说课之唐永-高三数学一轮复习的“滑过”现象及应对策略

错解：对于（1），因为 bn 0 ，所以 0 2(Sn1 Sn )Sn n(Sn1 Sn ) ，
所以
2an1sn
n(2sn
an 1 )
0
，即 (2sn
n) an1
2nsn
.令
n
1 得，a2
2a1 2a1 1
；令
n
2
得，
a3
4a12 2a1 2a12 a1 1
.因为数列
{an}
是等差数列，所以
x1 ，即
x1
x2 2
（或 ）m
.
六、滑过了“提高学生运算能力”的 良好契机
展示细节，强化运算 体验过程，提升素养
解题细节的处理和运算能力的提 高是靠平时的积累，教学中应充分提 供学生展示解题思路、暴露错误的机 会，课堂上多让学生“说想法”、“ 写心得”，展示细节、错误，体验过 程。数学素养正是在这样的过程中丰 富的。
u2 v2 (u v)(u v) 4cx ，u v 2cx ， a
所以可求得，u a c x ， v a c x
a
a
所以 (x c)2 y2 a c x ，平方并整理可得， (a2 c2)x2 a2 y2 a2(a2 c2) . a
法 6：令 (x c)2 y2 2acos2 （1）， (x c)2 y2 2asin2 （2），
例 1 （2014 全国卷）已知数列{an}的前 n 和为 sn ， a1 1, an 0 ， anan1 Sn 1，
其中 为常数. （1）证明： an2 an ；（2）是否存在 ，使得{an}为等差数列？并说明理由.
对于第（2）问，许多学生是这样解的：
解 由题设知 a1 1， a1a2 S1 1，可得 a2 1，由（1）知 a3 1.
一、滑过了“系统化、结构化知识”的
宏观梳理
系统化——注重对知识体系的总结， 注意知识的前后联系，有机结合， 构建完整的、系统的知识、方法、 思想体系，使学生初步建立明晰的 知识网络，掌握系统的知识、方法 体系；形成系统的能力体系。
以知识体系构建知识网络（一轮复习）
一 次 、 二 次 函 数
幂 、 指 、 对 函 数
令 2a2 a1 a3 解得 4. a2 3 ， d a2 a1 2 ， an 1 (n 1) 2 2n 1.
则
sn
n(a1 2
an )
n2
，anan1
(2n
1)(2n
1)
4n2
1 ， sn
1
4n2
1 .经检验满足
anan1 Sn 1.所以存在 4 ，，使得{an}为等差数列.
[1,e] 上的最大值；（3）若函数 f (x) 有两个不同的零点 x1, x2 ，求证： x1x2 e2 .
3.（2015
年苏锡常镇四市二模第
19
题）已知函数
f
(x)
ex ex
，其导数记为
f
(x)
（
e
为
自然对数的底数）.
（1）求函数 f (x) 的极大值；（2）解方程 f ( f (x)) x ；（3）若存在实数 x1、x2（ x1 x2 ）
(x2 y2 c2) (x2 y2 c2)2 4c2x2 2a2 ， (x2 y2 c2)2 4c2x2 2a2 (x2 y2 c2) ，
再平方，整理得 (a2 c2)x2 a2 y2 a2 (a2 c2) .
法 3： (x c)2 y2 ， a ， (x c)2 y2 三个数构成等差数列，可设 (x c)2 y2 a d ， (x c)2 y2 a d .
分别平方得， x2 2cx c2 y2 a2 2ad d 2 (1)
x2 2cx c2 y2 a2 2ad d 2 (2)
（1）+（2）得， x2 y2 c2 a2 d 2 （3） （1）—（2）得， cx ad ，即 d cx .
a 将 d cx 带入（3）式并整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ) .
再平方，整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ) .
因为 a2 c2 0 ，所以可设 a2 c2 b2 (b 0) ，于是得
b2 x2 a2 y2 a2b2 ，两边同除以 a2b2 ，得
x2 y2 a2 b2
1(a b 0)
.
法 2：两边直接平方得，
（3）判断 g(x) 的正负，从而确定 f (x) 与 f (2m x) 的大小关系；
（4）由（3）得 f (x1) （或 ） f (2m x1) ，结合 f (x1) f (x2 ) 得到 f (x2 ) （或 ）
f
(2m
x1) ，（5）结合
f
(x) 的单调性得到 x2
（或 ）2m
a
法 4： 因为 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a （1）
所 以 ( (x c)2 y2 (x c)2 y2 )( (x c)2 y2 (x c)2 y2 ) 2a ， (x c)2 y2 (x c)2 y2
化简得，
4cx
2a ，
(x c)2 y2 (x c)2 y2
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2cx （2） a
（1）+（2）得， (x c)2 y2 a c x ， a
平方并整理可得， (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ) .
法 5：令 (x c)2 y2 u ， (x c)2 y2 v ，则u v 2a .
使得
f
(x1)
f
(x2) ，求证：
f
( x1
x2 2
)
0.
近几年来，“极值点”偏移问题已经连续多次出现在高考试题中，如 2011 年、2013 年 辽宁卷，2016 年全国乙卷等，而且这类题型的解法已经模式化，具体操作流程如下：
（1）构造函数 g(x) f (x) f (2m x) ；
（2）确定 g(x) 的单调性；
(1)2 （2）2 得， cx 2a2 cos2 a2 ， 2a2 cos2 cx a2 ，即 2a cos2 a c x a
所以 (x c)2 y2 a c x ，平方并整理可得， (a2 c2)x2 a2 y2 a2(a2 c2) . a
三、滑过了“学生典型错误”的思维辨析
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2 (x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 ， x2 y2 c2 x2 2cx c2 y2 x2 2cx c2 y2 2a2 ， (x2 y2 c2) (x2 y2 c2) 2cx (x2 y2 c2) 2cx 2a2 ，
3
解法 3： sin15 cos15 2 sin(15 45 ) 2 sin 30 ，
sin15 cos15
2 cos(45 15 )
2 cos30 ，原式= tan 30
=
3
.
3
解法 4：原式=
(sin15 cos15 )2
1 sin 30 = 3 .
(sin15 cos15 )(sin15 cos15 ) cos30 3
一轮复习解题教学过程中，有些教师只 讲 “对”的，不讲“错”的，忽略了学生 的典型错误，忽视学生为什么会出错，学生 听完后不久就淡忘，更谈不上理解.经过一 段时间后再遇到这道题，仍会重复“昨天的 故事”.
一轮复习教师要舍得花时间剖析学生 的典型错误，只有通过对典型错误的剖析， 引发对学生头脑中的错误产生内在的“观念 冲突”，进行“自我否定”，打破原有错误 的“认知平衡”，才能建立起新的、正确的 “认知平衡”.
这种特殊化的逻辑漏洞是什么呢？
先假设存在 ，使得{an}为等差数列，由 a1 ， a2 ， a3 成等差数列求得 4 ，在得到 4 后，例 1 的第（2）问可转化为：已知数列{an}满足 a1 1, an 0 ， anan1 4Sn 1
对任意 n N* 恒成立 {an}为等差数列.这说明，“{an}为等差数列”是“ anan1 4Sn 1 对任意的 n N* 恒成立”的必要条件.因此，我们所要寻找的是使命题“ anan1 4Sn 1 对 任意的 n N* 恒成立”成立的必要条件.但是用特殊化在假设{an}为等差数列的情况下，将 问题特殊化后去求 an 表达式，这是在执果索因，找到的是命题“ anan1 4Sn 1 对任意的
间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数 a 的值；（3）若方程 f (x) c 有两个
不相等的实数根
x1,
x2
，求证：
f
(
x1
2
x2
)
0
.
2.（2014 年江苏南京三模第 19 题）已知函数 f (x) ln x mx(m R) .（1）若曲线
y f (x) 过点 P(1,1) ，求曲线 y f (x) 在点 P 处的切线方程；（2）求函数 f (x) 在区间
高三数学一轮复习的 “滑过”现象及应对策略
江苏省江阴市第一中学 唐永
“滑过”现象
“滑过”现象源自于英国学者爱德华 ͘德波诺关于思维 训练中“注意滑过”的一个形象比喻：公路修建中有一 条不成文的规定，道路并非越直越好，适当增加转弯是 一种科学做法．原因在于笔直的道路往往促成车速太 快，“一滑而过”的效应不仅造成路边“美景”的消 失，而且削弱司机的注意力和操作能力，滋生其惰性、 麻痹心理，极易酿成事故．教学工作也是如此，如果教 师设计的问题过于简单、就题论题，学生无需多加思 考，即可一蹴而就；或者即便设置了“障碍”，但由于 教学进度太快，没有留下跨越“障碍”的余地，也容易 使许多具有探索价值的内容无意间“滑过”，致使学生 亲身体验、感悟的机会无意间“流失”，此现象称之为 教学过程中的“滑过”现象．
解法 5：分子，分母平方，得 (sin15 cos15 )2 1 sin 30 1 ， sin15 cos15 1 sin 30 3
因为 sin15 cos15 0 ，所以原式= 3 .
sin15 cos15
3
五、滑过了“多题一解”的题型探究
相逢何必曾相识—下面提供一组试题：
1.（2013 年南京二模）设函数 f (x) x2 (a 2)x a ln x .(1)求函数 f (x) 的单调区
n N* 恒成立”成立的充分条件.因此，原特殊化法的逻辑漏洞在于，我们需要找的是使题
中条件成立的必要条件，但找到的却是充分条件，此时，解答者又往往错误地将其当成必要 条件.这就是学生在使用特殊化时，很容易犯的一个逻辑错误.
例 2 （ 2015 苏 锡 常 镇 一 调 ） 已 知 数 列 {an} 的 前 n 和 为 sn ， 设 数 列 {bn} 满 足 bn 2(Sn1 Sn )Sn n(Sn1 Sn ) （ n N* ）. （1）若数列{an}是等差数列，且 bn 0 ，求数列{an}的通项公式； （2）若 a1 1, a2 3，且数列{a2n1} ，{a2n} 都是以 2 为公比的等比数列，求满足不等式 b2n b2n1 的所有正整数的 n 集合.
以知识体系构建知识网络（一轮复习）
二、滑过了“核心知识”的构建过程
例：化简 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a 的复习教学
法 1：移项，平方得 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 ( y 2
2a2
a1
a3
，得
2
2a1 2a1 1
=
a1
4a12 2a1 2a12 a1 1
，解得
a1
0
或
a1
1.当
a1
0
时，a2
0 ，d
0 ，an
0 ；当
a1
1时，
a2 2 ， d 1， an n .
所以数列{an}的通项公式为 an 0 或 an n .
四、滑过了“一题多解”的多解归一
例 4 （苏州市高三数学期中试题） 如图所示的自动通风设施．该设施的下部 ABCD
例 2 求 sin15 cos15 值. sin15 cos15
解法 1：因为15 45 30 ，分别求出 sin15 , cos15 的值代入既得原式= 3 . 3
解法 2：在原式分子、分母上同除以 cos15 ，
原式 tan15 1 tan(45 15 ) 3 .
tan15 1