安徽省各地市高考数学最新联考试题分类大汇编(10)圆锥曲线 新人教版

安徽省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第10部分:
圆锥曲线
一、选择题：
4. (安徽省合肥市2011年高三第一次教学质量检测文科)以抛物线24y x =的焦点为圆心，半径为2的圆方程为
A.22210x y x +--=
B.22230x y x +--=
C.22210x y x ++-=
D.22230x y x ++-=
4.B 【解析】抛物线24y x =的焦点为()1,0,所求圆方程为()2
2
14x y -+=.
5、(安徽省淮南市2011届高三第一次模拟考试理科)已知双曲线中心在原点且一个焦点为
1F )0,5(-,点P 位于该双曲线上，线段1PF 的中点坐标为)2,0(，
则双曲线的方程为 A ．1422=-y x B ．1422
=-y x C ．13222=-y x D ．12
322=-y x
5.B 【解析】16,PF ==222264
4,1,1,2
PF a b c a -==
==-=所以双曲线的方程为14
2
2
=-y x . 7、(安徽省淮南市2011届高三第一次模拟考试文科) 抛物线2
1y m
x =
的准线与双曲线14
122
2=-y x 的右准线重合,则m 的值是 A. 8- B. 12- C. 4 D. 16
7.B 【解析】
141222=-y x 的右准线为212
34a x c ===，所以抛物线2y mx =的开口向左，3,12.4
m
m -
==- 9、(安徽省2011年2月皖北高三大联考文科).椭圆
22
4924
x y +=1上一点P 与椭圆的两个焦点1,2F F 的连线互相垂直，则12PF F ∆的面积为 （ C ）
A.20
B.22
C.24
D.28
二、填空题：
12. (安徽省合肥市2011年高三第一次教学质量检测理科)以椭圆22
143
x y +=的右焦点F 为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为
12. 2
2
(1)4x y -+=【解析】椭圆22
143
x y +=的右焦点为()1,0F ，所求圆的半径为2r a ==，所以22(1)4x y -+=.
14．(安徽省2011年“江南十校”高三联考理科)设F 1、F 2分别是椭圆
22
12516
x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为（6，4），则|PM|＋|PF 1|的最 大值为 .15
解析：|PF 1|＋| PF 2|＝10，|PF 1|＝10－| PF 2|，|PM|＋|PF 1|＝10＋|PM|－| PF 2|
易知M 点在椭圆外，连结MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM|－| PF 2|取最大值|MF 2|，
故|PM|＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝1015+=.
12．(安徽省2011年“江南十校”高三联考文科)设F 1、F 2分别是椭圆
22
12516
x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM|＝3，则P 点到椭 圆左焦点距离为 4 .
解析： |OM|＝3，| PF 2|＝6，又|PF 1|＋| PF 2|＝10∴|PF 1|＝4
三、解答题：
20. (安徽省合肥市2011年高三第一次教学质量检测理科) (本小题满分13分)
已知抛物线2
4y x =，过点(0,2)M 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 交于点C .
(1)求证: ||MA ，||MC 、||MB 成等比数列；
(2)设MA AC α=，MB BC α=，试问αβ+是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
20. 【解析】(1)设直线l 的方程为：2y kx =+(0)k ≠，
联立方程可得22
4
y kx y x =+⎧⎨=⎩得:22(44)40k x k x +-+= ①
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2(,0)C k -
，则12244k x x k -+=-，1224x x k
⋅= ②
2122
4(1)
||||0|0|k MA MB x x k
+⋅=--=，
而22
2
2
24(1)||0|)k MC k k
+=--=，∴2||||||0MC MA MB =⋅≠， 即||MA ，||MC 、||MB 成等比数列 …………7分 (2)由MA AC α=，MB BC α=得，
11112(,2)(,)x y x y k α-=---，22222
(,2)(,)x y x y k
β-=---
即得：112kx kx α-=+，222kx kx β-=+，则212122121222()
2()4
k x x k x x k x x k x x αβ--++=+++
由(1)中②代入得1αβ+=-，
故αβ+为定值且定值为1- …………13分
20. (安徽省合肥市2011年高三第一次教学质量检测文科) (本小题满分13分)
椭圆的两焦点坐标分别为1(F
和2F
，且椭圆过点(1,2
-. (1)求椭圆方程；
(2)过点6(,0)5
-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，
试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由．
20. 【解析】(1)由题意，即可得到2
214
x y += …………5分 (2)设直线MN 的方程为：65
x ky =-
，
联立直线MN 和曲线C 的方程可得：2265
14x ky x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得
221264
(4)0525
k y ky +-
-=， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(2,0)A -， 则122125(4)k y y k +=
+，12
264
25(4)
y y k ⋅=-+ 则2
11221212416
(2,)(2,)(1)()0525
AM AN x y x y k y y k y y ⋅=+⋅+=++++= 即可得2
MAN π
∠=
. …………13分
19．(安徽省2011年“江南十校”高三联考理科)（本小题满分12分）
已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为4
3
y x =
，右焦点
F （5，0），双曲线的实轴为A 1A 2，P 为双曲线上一点（不同于A 1，A 2），直线A 1P 、A 2P 分别与直线l ：9
5
x =
交于M 、N 两点. （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）求证：FM FN ⋅为定值
.
∵
221916x y -= ∴ 221699y x =- ∴ 25614416256256
025*******
FM FN ⋅=-⋅=-=，即0FM FN ⋅=（定值）……12分 21．(安徽省2011年“江南十校”高三联考文科)（本小题满分13分）
已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程4
3
y x =
，右焦点F （5，0），双曲线的实轴为A 1A 2，P 为双曲线上一点（不同于A 1，A 2），直线A 1P 、A 2P 分别与直线l ：9
5
x =
交于M 、N 两点. （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）求证：FM FN ⋅为定值.
21．（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为：22
221x y a b
-=，则
222
435
b a
c c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩
34a b =⎧⇒⎨=⎩ ∴ 所求双曲线方程为22
1916x y -= …………6分] （Ⅱ）A 1（－3，0）、A 2（3，0）、F （5，0），设P （,x y ），M （09
,5
y ），
1(3,)A P x y =+，1024
(,)5
A M y = ∵ A 1、P 、M 三点共线，
∴024(3)05x y y +-
= ∴0245(3)y
y x =+ 即924(,)55(3)y M x + ………8分 同理得 96(,)5
5(3)
y
N x -
- ……………………………………9分
1624(,)55(3)y FM x =-+， 166(,)55(3)
y FN x =---，2
225614425259y FM FN x ⋅=-⋅-
∵
221916x y -= ∴ 2216
99
y x =- ………………………………11分 ∴ 25614416256256
025*******
FM FN ⋅=
-⋅=-=，即0FM FN ⋅=（定值）……13分
20. (安徽省安庆市2011年高三第二次模拟考试理科)（本小题满分13分）
已知椭圆C ：22
22b
y a x +＝1(a ＞b ＞0)，F 为其焦点，离心率为e 。

（Ⅰ）若抛物线x ＝
8
1y 2
的准线经过F 点且椭圆C 经过P (2,3)，求此时椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过A (0, a )的直线与椭圆C 相切于M ，交x 轴于B ，且AM ＝μ， 求证：μ＋c 2
＝0。

20.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题意知F (-2，0)，即2=c ，………2分 由椭圆定义知：483)22(3)22(22222==+-+++=
a a ，即,……3分
所以122
=b ,即椭圆C 的方程为：
112
162
2=+y x .………5分 (Ⅱ)证明：由题意可设直线的方程为：a kx y +=
根据过),0(a A 的直线与椭圆122
22=+b
y a x 相切
可得：02)(2232222=+++c a kx a x b k a ………8分
2222222222226)(0)(44b c c a k a b k a c a k a =-⇒=+-=∆
22e k =⇒………10分
易知，，)0(k a B -设0(x M ,)0y 则由上知2
2230b k a k
a x +-= ………11分 由BA AM a k
a
BA a y x AM μ==-=，，，
)(),(00 知 k
a
b k a k a k a x ⋅=+-⇒⋅=μμ22230 ，
μμ=+-⇒=+-⇒2
2222222b c c b k a k a
02=+⇒e μ………13分
(其它做法请参照标准给分)
18. (安徽省2011年2月皖北高三大联考理科)（本小题满分12分）
试问能否找到一条斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2
213x y +=交于两个不同点,,M N 且使,,M N 且使M ，N 到点(0,1)A 的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请
说明理由 。

18.设直线l ：y kx m =+为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要
AP MN ⊥即可
由22
,1,3
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(13)6330k x mkx m +++-=. 设1122(,),(,),M x y N x y 则1222
3,,21313p p p
x x mk m
x y kx m k k +=
=-=+=++ 231.3AP
k m k mk
-+∴=
AP MN ⊥
∴
231
3k m mk
-+1(0)k k =-≠， 故231
2
k m +=-.
由222222364(13)(33)9(13).(1)0m k k m k k ∆=-+-=+->， 得11k -<<，且0k ≠. 故当(1,0)
(0,1)k ∈-时，存在满足条件的直线l .
18. (安徽省2011年2月皖北高三大联考文科)（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心为直角坐标系xoy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. （1）求椭圆方程
（2）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OP OM
e =（e 为椭圆
C 的离心率），求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
18.（1）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
由题设得7,
1,a c a c +=⎧⎨
-=⎩
解得4,3a c ==.
由此得2
7b =，
故椭圆C 的方程为
22
1167
x y +=. （2）由（1）得34
e =
， 设[]0(,),(,),4,4M x y P x y x ∈-，
由OP
e OM
=得22
2
02
2
9,16x y e x y +==+ 故22
016()x y +229()x y =+. ()*
由点P 在椭圆C 上得2
20
1127,16
x y -=
代入()* 式并化简得29112y =.
故点M 的轨迹方程为44),y x =-≤≤轨迹是两条平行于x 轴的线段. 21、(安徽省淮南市2011届高三第一次模拟考试理科)（本小题13分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴的负半轴上，过其上一点)0)(,(000≠x y x P 的切线方程为
a x x ax y y )((2000-=-为常数）.
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）斜率为1k 的直线PA 与抛物线的另一交点为A ，斜率为2k 的直线PB 与抛物线的另
一交点为B （A 、B 两点不同），且满足k k λλλλ=-≠≠=+若),1,0(012，求证:线段PM 的中点在y 轴上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当0,11<=k λ时，若P 的坐标为)1,1(-，求PAB ∠为钝角 时点A 的纵坐标的取值范围.
21.【解析】（Ⅰ）由题意可设抛物线的方程为)0(22
>-=p py x ,
∵过点)0)(,(000≠x y x p 的切线方程为)(2000x x ax y y -=-,
00
0|2,x x x y ax p ='∴=-
= 1.2p a
∴=-
∴抛物线的方程为).0(2
<=a ax y ………………4分
1(,1)(1,).4-∞---
……………………13分
21、(安徽省淮南市2011届高三第一次模拟考试文科)（本题13分）已知椭圆C 的方程是
12
2
22=+b y a x )0(>>b a ，点B A ,分别是椭圆的长轴的左、右端点， 左焦点坐标为)0,4(-，且过点)32
5,23(P 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知F 是椭圆C 的右焦点，以AF 为直径的圆记为圆M ,试问:过P 点能否引圆M 的
切线，若能，求出这条切线与x 轴及圆M 的弦PF 所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由。

21.【解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的方程为
22b
a x 即椭圆的方程为11622
2
2=++b
y b x ， ∵
点)325,23(在椭圆上， ∴ 1475
)16(492
2=++b b ，
解得 202
=b 或152
-=b （舍）， 由此得362
=a ，
所以，所求椭圆C 的标准方程为
120
362
2=+y x . …… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知)0,6(-A ,)0,4(F ,又)32
5,23(
P ，则得 )325,215(
=AP ,)32
5,25(-=FP 所以0=⋅FP ，即0
90=∠APF , APF ∆是∆Rt ， 所以，以AF 为直径的圆M 必过点P ，
因此，过P 点能引出该圆M 的切线， 设切线为PQ ,交x 轴于Q 点，
又AF 的中点为)0,1(-M ，则显然而 3)1(2
3
0325
=---=PM
k , 所以PQ 的斜率为3
3-
，
因此，过P 点引圆M 的切线方程为：)23(33235--=-
x y ， 即093=-+
y x 令0=y ，则9=x ，)0,9(Q ∴,又)0,1(-M ， 所以232560sin 10521sin 210=⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=
∆PMQ MQ PM S PQM ， 6
2535521MPF ππ=⨯⨯⨯=扇形S 因此，所求的图形面积是 S =-PQM S ∆M PF 扇形S 625-375625-2325ππ==
…… 13分。