根轨迹法习题和答案
第4章 控制系统根轨迹法习题
即： (s −s2)(s −s3) = s2 + s +1
−1+ j 3 则：s2 = 2 −1− j 3 s2 = 2
为系统另外
两个极点的值。 两个极点的值。
(s +2)(s +1 ) (s +2)(s +1 ) s(s +1 ) ϕ(s) = = (s +2)(s +1 s(s +1 +(s +2)(s +1 ) ) ) 1+ s(s +1 ) (s +2)(s +1 ) s +2 = = (2s +2)(s +1 2s +2 )
三.绘制下图所示系统的概略根轨迹，并用根轨迹 绘制下图所示系统的概略根轨迹， 的模值方程确定使系统的三个根均为负实根的 k* 取值范围。 取值范围。
2.系统在欠阻尼状态下，也就是根轨迹在复平面 2.系统在欠阻尼状态下， 系统在欠阻尼状态下 上变化， 上变化，而不在实轴上变化 0 <T <1 3.闭环极点出现重根时，也就是根轨迹在分离点 3.闭环极点出现重根时 闭环极点出现重根时， s1 = s2 =−1 系统此时为临 处，此时闭环极点 界阻尼 T =1 。 则闭环传递函数为： 则闭环传递函数为：
二.系统结构如下图所示： 系统结构如下图所示： 1.绘制T从 0 →∞ 变化的根轨迹。 1.绘制 绘制T 变化的根轨迹。 2.确定系统在欠阻尼状态下T的取值范围。 2.确定系统在欠阻尼状态下 的取值范围。 确定系统在欠阻尼状态下T 3.求闭环极点出现重根时的闭环传递函数。 3.求闭环极点出现重根时的闭环传递函数 求闭环极点出现重根时的闭环传递函数。
解：特征方程为： 特征方程为：
自动控制原理简明教程 第四章 根轨迹法 习题答案
(S S3 )(S 1)2 S (S 3)2 4
则解得：
(S S3 )(S 1)2 S (S 1)2 4(S 1)2 (S 4)(S 1)2
则 (S S3) S 4 S3 4 （另外一个闭环极点） 临界阻尼时的闭环传递函数为
(S)
(S
4(S 1) 4)(S 1)2
d d 2 d 1 j d 1 j
n
(
1
m
1 ) 求分离点的坐标公式
i1 d Pi i1 d Zi
解得：d 1
分离角： l
180 l
180 2
900
此时对应为T值：
（应使用模值方程求得）
T S S2 1T 1
S 1 j S 1 j
P1(-1,j)
T=0
Z2
Z1
-2
-1
0
T=∞
传递函数（写成零极点乘积形式） 解：系统结构图如下：
R(S) -
G(S)
C(S)
如果没有特别强调是正反馈，则单位反馈系统都 是单位负反馈系统。该题为参量根轨迹。 根轨迹方程：1 G(S) 1 4(S k) 0
S(S 1)(S 5)
特征方程：
D(S) S 3 6S 2 9S 4k 0
等效开环传递函数为：
G开 (S)
4k S(S
3)2
1
4k S (S 3)2
0
开环零点： m 0
开环极点： n 3, P1 0, P2 3, P3 3 则根轨迹有3条分支，有3条渐近线。
根轨迹与实轴的交点：
n
m
a
Pi Zi
i 1
i 1
nm
3 3 2 3
渐近线与实轴正方向夹角
自动控制第四章 根轨迹法 复习资料
第四章 根轨迹法一、填空选择题（每题2分）1、根轨迹起于开环 点，终于开环 点。
2、根轨迹对称于s 平面 轴。
3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 在s 平面上运动后形成的轨迹。
4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(++=s s K s G ，若此时闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 。
5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 平面，则系统一定稳定。
6、系统的开环传函为G(s)H(s)=)4(3+s s K，则实轴上的根轨迹范围是（ ）。
A.[-∞, -4] B.[-4, 0] C.[0, 4] D.[4, ∞]根轨迹填空题答案1、根轨迹起于开环 极 点，终于开环 零 点。
2、根轨迹对称于s 平面的 实 轴。
3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 特征方程的根 或 系统闭环极点 在s 平面上运动后形成的轨迹。
4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(++=s s K s G ，若此时系统的闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 1 。
5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 左半 平面，则系统一定稳定。
6、B二、综合计算题及参考答案a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。
解：8’(按规则分解)a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
cbad解：每项三分cbadb1、（10分）单位负反馈控制系统的开环传递函数为15.0)15.0()(2+++=s s s K s G 试绘制闭环系统的根轨迹。
并求分离点或会合点。
解：G(s)的零、极点标准形式为)1)(1()2()(j s j s s K s G -++++=因此该系统的开环零点为（－2，0）、开环极点为（－1，j ±），因此该系统有两条根轨迹分支，并且起于两个开环极点，终于开环零点（－2，0）和无限零点。
第四章 根轨迹法 习题
第四章 根轨迹法4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()()()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02+=++=4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()()2411+-+=s s s Ks G 的根轨迹。
4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()()()1,42)1(2=+++=s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。
4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。
()()()()1,4122=++=s H s s Ks G4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()()5284)2(2+++++=s s s s s s K s H s G 对应-∞<K<∞的根轨迹。
指明所有根轨迹上的相应特征。
4-7 设一负反馈系统，其开环传递函数 ()()()()()90020040)4(2++++=s s s s s K s H s G a) 画出根轨迹并表明根轨迹上全部特征值。
b) 增益值在一个什么样的范围内，系统才是稳定的？ c) 画出系统的伯德图，并使其稳定性和不稳定性区域，与根轨迹图连系起来说明。
4-8 对应负反馈情况，重做习题4-7.4-9 对应如下的负反馈控制系统，粗略地作出根轨迹，并确定系统稳定下K 的范围。
()()()()1,41)6(=+++=s H s s s s K s G4-10 对应习题4-10图所示系统，根据以下条件，试确定导致系统稳定的正实数增益K 的范围：a) 具有负反馈的系统。
b) 具有正反馈的系统。
习题4-10图4-11 已知反馈系统的开环传递函数*()()(1)(2)K G s H s s s s =++ 试绘制系统的根轨迹图，详细列写根轨迹的计算过程，其中包括零点、极点、渐近线及与实轴交点，根轨迹分离点及与虚轴的交点、渐近线与实轴夹角。
根轨迹选择题练习
1. 设系统开环传递函数为：12*()()H(s)=
(22)
K s z G S s s s -++当附加的开环实数零点1z 趋近无穷时，对应的根轨迹图为
2. 选出下例中正确的根轨迹图是
3. 下面关于稳定性的叙述不正确的有
A. 如果闭环极点全部位于S 左半平面，则系统一定是稳定的。
B. 系统稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。
C. 附加位置适当的开环零点，可以改善系统的稳定性能。
D. 线性系统的稳定性与输入信号的类型有关。
4. 系统的瞬态响应的基本特征取决于系统（）在S 复平面上的位置。
A. 开环零点
B.开环极点
C. 闭环零点
D.闭环极点
5．选出下例中正确的根轨迹图是
6．选出下例中正确的根轨迹图是
7．选出下例中正确的根轨迹图是
8．选出下例中正确的根轨迹图是
9．选出下例中正确的根轨迹图是。
自控 根轨迹法习题及答案
1第四章 根轨迹法习题及答案1系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于31j s +-=，由相角条件=∠)()(11s H s G=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j jππππ-=---6320满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：1431231131)(*11=++-⋅++-⋅++-=j j j K s H s G ）（解出 ： 12*=K ， 238*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
2解根轨如图解4-2所示：3已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：（1）确定)20)(10()()(2+++=*ssszsKsG产生纯虚根为1j±的z值和*K值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(jsjssssKsG-+++++=*的闭环根轨迹图（要求3确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。
解（1）闭环特征方程020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D有 0)30()200()(324=-++-=**ωωωωωK j z K j D令实虚部分别等于零即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-**0300200324ωωωωK z K 把1=ω代入得： 30=*K ， 30199=z 。
（2）系统有五个开环极点：23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-==① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15(21)3,,555a a j j k σπππϕπ--+-++--⎧==-⎪⎪⎨+⎪==±±⎪⎩③ 分离点：02312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=*05.455.43 )Im(05.795.10)Re(3524ωωωωωωωj K j解得：⎩⎨⎧==*00K ω ，⎩⎨⎧=±=*90.7102.1K ω，⎩⎨⎧-=±=*3.1554652.6K ω（舍去）⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为74..923..1461359096..751804=----=p θ由对称性得，另一起始角为74.92，根轨迹如图解4-6所示。
第五章根轨迹分析方法自测题__参考答案
第五章 根轨迹分析方法 自测题__参考答案5-1 设闭环系统的开环传递函数为2(5)()0(48)K s G s K s s s +=>++，请用相位条件检验下列S 平面上的点是不是根轨迹上的点，如果是根轨迹上的点，则用幅值条件计算该点所对应的K 值。
（1）（－1，j0）；（2）（-1.5，j2）；（3）（－6，j0）；（4）（－4，j3）；（5）（－3，j2.37）解： （1）是; K ＝5/4（2）是; K ＝5/4（3）不是根轨迹上的点。
（4）不是根轨迹上的点。
（5）是; K ＝7。
5-2 单位负反馈系统的开环传递函数为：()0(1)KG s K s Ts =>+，，若希望闭环系统所有特征根实部均小于-2，请绘制根轨迹草图确定T 的取值范围。
若再要求系统阻尼比ζ不小于0.5，请画出期望的特征根在S 平面上的分布范围。
解：分离点的位置是： 0<T<1/45-3 控制系统结构如图5-3所示，试由根轨迹的方法确定使闭环系统稳定的KK t 的取值范围。
解：系统开环传递函数为：()(0.251)t KG s s s KK =-+有2个开环极点：120, 4(1)t s s KK ==-由于K>0，故欲保证闭环系统稳定，只需要2个开环极点均位于S 左半平面即可 故101t t KK KK -<⇒>R (s )s )图5-3 控制系统示意图即只要满足条件 1t KK >。
5-4 单位负反馈系统的开环传递函数为：123()()()()()K s z G s s p s p s p +=+++其零、极点分布如图5-4所示，试采用根轨迹方法确定使系统稳定的K 的范围。
解：可以绘制根轨迹的概略图。
从+1、－1出发的2条根轨迹相向而行，在分离点离开实轴进入复域。
由已知的零极点分布容易判断，分离点一定是在左半平面。
渐近线与实轴的交点：－0.5，为平行于虚轴的垂直线容易看出，当一个极点从s=1出发，往S 左半平面移动，过原点为系统稳定与否的分界点。
根轨迹典型习题
1、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s 5.0)(1s 2.0(s k)s (G ++=，试概略绘出系统根轨迹。
解： )2s )(5s (s K10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++=三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]5,-∞-, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--=σ,33)1k 2(373520a a③ 分离点：02d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。
④ 与虚轴的交点： 特征方程为0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++=令 ⎩⎨⎧=ω+ω-=ω=+ω-=ω010)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[32 解得⎩⎨⎧==ω7k 10与虚轴的交点（0，j 10±）。
根轨迹如图所示。
2、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s 2(s )1s (k )s (G ++=，试概略绘出系统根轨迹。
解： )21s (s 2)1s (K )1s 2(s )1s (K )s (G ++=++=根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：1d 15.0d 1d 1+=++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。
根轨迹如图所示。
3、已知单位反馈系统的开环传递函数)3s )(2s (s )5s (k )s (G *+++=，试概略绘出系统根轨迹。
解：① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点：5131211+=++++d d d d 用试探法可得 886.0-=d 。
根轨迹如图所示。
4、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++=，试概略绘出系统根轨迹。
王建辉《自动控制原理》(课后习题 根轨迹法)【圣才出品】
第4章 根轨迹法4-1 根轨迹法适用于哪类系统的分析？答：根轨迹法适用于分析高阶系统。
4-2 为什么可以利用系统开环零点和开环极点绘制闭环系统的根轨迹？答：绘制根轨迹的依据是幅角条件，而系统的幅角关系为式中：；为开环有限零点－z i 到s 的矢量幅角；为开环极点－p j 到s 的矢量幅角。
由此可知，可以利用系统开环零点和开环极点来绘制闭环系统的根轨迹。
4-3 绘制根轨迹的依据是什么？答：绘制根轨迹的依据是幅角条件，即幅角的和总等于。
4-4 为什么说幅角条件是绘制根轨迹的充分必要条件？答：由根轨迹的定义可知，根轨迹由特征方程式的幅值条件和幅角条件决定，但因为K g 在0→∞范围内连续变化，总有一个K g 能满足幅值条件，所以，绘制根轨迹的依据是幅角条件。
4-5 系统开环零、极点对根轨迹形状有什么影响？答：（1）增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。
（2）增加开环极点将使系统的根轨迹向右弯曲，使对应同一个K g值的复数极点的实数部分和虚数部分数值减小，从而系统的调节时间加长，振荡频率减小。
4-6 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。
解：（1）①起点：两个开环极点为－p1＝－1，－p2＝－2；终点：系统有一个开环有限零点为－z＝－3。
②实轴上的根轨迹区间为（－∞，－3]，[－2，－1]。
③根轨迹的分离点、会合点计算。
即因为根轨迹在（－∞，－3]和[－2，－1]上，所以，分离点为－1.58，会合点为－4.42。
根轨迹如图4-1所示。
图4-1 题4-6（1）根轨迹图（2）①起点：三个开环极点－p1＝0，－p2＝－3，－p3＝－2；终点：系统有一个开环有限零点－z＝－5。
②实轴上根轨迹区间为[－5，－3]，[－2，0]。
③渐近线倾角及交点计算。
由公式求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为④求分离点N'（s）D（s）－D'（s）N（s）＝0。
根轨迹法习题及答案
第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G *+++=试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。
对于31j s +-=，由相角条件=∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0=++-∠-++-∠)43j 1()23j 1(ππππ-=---632满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：143j 123j 113j 1K s H )s (G *11=++-⋅++-⋅++-=）（解出 ： 12K *= ， 238K K *==4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。
（1）)b s )(4s (02)s (G ++=（2）)b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=解 (1) )4j 2s )(4j 2s ()4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++=' 28s 6s 20)s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ(2) )10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 22++++='=)3j 1s )(3j 1s (s )19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40s 14s 4s )4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+=Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)b s )(4s (s2)s (G ++=，试绘制参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。
解 )6s (s )4s (b )s (G ++='根轨迹如图。
自动控制原理课后答案第4章
5
的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）
5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
自动控制原理孟华第4章习题解答
4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数1)(+=s K s G 试用解析法绘出K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： (2，j 0)，(0+j 1)，(3+j 2)。
解：根轨迹如习题4-1答案图所示。
（-2，+j 0）在根轨迹上；(0,+j 1), (-3, +j 2) 不在根轨迹上。
习题4-1答案图4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
)12()13()(++=s s s K s G 试用解析法给出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解： 解析法：K =0时：s=-1/2，0；K =1：s=-1±2/2；K =-∞：s=-∞，-1/3。
根轨迹如习题4-2答案图所示。
习题4-2答案图4-3 已知系统的开环传递函数)1()1()()(-+=s s s K s H s G ，试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图，并确定使系统处于稳定时的K 值范围。
解：分离点：；会合点： ；与虚轴交点：±j 。
稳定的K 值范围：K >1。
根轨迹如习题4-3答案图所示。
习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为2*)4)(1)(1()(+-+=s s s K s G （1）试粗略画出K *由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。
解：稳定性分析：系统不稳定。
根轨迹如习题4-4答案图所示。
Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s习题4-4答案图4-5 设控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2*++-+=s s s s s K s H s G ，试绘制系统根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。
解：渐近线：=60°，180°；=-2/3；复数极点出射角55°；分离会合点和；与虚轴交点和；使系统稳定的开环增益为 ＜K ＜ (即 ＜K *＜。
习题4-5答案图4-6 已知系统的特征方程为0)4()3)(1)(3)(1(2=++--++s K s s s s试概略绘出K 由0→∞时的根轨迹（计算出必要的特征参数）。
根轨迹习题大全教材
s(s 0.2) Td s 1 0
1＋Td
s
0
s(s 0.2) 1
等效开环传递函数
G(s)
Td
s s(s 0.2) 1
系统1 ××
× 系统2、3
o
×
思考：在前向通道与反馈通道配置开环零点，对系统的 影响完全一样吗？如果不同，区别是什么？
例4:已知负反馈控制系统的开环传递函数为
k5和一个负实根利用幅值方程确定和一个负实根利用幅值方程确定复实根再根据闭环极点和的性质复实根再根据闭环极点和的性质复实根再根据闭环极点和的性质复实根再根据闭环极点和的性质确定共轭复根
根轨迹习题课
例1:某单位负反馈开环传递函数 G(s) k
试绘制其闭环根轨迹，并作分析。s(s 1)(s 2) 解:(1)标出开环零极点分布图
G(s)H (s)
s(s
K (s 1) 1)(s2 4s
16 )
试绘制系统根轨迹并确定系统稳定条件
×
o× ×
×
例5:设负反馈控制系统中：
G(s)
s2 (s
K 2)( s
5)
,
H (s)
1
要求:1)绘制系统根轨迹,并讨论系统稳定性。 2)若H(s)=2s+1,重新绘制系统根轨迹,讨论H(s)的 变化对系统稳定性的影响
D(s)
0
1
Tas2 (s 1) s2 s K
0
构造新系统，令其开环传递函数为:
G1 (s)H1 (s)
Ta s 2 (s 1) s2 s K
则原系统的根轨迹与新系统根轨迹一样。
按照常规根轨迹的绘制法则即可绘制出新系统根轨迹
思考: 新系统中,分子阶次要高于分母阶次, 那么m-n根 轨迹将起于何处？
控制工程技术根轨迹题
8.3 根轨迹图绘制举例
分析： 1.有两条根轨迹，其中一条趋于零点0，另一条趋于无穷远。 2.负实轴为根轨迹（右侧的零极点之和为1，奇数） 3.起始角为：
p 1 , 2 (180
90 arctan
3 1
) ( 90 108 . 5 ) 198 . 5
10
X0(s)
+
得系统的特征方程为：
s 2 s 10 k s s 10 0
2
-
s s 2
1 kss
化为标准式：
10 k s s s
2
2 s 10
1 0
令： s
10 k s s
2
2 s 10
G ( s ) H ( s )
则该开环的零点为0，极点为-13j
1 . 414 * K 6
j j1.414
K 6
*
其中， = 0 对应的K *=0是根轨迹的起点。 3．标注增益
在本例中利用虚轴交点、分离点 的幅值条件的出了相应的K *值， 虚轴上为K *=6 ，分离点处为：
K
*
K
*
0
K
*
* * 0 K 0 . 385 K 0
s 0
1 1 2 5 . 21 s s
或： e ss
1 K
2 K
*
2 0 . 384
5 . 21
8.3 根轨迹图绘制举例
例2：参量根轨迹的绘制，设系统如图所示，试分析ks对系统性能的影响。 解：由
D (s) 1 G (s)H (s) 0
Xi(s)
07_A5_根轨迹法_
第七次作业 根轨迹方法6.2 （根轨迹图，临界稳定增益）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为)52)(8)(4()2()(2+++++=s s s s s s K s G ，0≥K试画出系统的根轨迹，并求系统临界稳定时的增益K .解：(1) 根轨迹图特征数据： ·分离会合点：216012461142345+++++-=s s s s s s K ，0d d =s K03204964902345242345=+++++s s s s s ，040.1 j 544.0,256.1 j 717.2,4776.6±-±--=s ， 取4776.6-=s 。
·出射角：︒⨯+=---︒---180)12(72arctan 32arctan 9012arctan 12arctan 1k ϕ，︒-=8.121ϕ。
·渐近线与实轴交点和夹角：︒±︒±=135,45γ，3-=a σ。
·根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程02)160(12461142345=++++++K s k s s s s ，以ωj =s 代入特征方程，可得实部和虚部方程021241424=+-K ωω，0)160(6135=+--ωωωk 。
由实部和虚部方程消去K ，可得032021224=--ωω，解得2480.52=ω，2908.2=ω，5857.1321606124=-+-=ωωK 。
(2) 根轨迹图：2-4-σωj 1j 2j 1 j -2j -6-8-048.6-(3) 临界开环增益。
5857.132=K6.5 （根轨迹图，增益和动态性质的关系）已知系统如图6.E.1所示，其中0>K . 试作该系统根轨迹图, 并说明K 在什么范围内取值时系统为过阻尼系统? K 在什么范围内为欠阻尼系统?解：(1) 根轨迹图：1-3-σωj由根轨迹图可知K 很大与很小时均为过阻尼系统。
根轨迹法习题及答案
第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G 试证明点311j s +−=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件1s 1s π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于31j s +−=，由相角条件=∠)()(11s H s G=++−∠−++−∠−++−∠−)431()231()131(0j j jππππ−=−−−632满足相角条件，因此311j s +−=在根轨迹上。
将代入幅值条件：1s 1431231131)(*11=++−⋅++−⋅++−=j j j K s H s G ）（解出 ： 12*=K ， 238*==K K4-2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
1（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-22图 开环零、极点分布图解 根轨如图解4-2所示：4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G⑵ )3)(2()5()(*+++=s s s s K s G⑶ )12()1()(++=s s s K s G2解 ⑴ )2)(5(10)15.0)(12.0()(++=++=s s s Ks s s K s G系统有三个开环极点：,01=p 22−=p ,53−=p① 实轴上的根轨迹：,(]5,−∞−[0,2−]② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=−=−−=πππϕσ,33)12(373520k a a③ 分离点：021511=++++d d d 解之得：，(舍去)。
88.01−=d 7863.32−d ④ 与虚轴的交点：特征方程为010107)(23=+++=k s s s s D 令 ⎩⎨⎧=+−==+−=010)](Im[0107)](Re[32ωωωωωj D k j D 解得⎩⎨⎧==710k ω 与虚轴的交点（0，j 10±）。
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第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G *+++=试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。
对于31j s +-=，由相角条件=∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0=++-∠-++-∠)43j 1()23j 1(ππππ-=---632满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：143j 123j 113j 1K s H )s (G *11=++-⋅++-⋅++-=）（解出 ： 12K *= ， 238K K *==4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。
（1）)b s )(4s (02)s (G ++=（2）)b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=解 (1) )4j 2s )(4j 2s ()4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++='28s 6s 20)s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ(2) )10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 22++++='=)3j 1s )(3j 1s (s )19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40s 14s 4s )4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+=Φ4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)b s )(4s (s2)s (G ++=，试绘制参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。
解 )6s (s )4s (b )s (G ++='根轨迹如图。
2s -=时4b =， )8s )(2s (s216s 10s s 2)s (2++=++=Φ4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ )1s 5.0)(1s 2.0(s k)s (G ++=(2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++=(3) )3s )(2s (s )5s (k )s (G *+++= (4) )1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++=解 ⑴ )2s )(5s (s K10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++=三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]5,-∞-, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--=σ,33)1k 2(373520a a③ 分离点：02d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。
④ 与虚轴的交点： 特征方程为0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++=令 ⎩⎨⎧=ω+ω-=ω=+ω-=ω010)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[32 解得⎩⎨⎧==ω7k 10与虚轴的交点（0，j 10±）。
根轨迹如图所示。
⑵ )21s (s 2)1s (K )1s 2(s )1s (K )s (G ++=++=根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：1d 15.0d 1d 1+=++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。
根轨迹如图所示。
⑶根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点： 5131211+=++++d d d d 用试探法可得886.0-=d 。
根轨迹如图所示。
(4) 根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点：2d 11d 11d 1d 1+++=-+ 求解得：37.1d 37.0d 21-==， 根轨迹如图所示。
4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 )101s .0)(102s .0(s k)s (G ++=要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k 的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k 的值。
解 (1) )100s )(50s (s k5000)1s 01.0)(1s 02.0(s k )s (G ++=++=① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-∞] ② 分离点：0100d 150d 1d 1=++++ 求解得87.78d 13.21d 21-=-=，③ 渐近线：o oa a 1806050，，±=ϕ-=σ根轨迹如图所示。
(2) 系统临界稳定时150k 750000k *==， (3) 系统临界阻尼比时62.9k 5.48112k *==，4-6 已知系统的开环传递函数为)20s 8s (s k )s (H )s (G 2*++=，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益k 的取值围。
解 )20s 8s (s K )s (H )s (G 2++=*① 实轴上的根轨迹： (]0,∞-② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--++-+=σ,33)1k 2(383)2j 4()2j 4(0a a ③分离点：02j 4d 12j 4d 1d 1=-+++++ 解之得：33.3d ,2d -=-=。
④与虚轴交点：*+++=ks 20s 8s )s (D 23把ω=j s 代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：⎩⎨⎧=ω-ω=ω=ω-=ω*020))j (D Im(08k ))j (D Re(32 解得：⎩⎨⎧==ω*0k 0⎪⎩⎪⎨⎧=±=ω*160k 52⑤起始角：由相角条件632p -=θ，633p =θ。
根轨迹如图所示。
所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时，16k 8.14*≤≤ 所以8.0k 74.0≤≤4-7 单位反馈系统的开环传递函数为)1s 74()1s ()1s 2(k )s (G 2-++=，试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k 值围。
解 ：根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： []4/75.0，- ② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π±=π+=ϕ=--+--=σ22)1k 2(812)5.0(4/711a a③ 与虚轴交点：闭环特征方程为01k s )710k 2(s 71s 74)s (D 23=-+-++=把ω=j s 代入上方程，令⎪⎩⎪⎨⎧=ω-ω-=ω=ω--=ω074)710K 2())j (D Im(0711K ))j (D Re(32解得： ⎩⎨⎧==ω1K 0，⎪⎩⎪⎨⎧=±=ω79K 2根轨迹如图所示。
由图可知使系统稳定的K 值围为 79K 1<<。
4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。
22)9s 4s (2s K )s (H )s (G +++=*）（解 根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： []2,-∞-② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--+---=σ,33)1k 2(323)2(5j 25j 2a a ③ 分离点：2d 15j 2d 25j 2d 2+=-++++ 解之得：29.3d -= 71.0d = (舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为02s K )9s 4s ()s (D 22=++++=*）（把ωj s =代入上方程，令⎪⎩⎪⎨⎧=ω-ω+=ω=++ω-ω=ω**8)K 72())j (D Im(0K 28134))j (D Re(324解得： ⎩⎨⎧=±=ω*96K 21⑤ 起始角： π+=⨯-θ-）（）（1k 29022901p解出135,4521p p -=θ=θ 根轨迹如图所示。
4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a 和T 为变化参数的根轨迹。
(1) )1s (s )a s (4/1)s (G 2++=，0a >；(2) )1Ts )(11s .0(s 6.2)s (G ++=，0T > 解 (1) 2)5.0s (s 4/a )s (G +=' ① 实轴上的根轨迹： )0(，-∞② 渐近线：o oa a 180603/1，，±=ϕ-=σ ③ 分离点：6/1d -= 根轨迹如图所示。
(2) 26s 10s )10s (Ts )s (G 22+++='① 实轴上的根轨迹： )0(，-∞ ② 起始角终止角：o o p 11o 180)90(51tg )51tg 180(2=+θ-+---解得起始角o p 7.78±=θ o 11oz 180)51tg 51tg(02=+--+θ-- 解得终止角oz 90±=θ 根轨迹如图所示。
4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹， 并求出所有根为负实根时开环增益k 的取值围及系统稳定时k 的值。
)18s ()1s ()1s (k )s (H )s (G 2+-+=* 解① 实轴上的根轨迹： ]118[--， ② 分离点：22.4d 1-=，28.6d 2-=③ 渐近线：5.7a -=σ，oa 90±=ϕ④与虚轴交点：j86.1s2,1±=，7.37k*=根轨迹如图所示。
6.116kd*1=处，6.117kd*2=处，18/kk*=结论：53.6k48.6<<时所有根为负实根，095.2k>时系统稳定。
4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹，并分析参数T的变化对系统动态性能的影响。
解：s20sTs100)s(G23++=作等效开环传递函数32*s)100s20s(T1)s(G++=根轨迹绘制如下：（注意：)T/1k*=①实轴上的根轨迹：]10,(--∞,[]0,10-②分离点：10d2d3+=解得30d-=。
根据幅值条件，对应的015.0T=。
③虚轴交点：闭环特征方程为100s20sTs)s(D23=+++=把ω=js代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=ω-ω=ω=ω-=ωT20))j(DIm(100))j(DRe(32解得：⎩⎨⎧=±=ω2.0T10④ 起始角：︒=θ601p参数T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。
(请注意根轨迹的方向！)从根轨迹图可以看出，当015.0T 0≤<时，系统阶跃响应为单调收敛过程；2.0T 015.0<<时，阶跃响应为振荡收敛过程；2.0T >时，有两支根轨迹在s 右半平面，此时系统不稳定。