【全国百强校】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高二4月月考数学(文)试题

哈师大附中2017级高二下学期月考数学试题（文科）
第Ⅰ卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的） 1. 复数21z i
=+的虚部（ ）
A. i
B. i -
C. 1
D.-1 2. 曲线()x f x e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ）
A. 1
B.2
C. e D 1e
3. 命题"0,ln 1"x x x ∀>≤-的否定是（ ） A. ，B. ， C. ，D. ，
4. 若函数3
13
y x ax a =
-+在()0,1内有极值，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1-∞ B. ()0,1 C. ()1,-+∞ D. ()1,0-
5. 函数()y f x =的导函数()y f x
'=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）
6. 函数ln x
y x e =-在[]1,e 最大值为（ ）
A. 1e
e - B. 12
e
e - C. e - D. 3
23ln 2e -
7. 已知函数21
()ln (2)2
f x a x x =--在[)1,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A.[1,)-+∞
B. (1,)-+∞
C. ()-∞，-1
D.(,1]-∞-
8. 对任意正实数x ，不等式ln 1x x a --<恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 1a <- B. 1a >- C. 2a >- D. 2a <- 9. 已知函数3
2(1)4
()f f x x x x '-=--，则函数()y f x =的极小值为（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
x
y
.A O
x
y .B O
x
y .C O
x
y
D.
O
10. 为了研究高中学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，现从哈师大附中高二学年随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回
归直线方程为ˆˆˆy
bx a =+．已知101
225i i x ==∑，10
1
1600i i y ==∑，ˆ4b =．若某学生的脚长为24，据此估计其身高约为（ ）
A.160
B.163
C.166
D.170 11. 设点P 在 曲线2ln y x =上，则点P 到直线y x =的最小值为（ ）
A.
1ln 2
2
- B. 1+ln 22 C.2(1ln 2)- D.2(1ln 2)+
12. 已知定义在上的可导函数
的导函数为
，若对任意x R ∈，都有
，且
()02019f =，则不等式()2019x f x e <的解集为（ ）
A. ()0,+∞
B. 21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C. (),0-∞
D. 21,e ⎛
⎫-∞
⎪⎝⎭
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13. 曲线3
3y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 ．
14. 若函数()2ln f x x x x -=-在其定义域的一个子区间1,22k k ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ． 15. 给出下列等式：
2311
11222；
⨯=-⨯ 22
31411
+112223232；⨯⨯=-⨯⨯⨯ 233
3141511
++112223234242
；⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯ 由以
上
等
式
推
出
一
个
一
般
结
论
：
对
于
2314121
,
++
122232
(1)2
*+∈⨯+⨯⨯=⨯⨯+n n n N n n ．
16.已知a 为常数，函数2
()ln f x ax x x =-+有两个极值点1212,()x x x x <，则下列结论： ①1
02
a <<
② 101x << ③ 21x > ④ 1()0f x >
其中正确的是_________________ .（填上所有正确命题的序号）
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分）
已知函数2
()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-. （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的极大值.
18.（本小题满分12分）
地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．图(1)和图(2)分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）根据成绩频率分布直方图分别估计参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩； （Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？
成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计 高一年级 高二年级 合计
附： .
临界值表：
P (K 2≥k )
0.10 0.05 0.010 k
2.706
3.841
6.635
已知函数()3
213
f x x ax bx =
++在3x =处有极值9- （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 在[]3,6-的最大值
20．（本小题满分12分）
已知函数()2
ln f x x a x =-
（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()()2
g x f x x
=+在 ()2,+∞上是单调递增函数，求实数a 的取值范围.
已知函数2
()x
f x e x =⋅. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()()+1f x a x ≥在[)0,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.
22. （本小题满分12分）
已知函数()()2
ln 21f x x ax a x =+++， ()a R ∈
（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；
（Ⅱ）若函数()()()2ln h x f x a x a x =-+-有两个极值点，求实数a 的取值范围.
哈师大附中2017级高二下学期月考数学答案（文科）
一、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D
A
B
B
D
C
D
B
A
C
C
A
二、 填空题 13.21y x =+
14.1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
15.()1
112
n
n -
+⋅ 16.①②③ 三、解答题
17.（本小题满分10分）
(1)(1,(1))f 在直线22y x =-上，所以()10f =
()12b f x ax x
'=++
()112213(1)10
f a b a b f a '=++=⎧=-⎧⎪
⇒⎨
⎨==+=⎪⎩⎩ (2)()()23(1)(23)
3ln ,12x x f x x x x f x x x x
-+-'=-+=-+
=
()()()()()33000,22330+223
02
f x x f x f x x f x f x x ⎛⎫
'>⇒<<⇒ ⎪⎝⎭
⎛⎫'<⇒>
⇒∞ ⎪⎝⎭'=⇒=
的增区间为的减区间为，
x
30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
32
3+2⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
， ()f x '
+
0 -
()f x 递增
极大值
递减
333
()3ln 242
y f ==-+极大，没有极小值.
18.（本小题满分12分） (1) 高一年级学生竞赛平均成绩为
(45×30＋55×40＋65×20＋75×10)÷100＝56(分)， 高二年级学生竞赛平均成绩为
(45×15＋55×35＋65×35＋75×15)÷100＝60(分)． (2)2×2列联表如下：
成绩小于60分人数
成绩不小于60分人数
合计 七年级 70 30 100 八年级 50 50 100 合计
120
80
200
∴k ＝
200×50×30－50×70
2
100×100×120×80
≈8.333>6.635，
∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”． 19.（本小题满分12分）
（1）()22f x x ax b '=++ 由()f x 在3x =处有极值9-得：
()()
3960
1339939f a b a b f a b '=++=⎧=-⎧⎪⇒⎨
⎨=-=++=-⎩⎪⎩ 321
()33
f x x x x =--
（2） ()()()2
2313f x x x x x '=--=+-
()()()()()()()
013--13+013-1-3f x x x f x f x x f x '>⇒<->⇒∞∞'<⇒-<<⇒或的增区间为，、，的减区间为，
[]3,6x ∈-时，()[][][]3,11,33,6f x ---在递增，在递减，在递增
()()5
1,693
f f -==，
所以[]3,6x ∈-时()()max 69f x f ==.
20.（本小题满分12分）
（1）()()()()2
1122ln ,22x x f x x x f x x x x
+-'=-=-
= ()()()()()()
01+0010,1f x x f x f x x f x '>⇒>⇒∞'<⇒<<⇒的增区间为1，的减区间为
（2）()()22
ln 2+g x x a x x
=-+
∞在，递增，()()22202,a g x x x x '=--≥+∞在恒成立，
()22
22,a x x
≤-+∞在恒成立
设()()()2222
2,402,h x x h x x x x
'=-=+>+∞则在恒成立，
所以()()2,h x +∞在单独递增，所以()()2,27x h x h >>=时 所以7a ≤.
21.（本小题满分12分）
（1）2
()x
f x e x =⋅，()()2x
f x e x x '=⋅+
()()()()()()()
020--2+020-2f x x x f x f x x f x '>⇒<->⇒∞∞'<⇒-<<⇒或的增区间为，、0，的减区间为，0
（2）()()+1f x a x ≥在[)0,+∞恒成立，即()2
+1x
e x a x ⋅≥在[)0,+∞恒成立，
所以2
+1
x e x a x ⋅≤在[)0,+∞恒成立，
设()2
+1x e x h x x ⋅=，则()()()()()
22222
+2(1)+22+1+1x x x e x x x x e xe x x h x x x +-+'== 0x ≥时，()0h x '≥恒成立，所以()2
+1
x e x h x x ⋅=
在[)0,+∞单调递增； 0x ≥时，()()min 0=0h x h =
所以0a ≤ 22.（本小题满分12分）
（1）()()2
ln 21f x x ax a x =+++，()()()
211ax x f x x
++'=
0,10x x ∴>∴+>，
所以20a ≥时，()()
210,00ax f x x '+>∴>>时，∴()f x 在()0,+∞单调递增；
20a <时，()()1100022f x x f x a a ⎛⎫'>⇒<<-
⇒- ⎪⎝⎭
在，单调递增； ()()110,22f x x f x a a ⎛⎫
'<⇒>-
⇒-+∞ ⎪⎝⎭
在单调递减. 综上：0a ≥时，()f x 在()0,+∞单调递增
0a <时，()f x 在102a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增，在1,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
单调递减.
（2）()()()()2()2ln 1ln 1h x f x a x a x a x ax a x =-+-=-++-有两个极值点
()()2211ax a x a
h x x
+-+-'=
在()0,+∞有两个零点， 设()2211u ax a x a =+-+-，则u 在()0,+∞有两个零点，
()()21181019
10014a a a a a a a a
⎧
=--->⇒<>⎪⎪⎨
-⎪>⇒<<⎪⎩或 所以0a >，
故0x =时10u a =->，所以1a < 综上：1
09
a <<。