根轨迹法习题和答案

第四章 根轨迹法习题及答案

4-1 系统的开环传递函数为

)

4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G *

+++=

试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。

解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件

π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。

对于31j s +-=，由相角条件

=∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0

=++-∠-++-∠)43j 1()23j 1(

ππ

π

π

-=-

-

-

6

3

2

满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件：

14

3j 123j 113j 1K s H )s (G *

11=++-⋅++-⋅++-=

）（

解出 ： 12K *

= ， 2

3

8K K *==

4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)b s )(4s (02)s (G ++=

（2）)

b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=

解 (1) )

4j 2s )(4j 2s ()

4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++=

'

28

s 6s 20

)s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ

(2) )

10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 2

2++++='=)3j 1s )(3j 1s (s )

19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40

s 14s 4s )

4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+=

Φ

4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)

b s )(4s (s

2)s (G ++=

，试绘制参数b 从零变

化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 )

6s (s )

4s (b )s (G ++=

'

根轨迹如图。 2s -=时4b =， )

8s )(2s (s

216s 10s s 2)s (2

++=++=Φ

4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。

⑴ )

1s 5.0)(1s 2.0(s k

)s (G ++=

(2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++=

(3) )3s )(2s (s )

5s (k )s (G *+++= (4) )

1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++=

解 ⑴ )

2s )(5s (s K

10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++=

三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]

5,-∞-, []0,2-

② 渐近线： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--=σ,33)1k 2(3

73520a a

③ 分离点：

02

d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为

0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++=

令 ⎩

⎨⎧=ω+ω-=ω=+ω-=ω010)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[3

2 解得⎩⎨

⎧==ω7

k 10

与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图所示。

⑵ )

2

1s (s 2)

1s (K )

1s 2(s )1s (K )s (G ++=

++=

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：

1

d 1

5.0d 1d 1+=

++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。 根轨迹如图所示。

⑶根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-

② 渐近线： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02

)5(320ππϕσk a a

③ 分离点： 5

1

31211+=

++++d d d d 用试探法可得

886.0-=d 。

根轨迹如图所示。

(4) 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点：

2

d 1

1d 11d 1d 1++

+=-+ 求解得：37.1d 37.0d 21-==， 根轨迹如图所示。

4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 )

101s .0)(102s .0(s k

)s (G ++=

要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k 的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k 的值。 解 (1) )

100s )(50s (s k

5000)1s 01.0)(1s 02.0(s k )s (G ++=++=

① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-∞] ② 分离点：

0100

d 150d 1d 1=++++ 求解得87.78d 13.21d 21-=-=，

③ 渐近线：o o

a a 1806050，

，±=ϕ-=σ