2021年江苏省泰州中学高考数学四模试卷(解析版)

2021年江苏省泰州中学高考数学四模试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．设集合A＝{x|x＝2n﹣1，n∈Z}，B＝{x|x＝4n﹣1，n∈Z}，则（）A．A⫋B B．B⫋A C．A∈B D．B∈A
2．设复数z＝1+i（i是虚数单位），则复数﹣（iz）2在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．在△ABC中，若AB＝1，AC＝5，sin A＝，则•＝（）
A．3B．±3C．4D．±4
4．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律（）
A．y＝mx2+n（m＞0）
B．y＝ma x+n（m＞0，0＜a＜1）
C．y＝ma x+n（m＞0，a＞1）
D．y＝m log a x+n（m＞0，a＞0，a≠1）
5．2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪
个院校的，学位是什么（）
A．国防大学，研究生B．国防大学，博士
C．军事科学院，学士D．国防科技大学，研究生
6．六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（）
A．48B．72C．90D．120
7．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge ≈0.434，lg2≈0.301）
A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s
8．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，M（x0，）为该抛物线上一点，若以M 为圆心的圆与C的准线相切于点A，∠AMF＝120°，过F且与y轴垂直的直线l与C交于G，H两点，P0为C的准线上的一点，△GHP0的面积为（）
A．1B．2C．4D．9
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分），在每小题所给出的四个选项中，每题有两项或两项以上的正确答案，选对得5分，漏选得2分，不选或错选得0分．9．下列说法正确的是（）
A．若a＞b，c＜0，则a2c＜b2c
B．若a＞b，c＜0，则a3c＜b3c
C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
D．函数y＝的最小值是2
10．将函数y＝2cos x+1图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移
个单位，得到f（x）的图象，下列说法正确的是（）
A．点（，0）是函数f（x）图象的对称中心
B．函数f（x）在（）上单调递减
C．函数f（x）的图象与函数g（x）＝2sin（2x+）+1的图象相同
D．若x1，x2是函数f（x）的零点，则x1﹣x2是π的整数倍
11．已知圆M：（x﹣3k）2+（y﹣4k﹣2）2＝1+k2，则下列四个命题中正确的命题有（）A．若圆M与y轴相切，则
B．圆M的圆心到原点的距离的最小值为
C．若直线y＝x平分圆M的周长，则k＝2
D．圆M与圆（x﹣3k）2+y2＝4k2可能外切
12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，P是线段A1C（不含端点）上的一个动点，那么在点P的运动过程中，下列说法中正确的有（）
A．存在某一位置，使得直线PE和直线BB1相交
B．存在某一位置，使得BC∥平面AEP
C．点A1与点B1到平面PBE的距离总相等
D．三棱锥C1﹣PBE的体积不变
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．二项式的展开式中，x的系数为270，则a＝．
14．已知λ为非零常数，数列{a n}与{2a n+λ}均为等比数列，且a2021＝3，则a1＝．15．现有如下信息：
（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为，
（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形，
（3）有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形．
由上述信息可求得sin126°＝．
16．设双曲线﹣＝1的左右两个焦点分别为F1、F2，P是双曲线上任意一点，过F1的直线与∠F1PF2的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程；
M在曲线E上，点A（8，0），B（5，6），则|AM|+|BM|的最小值．四、解答题（本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D为BC边上的中点．
（1）求的值；
（2）若∠BAD＝2∠DAC，求AD．
18．已知{a n}为等差数列，a1，a2，a3分别是表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在表的同一列．
第一列第二列第三列第一行
第二行469
第三行1287请从①a1＝2，②a1＝1，③a1＝3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{a n}存在；并在此存在的数列{a n}中，试解答下列两个问题
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}满足b n＝（﹣1）n+1a n2，求数列{b n}的前n项和T n．
19．如图多面体ABCDEF中，面FAB⊥面ABCD，△FAB为等边三角形，四边形ABCD为正方形，EF∥BC，且EF＝BC＝3，H，G分别为CE，CD的中点．
（1）求二面角C﹣FH﹣G的余弦值；
（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且过点A（﹣2，0）．（1）求C的方程；
（2）点P、Q分别在C和直线x＝4上，OQ∥AP，M为AP的中点，求证：直线OM与直线QF的交点在某定曲线上．
21．已知正三角形ABC，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动．设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为：P n（A），P n（B），P n（C），例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1（A）＝0，，．
（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率P3（A），P3（B），P3（C）；
（2）记P n（A）＝a n，P n（B）＝b n，P n（C）＝c n，其中a n+b n+c n＝1，b n＝c n，求a8．22．已知函数f（x）＝存在唯一的极值点x0．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x1，x2∈（x0，+∞），证明：．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|x＝2n﹣1，n∈Z}，B＝{x|x＝4n﹣1，n∈Z}，则（）A．A⫋B B．B⫋A C．A∈B D．B∈A
解：对于A，当n＝2k，k∈Z时，
A＝{x|x＝4k﹣1，k∈Z}＝B，
当n＝2k﹣1，k∈Z时，
A＝{x|x＝4k﹣3，k∈Z}，
∴集合A、B的关系为B⫋A．
故选：B．
2．设复数z＝1+i（i是虚数单位），则复数﹣（iz）2在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：因为复数z＝1+i，
所以﹣（iz）2＝
＝
＝1+i+2i
＝1+3i，
故复数﹣（iz）2在复平面内对应的点为（1，3），在第一象限．
故选：A．
3．在△ABC中，若AB＝1，AC＝5，sin A＝，则•＝（）
A．3B．±3C．4D．±4
解：在△ABC中，若AB＝1，AC＝5，sin A＝，可得cos A＝±，
所以•＝＝±4．
故选：D．
4．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律（）
A．y＝mx2+n（m＞0）
B．y＝ma x+n（m＞0，0＜a＜1）
C．y＝ma x+n（m＞0，a＞1）
D．y＝m log a x+n（m＞0，a＞0，a≠1）
解：由题意知茶水温度y随时间x的增大而减小，在[0，+∞）上是单调减函数，
所以ACD中的函数都不满足题意，只有选项B满足题意．
故选：B．
5．2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么（）
A．国防大学，研究生B．国防大学，博士
C．军事科学院，学士D．国防科技大学，研究生
解：由①甲不是军事科学院的，得到甲来自于国防大学或国防科技大学；
由③乙不是军事科学院的，得到乙来自于国防大学、国防科技大学；
由①③得到丙来来自于军事科学院；
由②来自军事科学院的不是博士和④乙不是博士学位，得到甲是博士；
由⑤国防科技大学的是研究生，得到乙来自于国防科技大学，且乙是研究生，
由此得到甲来自于国防大学，且甲是博士，
从而得到丙是来自军事科学院，学位是学士．
故选：C．
6．六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（）
A．48B．72C．90D．120
解：根据题意，分3步进行分析：
①将甲乙排好，有2种情况，
②在其余4辆车中任选2辆，安排在甲乙之间，有C42A22＝12种情况，
③将最后的两辆汽车安排这个整体的两端，有2种情况，
则有2×12×2＝48种排法；
故选：A．
7．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge ≈0.434，lg2≈0.301）
A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s
解：根据题意，v＝v0ln＝1000×ln500＝1000×＝1000×≈6219m/s，故选：C．
8．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，M（x0，）为该抛物线上一点，若以M 为圆心的圆与C的准线相切于点A，∠AMF＝120°，过F且与y轴垂直的直线l与C交于G，H两点，P0为C的准线上的一点，△GHP0的面积为（）
A．1B．2C．4D．9解：过点M作BM⊥y轴，
由抛物线的性质可得|MA|＝|MF|＝+，
将M点坐标代入抛物线的方程，得x02＝2p•，即x02＝p，
不妨设M在第一象限，则x0＝，
所以|BM|＝x0＝，
因为∠AMF＝120°，
所以∠BFM＝30°，
所以2|BF|＝|MF|，
所以2（﹣）＝+，解得p＝3，
所以抛物线的方程为x2＝6y，
所以F（0，），
准线的方程为y＝﹣，
所以P0到直线GH的距离d＝p＝3，
联立，解得x＝3或﹣3，
所以G（﹣3，3），H（3，3），
所以GH＝6，
所以S＝•|GH|•d＝•6•3＝9，
故选：D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分），在每小题所给出的四个选项中，每题有两项或两项以上的正确答案，选对得5分，漏选得2分，不选或错选得0分．9．下列说法正确的是（）
A．若a＞b，c＜0，则a2c＜b2c
B．若a＞b，c＜0，则a3c＜b3c
C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
D．函数y＝的最小值是2
解：A．取a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，则a2c＞b2c，故A错误；
B．∵a＞b，∴a3＞b3，c＜0，∴a3c＜b3c，故B正确；
C．∵a＜b＜0，∴a2＞ab，ab＞b2，∴a2＞ab＞b2，故C正确；
D．函数y＝＝＝+，令＝t∈[2，+∞），由函数y＝t+在t∈[2，+∞）上单调递增，∴y≥2+＝，故D错误．
故选：BC．
10．将函数y＝2cos x+1图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到f（x）的图象，下列说法正确的是（）
A．点（，0）是函数f（x）图象的对称中心
B．函数f（x）在（）上单调递减
C．函数f（x）的图象与函数g（x）＝2sin（2x+）+1的图象相同
D．若x1，x2是函数f（x）的零点，则x1﹣x2是π的整数倍
解：将函数y＝2cos x+1图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
可得y＝2cos2x+1的图象；
再向左平移个单位，得到f（x）＝2cos（2x+）+1 的图象．
令x＝，求得f（x）＝1，故排除A．
在（）上，2x+∈（，π），故f（x）＝2cos（2x+）+1 单调递减．故B正确．
∵f（x）＝2cos（2x+）+1＝2cos（﹣2x﹣）+1＝2sin[﹣（﹣2x﹣）]+1＝2sin （2x+）+1＝g（x），
显然，g（x）的周期为＝π，
故C正确．
若x1，x2是函数f（x）＝2cos（2x+）+1的零点，则cos（2x1+）＝cos（2x2+）＝﹣，
则x1﹣x2是或的整数倍，故D不正确，
故选：BC．
11．已知圆M：（x﹣3k）2+（y﹣4k﹣2）2＝1+k2，则下列四个命题中正确的命题有（）A．若圆M与y轴相切，则
B．圆M的圆心到原点的距离的最小值为
C．若直线y＝x平分圆M的周长，则k＝2
D．圆M与圆（x﹣3k）2+y2＝4k2可能外切
解：圆M：（x﹣3k）2+（y﹣4k﹣2）2＝1+k2，故圆心坐标为（3k，4k+2），半径为，对于A：圆M与y轴相切，圆心（3k，4k+2）到y轴的距离d＝，即，解得：，故A正确；
对于B：圆心（3k，4k+2）到原点的距离d＝
，故B正确；
对于C：若直线y＝x平分圆，故圆心（3k，4k+2）在直线y＝x上，满足3k＝4k+2，解得k＝﹣2，故C错误；
对于D：圆（x﹣3k）2+y2＝4k2的圆心为（3k，0）半径为|2k|，当两圆相外切时，满足
，化简为3k2+8k+3＝0，由于△＞0，所以存在k值，故D正确．
故选：ABD．
12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，P是线段A1C（不含端点）上的一个动点，那么在点P的运动过程中，下列说法中正确的有（）
A．存在某一位置，使得直线PE和直线BB1相交
B．存在某一位置，使得BC∥平面AEP
C．点A1与点B1到平面PBE的距离总相等
D．三棱锥C1﹣PBE的体积不变
解：选项A：P是线段A1C（不含端点）上的一个动点，PE∩平面ABB1A1＝E，
而E∉BB1，由异面直线的判定定理可知PE与直线BB1异面，
所以不存在某一位置，使得直线PE和直线BB1相交，故选项A不正确；
选项B，连接ED交A1C于点P'，面AP'E即为面ADE，此时BC∥AD，
而BC⊄平面ADE，AD⊂面ADE，所以BC∥平面ADE，即BC∥平面AEP，故选项B正确；
选项C：如图过点A1与点B1作平面PBE的垂线，垂足分布为H，H1，有△B1HE≌△A1H1E，所以B1H＝A1H1，即点A1与点B1到平面PBE的距离总相等，故选项C正确；
选项D：因为，为定值，连接B1C交BC1于点F，连接EF，而A1C∥EF，A1C⊄平面C1BE，EF⊂平面C1BE，
所以A1C∥平面C1BE，所以P到平面C1BE的距离为定值，
所以三棱锥C1﹣PBE的体积不变，故选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．二项式的展开式中，x的系数为270，则a＝3．
解：二项式的展开式通项公式为T r+1＝•a5﹣r•（﹣1）r•x3r﹣5，
令3r﹣5＝1，求得r＝2，故x的系数为•a3＝270，则a＝3，
故答案为：3．
14．已知λ为非零常数，数列{a n}与{2a n+λ}均为等比数列，且a2021＝3，则a1＝3．解：因为数列{a n}与{2a n+λ}均为等比数列，
所以且，
得2a n＝a n﹣1+a n+1，故数列{a n}也为等差数列，
不难得数列{a n}为非零常数列，则a1＝a2021＝3．
故答案为：3．
15．现有如下信息：
（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为，
（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形，（3）有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形．
由上述信息可求得sin126°＝．
解：如图，等腰三角形△ABC，∠ABC＝36°，AB＝BC＝a，AC＝b，
取AC中点D，连接BD，可得，
由题意可得，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
16．设双曲线﹣＝1的左右两个焦点分别为F1、F2，P是双曲线上任意一点，过F1的直线与∠F1PF2的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程x2+y2＝16；
M在曲线E上，点A（8，0），B（5，6），则|AM|+|BM|的最小值3．
解：双曲线﹣＝1的a＝4，延长F1Q与PF2的延长线交于H，连接OQ，
由PQ为∠F1PF2的平分线，且为F1H边上的高，可得△PF1H为等腰三角形，
则|PF1|＝|PH|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，
即有|F2H|＝|PH|﹣|PF2|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a，
由OQ为△F1F2H的中位线，可得|OQ|＝|HF2|＝a＝4，
可得Q的轨迹方程为圆x2+y2＝16；
设M（x，y），设T（a，b），且|AM|＝|TM|，
可得＝2，
平方可得x2+y2﹣16x+64＝4（x2+y2﹣2ax﹣2by+a2+b2），
化为x2+y2＝x+y+，
由于M在圆x2+y2＝16上，可得＝0，＝0，＝16，
解得a＝2，b＝0，则T（2，0），连接TB，可得T，M，B三点共线，
即有|AM|+|BM|＝|TM|+|BM|取得最小值|TB|＝＝3，
故答案为：x2+y2＝16，3．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D为BC边上的中点．
（1）求的值；
（2）若∠BAD＝2∠DAC，求AD．
解：（1）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D为BC边上的中点，
根据面积相等，＝，
故＝，
（2）∠BAD＝2∠DAC，得sin∠BAD＝sin2∠DAC＝2sin∠DAC cos∠DAC，
所以cos∠DAC＝，
所以cos∠BAD＝2cos2∠DAC﹣1＝，
在三角形ABD中，BD2＝4+AD2﹣2，
CD2＝9+AD2﹣2•3•AD•，
由BD＝CD，上式化简得AD＝，
故AD＝．
18．已知{a n}为等差数列，a1，a2，a3分别是表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在表的同一列．
第一列第二列第三列第一行
第二行469
第三行1287请从①a1＝2，②a1＝1，③a1＝3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{a n}存在；并在此存在的数列{a n}中，试解答下列两个问题
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}满足b n＝（﹣1）n+1a n2，求数列{b n}的前n项和T n．
解：（1）若选择条件①a1＝2，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在，
若选择条件②a1＝1，则放在第一行的第二列，结合条件可得a1＝1，a2＝4，a3＝7，则
a n＝3n﹣2，则n∈N*，
若选择条件③a1＝3，则放在第一行的任何一列，结满足条件的等差数列{a n}都不存在，综上可得a n＝3n﹣2，则n∈N*，
（2）由（1）知，b n＝（﹣1）n+1（3n﹣2）2，
当n为偶数时，
∴T n＝b1+b2+b3+…+b n＝a12﹣a22+a32﹣a42+…+a n﹣12﹣a n2，
＝（a1+a2）（a1﹣a2）+（a3+a4）（a3﹣a4）+…+（a n﹣1﹣a n）（a n﹣1+a n），
＝﹣3（a1+a2+a3+…+a n）＝﹣3×＝﹣n2+n，
当n为奇数时，
T n＝T n﹣1+b n＝﹣（n﹣1）2+（n﹣1）+（3n﹣2）2＝n2﹣n﹣2，
∴T n＝
19．如图多面体ABCDEF中，面FAB⊥面ABCD，△FAB为等边三角形，四边形ABCD为正方形，EF∥BC，且EF＝BC＝3，H，G分别为CE，CD的中点．
（1）求二面角C﹣FH﹣G的余弦值；
（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．
解：（1）取AB、FB的中点，分别记为O、K，连接AK，OF，OG，
∵△FAB为等边三角形，四边形ABCD为正方形，
∴FO⊥AB，BC⊥AB，
∵平面FAB⊥面ABCD，且平面FAB∩面ABCD＝AB，
FO⊂平面FAB，BC⊂平面ABCD，
∴FO⊥平面ABCD，BC⊥平面FBA，
又OG∥BC，∴OG⊥平面FBA，故OB、OG、OF两两相互垂直．
以O为坐标原点，分别以OB、OG、OF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则F（0，0，），G（0，2，0），C（1，2，0），E（0，3，），
H（，，），K（，0，），
，．
又AK⊥FB，AK⊥BC，且FB∩BC＝B，∴AK⊥平面FBC，
故平面FHCB的一个法向量为＝（），
设平面FHG的一个法向量为，
由，取z＝2，得．
由图可知，二面角C﹣FH﹣G为锐二面角，记为θ，
则cosθ＝|cos＜＞|＝||＝||＝；
（2）延长FH交BC的延长线于T，连接TG并延长交AB于P，交DA的延长线于Q，则TQ为平面FHG与平面ABCD的交线，由比例关系可得＝．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且过点A（﹣2，0）．（1）求C的方程；
（2）点P、Q分别在C和直线x＝4上，OQ∥AP，M为AP的中点，求证：直线OM与直线QF的交点在某定曲线上．
解：（1）由题意可知：A（﹣2，0）为椭圆的左顶点，故a＝2，
又F（1，0）为C的右焦点，所以a2﹣b2＝1，于是b2＝3，
故椭圆C的方程为：；
（2）证明：设P（x0，y0）（x0≠±2），则M（），
直线AP的斜率k＝，
又OQ∥AP，所以直线OQ的方程为y＝x，
令x＝4得Q（4，），，，
所以＝（*），
又P在椭圆C上，所以，代入（*）得：
，所以OM⊥FQ，
故直线OM与FQ的交点在以OF为直径的圆上，且该圆的方程为：（x﹣），即直线OM与直线FQ的交点在某定曲线（x﹣）上．
21．已知正三角形ABC，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动．设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为：P n（A），P n（B），P n（C），例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1（A）＝0，，．
（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率P3（A），P3（B），P3（C）；
（2）记P n（A）＝a n，P n（B）＝b n，P n（C）＝c n，其中a n+b n+c n＝1，b n＝c n，求a8．解：（1）∵设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为：P n（A），P n（B），P n（C），
∴，
，
．
（2）∵b n＝c n，即b n﹣1＝c n﹣1，n≥2，
又，
∴n≥2时，
又∵a n﹣1+b n﹣1+c n﹣1＝1，可得2b n+b n﹣1＝1，
由，
可得数列是首项为，公比为的等比数列，
，即，
又，
故．
22．已知函数f（x）＝存在唯一的极值点x0．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x1，x2∈（x0，+∞），证明：．
【解答】（1）解：函数的定义域为（0，+∞），，令，
①若a＝0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增，不合题意；
②若a＜0，，令g′（x）＝0，得，
∴g（x）在上递减，在上递增，
，
（i）若，即﹣e≤a＜0时，，f（x）在（0，+∞）上递增，不合题意；
（ii）若，即a＜﹣e时，，
又，则，
∴g（x）在（0，+∞）上有两个变号零点，
∴f（x）有两个极值点，不合题意；
③当a＞0时，，则g（x）在（0，+∞）上递减，且
，
∴存在唯一的，使得g（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，
∴x0是f（x）唯一极值点，符合题意．
综上，实数a的取值范围为（0，+∞）；
（2）证明：由（1）可知，x0＞1，
∵x1＞x0，x2＞x0，
∴lnx1＞0，lnx2＞0，ln（x1+x2）＞0，
由（1）可知，函数f（x）在（x0，+∞）上递减，
∴f（x1）＞f（x1+x2），f（x2）＞f（x1+x2），
即，
∴，即，
∴．。