求函数()f x 的值域．
20．（本小题满分12分）已知2
1
)4
tan(
=
+απ
（Ⅰ）求αtan 的值； （Ⅱ）求22sin(22)sin ()
21cos(2)sin π
απαπαα
+----+的值.
21．（本小题满分
12
分）已知函数
()sin(),f x A x ωϕ=+
(,0,0,)2
x R A π
ωϕ∈>><
的部分图象如图所示:
C B
D
M
N
A
（Ⅰ）试确定()
f x的解析式;
（Ⅱ）若
1
()
23
f
α
π
=, 求
2
cos()
3
π
α
-的值.
南安一中2012～2013学年度高一下学期期中考
数学科试卷参考答案
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，D 为BC 中点, 13AM AB =
,2
3
AN AC =, 设,AB a = .AC b =
（Ⅰ）试用,a b 表示MN ； （Ⅱ）试用,a b
表示MD ．
解：（Ⅰ） 12,,33AM a AN b ==
∴MN =2133
AN AM b a -=-
………………………………6分
（Ⅱ） 13AM a = ，1()2
AD a b =+
………………………………9分
∴1162
MD AD AM a b =-=+
………………………………12分
18．（本小题满分12分）已知(sin ),(sin ,cos )a x x b x x ωωωω==
（0ω>），
函数1
()2
f x a b =- ，且()f x 的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．
解：（Ⅰ） 1()2f x a b =- 21
sin cos 2
x x x ωωω=-
∴1cos 21()222x f x x ωω-=
-12cos 22x x ωω=-
∴π()sin 26f x x ω⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
…………………………………4分
函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，
∴
2π
π2ω
=，解得1ω= ………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin 26f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
． ∴欲求()f x 的增区间， 只需 πππ
22,262k x k k Z ππ-
-+∈+2≤≤， ………………………………8分 解得：ππ
,63
k x k k Z ππ-+∈+≤≤ ………………………………10分
∴函数()f x 的单调递增区间为ππ
[,],63
k k k Z ππ-+∈+ ………………12分
19．（本小题满分12分）已知函数()cos 2cos ,f x x x =+5[,]66
x ππ
∈-
，求函数()f x 的值域．
解: 2
()cos 2cos 2cos 1cos f x x x x x =+=-+ …………………2分 ∴21
9
()2(cos )48
f x x =+-
…………………5分
5[,]66
x ππ
∈-
,
∴cos [x ∈ …………………7分 ∴当1cos 4x =-
时,有min 9
()8
f x =-； …………………9分 当cos 1x =时，有max ()2f x = …………………11分 ∴()f x 的值域为9[,2]8
- …………………12分
（Ⅱ）22sin(22)sin ()21cos(2)sin π
απαπαα
+----+=2
2sin 2cos 1cos 2sin αααα-++ ………………8分
2222sin cos cos 2cos sin ααααα-=+22tan 1152tan 19
αα-==-
+ ………………12分
21．（本小题满分12分）已知函数()sin(),f x A x ωϕ=+ (,0,0,)2
x R A π
ωϕ∈>><的部分图象
如图所示:
（Ⅰ）试确定()f x 的解析式; （Ⅱ）若1(
)23f απ=, 求2cos()3
πα-的值. 解: （Ⅰ）由图象可知A=2, T 4 = 56 － 13 = 12, ∴T=2,ω= 2π
T
=π
将点(13, 2)代入y=2sin(πx ＋ϕ), 得 sin(π3＋ϕ)=1, 又|ϕ| < π
2
所以ϕ = π6. 故所求解析式为f(x)=2sin(πx ＋π
6) (x ∈R) …………6分
（Ⅱ）∵f (a 2π) = 13 , ∴2sin(a 2 ＋π6) = 13 , 即, sin(a 2 ＋π6) = 1
6 …………7分
∴cos(2π3 －a)=cos[π－2(π6＋a 2 )] =－cos2(π6＋a 2 )=2sin 2(π
6＋a 2 )－1 =1718-
…………12分
22．（本小题满分14分）设向量(sin ,cos ),(sin ,cos )m A B n B A ==
//.m n m n ≠ ，
其中,A B 是ABC 的内角 （Ⅰ）求sin sin A B +的取值范围;
（Ⅱ）试确定sin sin sin sin A B
A B +试确定的取值范围.
解：因为(sin ,cos ),(sin ,cos ),m A B n B A m n ==
,
所以sin cos sin cos A A B B =， ………………2分
即sin 2sin 2A B =
又,m n ≠ 所以22,A B π+=即2A B π
+= ………………4分
（Ⅰ）sin sin A B +=sin sin()sin cos )24
A A A A A ππ
+-=+=+
30,,2444A A ππππ<<∴<+< 1)4
A π
∴<+≤
因此sin sin A B +的取值范围是 ( ………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2
A B π
+=
,所以
sin sin sin cos sin sin sin cos A B A A
A B A A
++=
⋅⋅ 设sin cos A A +=t ∈(
,则2
12sin cos t A A =+,所以21
sin cos 2
t A A -=
所以()f t f ≥=所以
sin sin
sin sin A B
A B
+取值范围为)
⎡+∞⎣ …………………………14分。