2025届广东省深圳市2009-高三一诊考试数学试卷含解析

2025届广东省深圳市2009-高三一诊考试数学试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．1-
B ．2
C ．7
D ．8
2．已知集合{|lg }M x y x ==，2
{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2]
B ．{0,1,2}
C ．{1,2}
D ．(1,2)
3．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )
A ．
332
63
cm B ．
364
63
cm C ．
332
23
cm D ．
364
23
cm 4．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ） A ．43π
B ．4π
C ．42π
D ．3π
5．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）
A ．PA ，P
B ，P
C 两两垂直
B ．三棱锥P -AB
C 的体积为8
3
C ．||||||6PA PB PC ===
D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为35
6．直线
经过椭圆
的左焦点，交椭圆于
两点，交轴于点，若
，则该
椭圆的离心率是（） A ．
B ．
C ．
D ．
7．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）
A ．[1,)-+∞
B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A ．11//FM AC ，
B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11C
C
D D C ．BM ⊥平面1CC F
D ．三棱锥B CEF -的体积为定值
9．若2
1i i
z =-+，则z 的虚部是
A ．3
B ．3-
C ．3i
D ．3i -
10．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A ．56
B ．60
C ．140
D ．120
11．若函数()()2
2
2cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）
A 337
--B 337
-+ C ．4- D ．2
12．已知函数()2
2
cos sin 4f x x x π⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
，则()f x 的最小值为( ) A ．212
+
B ．
12
C ．212
-
D ．214
-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知*n N ∈，满足0122
222243n n
n n n n C C C C +++
+=，则()
2n
x x y ++的展开式中52x y 的系数为______.
14．设向量a (),1=m ，b ()
2,1=，且a b ⋅=
()
2
212
a b +，则m =_________. 15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若257n n S a =-，则n a =____ 16．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ，b 的夹角等于3
π
，且（a c -）•（b c -）＝0，则|c |的取值范围是_____．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知矩阵010A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1
020A b -⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
.若曲线1C ：2214x y +=在矩阵A 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求曲线2C 的方程.
18．（12分）某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和210.1()5p p -≤<.
（1）从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值0p . （2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值.
①已知A ，B 生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元．若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？
②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利10元、8元、6元，现从A ，
B 生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂
生产一件产品的利润为X ，求X 的分布列并估算该厂产量2000件时利润的期望值. 19．（12分）联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表： 年份
2010 2012 2014 2016 2018 需求量（万吨）
236
246
257
276
286
（1）由所给数据可知，年需求量与年份之间具有线性相关关系，我们以“年份—2014”为横坐标x ，“需求量257-”为纵坐标y ，请完成如下数据处理表格： 年份—2014 0 需求量—257
（2）根据回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+分析，2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨，问是否能够满足该地区的粮食需求？
参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1
2
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y
nx y b
x
nx
==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-.
20．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.
x
y
w
()
10
2
1
i
i x x =-∑
()
10
2
1
i
i w w =-∑
()()10
1
i
i
i x x y y =--∑
()()10
1
i
i
i w w y y =--∑
1.47
20.6 0.78 2.35 0.81 19.3- 16.2
表中21i i w x =，101
110i i w w ==∑.
（1）根据散点图判断，y a bx =+与2d
y c x
=+哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（3）若单位时间内煤气输出量t 与旋转的弧度数x 成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据()()()()112233,,,,,,
,,n n u v u v u v u v ，其回归直线ˆˆv u αβ
=+的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为()()
()
1
2
1
ˆn
i
i i n
i
i u
u v v u
u β
==--=-∑∑，ˆv u α
β=- 21．（12分）已知函数2
()ln f x x a x a R =-∈,．
（1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （2）求()f x 在区间[
)1,+∞上的最小值；
（3）在（1）的条件下，若2
()()h x x f x =-，求证：当21x e <<时，恒有4()
4()
h x x h x +<
-成立．
22．（10分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件A 为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A 发生的概率；
（2）用X 表示抽取的4人中文科女生的人数，求X 的分布列和数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值. 【详解】
解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示： 当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题. 2、C 【解析】
分别求解出,M N 集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案. 【详解】
因为集合{}|1M x x =≥，{}
{}220,1,2N x N x =∈-≤≤=， 所以{}1,2M N =
故选：C 【点睛】
本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力. 3、B 【解析】
设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则32h a =
，故由题设可得12
124222
a a a +=⨯⇒=，所以四棱锥的体积23
13646=(42)42323
V cm ⨯⨯=，应选答案B ．
4、B 【解析】
根据正四棱锥底边边长为2，高为2，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心. 【详解】 如图所示：
因为正四棱锥底边边长为22，
所以2,2OB SB == ，
O 到SB 的距离为1SO OB
d SB
⨯=
=，
同理O 到,,SC SD SA 的距离为1， 所以O 为球的球心， 所以球的半径为：1， 所以球的表面积为4π. 故选：B 【点睛】
本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题. 5、C 【解析】
根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图，然后再计算可得. 【详解】
解：根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图如图所示，
其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC . 所以三棱锥P -ABC 的体积为114
222323
⨯
⨯⨯⨯=， 2AC BC PD ∴===，2
2
22AB AC BC ∴=+=，||||||2DA DB DC ∴===()
2
2||||||22
6,PA PB PC ∴===+
=
2
2
2
PA PB AB +≠，PA ∴、PB 不可能垂直，
即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，
1222222PBA
S ∆=⨯=()
2
21
61252
PBC PAC S S ∆∆==-=∴三棱锥P -ABC 的侧面积为2522故正确的为C.
故选：C. 【点睛】
本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题. 6、A 【解析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为
，且
，
再由，求得
，代入椭圆的方程，求得
，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.
【详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令
，解得，
所以
，即椭圆的左焦点为
，且
① 直线交轴于，所以，，
因为
，所以
，所以，
又由点在椭圆上，得 ② 由，可得
，解得
， 所以
，
所以椭圆的离心率为.
故选A. 【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公
式；②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式，转化为
的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范
围)． 7、A 【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-. 故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 8、B 【解析】
根据平行的传递性判断A ；根据面面平行的定义判断B ；根据线面垂直的判定定理判断C ；由三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，判断D. 【详解】
在A 中，因为,F M 分别是,AD CD 中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；
在B 中，由于直线BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故B 错误； 在C 中，由平面几何得BM CF ⊥，根据线面垂直的性质得出1BM C C ⊥，结合线面垂直的判定定理得出BM ⊥平面1CC F ，故C 正确；
在D 中，三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确； 故选：B 【点睛】
本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题. 9、B 【解析】
因为1i 2i 13i z =--=-，所以z 的虚部是3-.故选B ． 10、C 【解析】
试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用． 11、D
推导出函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，由题意得出()10f -=，进而可求得实数m 的值，并对m 的值进行检验，即可得出结果. 【详解】
()()()2
21cos 138f x x m x m m =+-+++-，
则()()()2
222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m -+=-++--++++-=-++-，
()()()2
222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m --=--+---+++-=-++-，
()()11f x f x ∴-+=--，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称.
若函数()y f x =的零点不为1x =-，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，()10f -=，即2280m m +-=，解得4m =-或2.
①当4m =-时，令()()()2
14cos 140f x x x =+-+-=，得()()2
4cos 141x x +=-+，作出函数()4cos 1y x =+与
函数()2
41y x =-+的图象如下图所示：
此时，函数()4cos 1y x =+与函数()2
41y x =-+的图象有三个交点，不合乎题意；
②当2m =时，
()cos 11x +≤，()()()2
12cos 120f x x x ∴=+-++≥，当且仅当1x =-时，等号成立，则函数
()y f x =有且只有一个零点.
综上所述，2m =. 故选：D.
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出()10f -=，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12、C 【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值. 【详解】
由于()221cos 21cos 22cos sin 422x x f x x x ππ⎛
⎫-+ ⎪
+⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎝
⎭ cos 2sin 2122
x x
=+
+
1sin 224x π⎛
⎫=+
+ ⎪⎝
⎭，
故其最小值为：1. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1 【解析】
根据二项式定理求出n ，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得x 系数． 【详解】
由题意0122
222243(12)n n
n n n n n C C C C +++
+==+，5n =．
∴()
5
2x x y ++的展开式中52x y 的系数为22
5330C C =．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键． 14、2 【解析】
根据向量的数量积的计算，以及向量的平方，简单计算，可得结果. 【详解】
由题可知：21a b m ⋅=+ 且22
21,5a m b =+=
由a b ⋅=
()
2
212
a b + 所以()2
12122
15m m m +++=⇒=
故答案为：2 【点睛】
本题考查向量的坐标计算，主要考查计算，属基础题.
15、1
7533n -⎛⎫⋅ ⎪
⎝⎭
【解析】
当1n =时，由1112572S a a =-=，解得17
3
a =
，当2n ≥时，11257,257n n n n S a S a --=-=-，两式相减可得1255n n n a a a -=-，即153n n a a -=，可得数列{}n a 是等比数列再求通项公式.
【详解】
当1n =时，1112572S a a =-=，即173
a =
， 当2n ≥时，11257,257n n n n S a S a --=-=-， 两式相减可得1255n n n a a a -=-， 即153n n a a -=，
即15
3
n n a a -=， 故数列{}n a 是以
73为首项，5
3
为公比的等比数列， 所以1
7533n n a -⎛⎫
=⋅ ⎪
⎝⎭
.
故答案为：1
7533n -⎛⎫
⋅ ⎪
⎝⎭
【点睛】
本题考查数列的前n 项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.
16
、22⎣⎦
， 【解析】
计算得到|a b +
|=27c =|c |cosα﹣1，解得cosα2
1
c
+=，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.
【详解】
由（a c -）•（b c -）＝0 可得 2c =（a b +）•c a b -⋅=|a b +|•|c |cosα﹣1×2cos 3
π
=|a b +|•|c |cosα﹣1，α为a b
+与c 的夹角． 再由 ()
2
22a b
a b +=++2a •b =1+4+2×1×2cos
3
π
=7 可得|a b
+|=
∴27c =|c |cosα﹣1，解得cosα2
1c
+=． ∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤121
c
+≤1，即27c -|c |+1≤0，解得
≤|c
|≤
，
故答案为⎣⎦
． 【点睛】
本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、2
2
1x y += 【解析】
根据1AA E -=，可解得,a b ，设()
,P x y '
'
为曲线1C 任一点，在矩阵A 对应的变换作用下得到点(),Q x y ，则点Q 在
曲线2C 上，根据变换的定义写出相应的矩阵等式，再用,x y 表示出,x y ''，代入曲线1C 的方程中，即得. 【详解】
1
AA E -=，010*******a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即0100201b a ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
.
121b a =⎧∴⎨=⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，011
02A ⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎣⎦
.
设(),P x y '
'
为曲线1C 任一点，则2
214
x y ''+=，
又设()
,P x y '
'
在矩阵A 变换作用得到点(),Q x y ，
则01102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2y x x y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥='⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以2
y x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩即2x y y x =''⎧⎨=⎩ 代入2
214
x y ''+=，得221y x +=，
所以曲线2C 的方程为2
2
1x y +=. 【点睛】
本题考查逆矩阵，矩阵与变换等，是基础题.
18、 (1) 00.95p = (2) ①B 生产线上挽回的损失较多. ②见解析 【解析】
(1)由题意得到关于p 的不等式，求解不等式得到p 的取值范围即可确定其最小值； (2)①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；
②.由题意首先确定X 可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值. 【详解】
（1）设从A ，B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C ，设从A ，B 生产线上抽到合格品分别为事件M ，
N ，则M ，N 互为独立事件
由已知有()p M p =，()210.51()p N p p =-≤<
则()1()1p C p C =-=-()1()()p MN p M p N =-1(1)(22)0.995p p =---≥ 解得0.95p ≥，则p 的最小值00.95p =
（2）由（1）知A ，B 生产线的合格率分别为0.95和0.9，即不合格率分别为0.05和0.1. ①设从A ，B 生产线上各抽检1000件产品，抽到不合格产品件数分别为1X ，2X ，
则有()1~1000,0.05X B ，()2~1000,0.1X B ，所以A ，B 生产线上挽回损失的平均数分别为：
()11555E X EX ==⨯10000.05250⨯=，()2233310000.1300E X EX ==⨯⨯=
所以B 生产线上挽回的损失较多.
②由已知得X 的可能取值为10，8，6，用样本估计总体，则有
203511(10)20040p X +==
=，60401(8)2002p X +===，20459
(6)20040
p X +=== 所以X 的分布列为
所以1040EX =⨯
+868.1240
⨯+⨯=（元） 故估算估算该厂产量2000件时利润的期望值为20008.116200⨯=（元） 【点睛】
本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19、（1）见解析；（2）能够满足. 【解析】
（1）根据表中数据，结合以“年份—2014”为横坐标x ，“需求量257-”为纵坐标y 的要求即可完成表格； （2）根据表中及所给公式可求得线性回归方程，由线性回归方程预测2020年的粮食需求量，即可作出判断. 【详解】
（1）由所给数据和已知条件，对数据处理表格如下：
（2）由题意可知，变量y 与x 之间具有线性相关关系， 由（1）中表格可得，0=x ， 3.2y =，
()()()()()222222
4212110021942950 3.2260ˆ 6.5404202450b -⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===-+-+++-⨯，ˆˆ 3.2b a y x =-=.由上述计算结果可知，所求回归直线方程为ˆ 6.5 3.2y
x =+， 利用回归直线方程，可预测2020年的粮食需求量为：
()6.520202014 3.2257299.2⨯-++=（万吨），
因为299.2300<，故能够满足该地区的粮食需求. 【点睛】
本题考查了线性回归直线的求法及预测应用，属于基础题.
20、（1）选取2d y c x =+更合适；（2）2
20
5y x =+；（3）2x =时，煤气用量最小.
【解析】
（1）根据散点图的特点，可得2d
y c x
=+
更适合； （2）先建立y 关于w 的回归方程，再得出y 关于x 的回归方程；
（3）写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件. 【详解】 （1）选取2d
y c x
=+更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型； （2）y c dw =+
由公式可得：()()
()
10
1
10
2
1
16.2
ˆ200.81
i
i
i i
i w w y y d
w w ==--==
=-∑∑， ˆˆ20.6200.785c
y dw =-=-⨯=， 所以所求回归直线方程为：2
20
5y x =+； （3）根据题意，设,0t kx k =>，
则煤气用量220205520k S yt kx kx k x x ⎛⎫===+≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当205k
kx x
=
时，等号成立， 即2x =时，煤气用量最小. 【点睛】
此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值. 21、（1）2；（2）ln 222
a a a
-；（3）证明见解析 【解析】
（1）先求出函数的定义域和导数，由已知函数()f x 在1x =处取得极值，得到()01f '=，即可求解a 的值；
（2）由（1）得22()2a x a
f x x x x
-'=-=，定义域为(0,)+∞，分0a ≤，02a <≤和2a >三种情况讨论，分别求得
函数的最小值，即可得到结论；
（3）由2
()()h x x f x =-，得到()2ln h x x =，把4()4()h x x h x +<
-，只需证22ln 1x x x ->+，构造新函数22
()ln 1
x x x x ϕ-=-+，
利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】
（1）由2()ln f x x a x =-，定义域为(0,)+∞，则()2a
f x x x
'
=-， 因为函数2()ln f x x a x =-在1x =处取得极值， 所以()01f '=，即20a -=，解得2a =， 经检验，满足题意，所以2a =.
(2)由（1）得22()2a x a
f x x x x
-'=-=，定义域为(0,)+∞，
当0a ≤时，有()0f x '>，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，最小值为(1)1f =，
当02a <≤时，由()0f x '=得x =
01<≤，
当0,2x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，
()f x 单调递减；
当,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，
()f x 单调递增； 所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，最小值为(1)1f =，
当2a >时，则12>，当1,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当x ⎫
∈+∞⎪⎪⎝⎭
时，()0f x '>，
()f x 单调递增；
所以()f x 在x =ln 222
a a a f =-⎝⎭， 综上可得：
当2a ≤时，()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为1， 当2a >时，()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为ln 222
a a a
-. （3）由2
()()h x x f x =-得()2ln h x x =，
当21x e <<时，0ln 2x <<，则()4h x <， 欲证4()4()h x x h x +<
-，只需证[4()]4()x h x h x -<+，即证44()1
x h x x ->+，即22
ln 1x x x ->+，
设22()ln 1
x x x x ϕ-=-+，则22212(1)(22)(1)()(1)(1)x x x x x x x x ϕ'
+---=-=++，
当21x e <<时，()0x ϕ'
>，()x ϕ∴在区间(
)2
1,e
上单调递增，
当21x e <<时，()(1)0x ϕϕ>=，即22
ln 01
x x x -->+， 故4()4()h x x h x +<
-， 即当21x e <<时，恒有4()
4()
h x x h x +<-成立.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 22、（1）421
；（2）见解析 【解析】
（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超几何分布求解即可 【详解】
（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.
所以()11
24154
10404
21021
C C C P A C ⋅==⋅=. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，
()40734
101
06C C P X C ⋅===， ()31734
101
12C C P X C ⋅===， ()22734
103
210
C C P X C ⋅===，
()13734
101
330
C C P X C ⋅===， X 的分布列为
01236210305
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题。