精品解析：【校级联考】河南省驻马店市名校2019届中考第三次模拟考试数学试题(解析版)

河南省驻马店市名校2019届中考第三次模拟考试数学试题
一．选择题（每小题3分，满分30分）
1.绝对值最小的数（）
A. ﹣1
B. 0
C. 1
D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义求解．
【详解】解：绝对值最小的数是0．
故选：B．
【点睛】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到22000公里，将22000用科学记数法表示应为（）
A. 2.2×104
B. 22×103
C. 2.2×103
D. 0.22×105
【答案】A
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】22000=2.2×104．
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.下列图是由5个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图相同的是（）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：A 、主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故A 错误；
B 、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故B 错误；
C 、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C 错误；
D 、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故D 正确； 故选：D ．
【点睛】本题考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键
4.下列运算正确的是（ ）
A. a 3•a 2＝a 6
B. a ﹣2＝﹣
21a
D. （x 2）3＝x 5
【答案】C 【解析】 【分析】
根据同底数幂的乘法、负整数指数幂、合并同类二次根式法则和幂的乘方逐一计算可得．
【详解】解：A ．a 3•a 2＝a 5
，此选项计算错误；
B ．a ﹣2＝
2
1
a ，此选项计算错误；
C ．﹣
D．（x2）3＝x6，此选项计算错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则、负整数指数幂、合并同类二次根式法则和幂的乘方．
5.某班6个合作小组的人数分别是4，6，4，5，7，8，现第4小组调出1人去第2小组，则新各组人数分别为：4，7，4，4，7，8，下列关于调配后的数据说法正确的是（）
A. 调配后平均数变小了
B. 调配后众数变小了
C. 调配后中位数变大了
D. 调配后方差变大了
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出正确答案．
【详解】解：A、调配后的平均数不变，故本选项错误；
B、原小组的众数是4，调配后的众数任然是4，故本选项错误；
C、把原数从小到大排列为：4，4，5，6，7，8，则中位数是56
2
+
＝5.5，调配后中位数的中位数是
47
2
+
＝
5.5，则调配后的中位数不变．故本选项错误；
D、原方差是：1
6
[2（4﹣5.5）2+（6﹣5.5）2+（5﹣5.5）2+（7﹣5.5）2+（8﹣5.5）2]＝
9
4
，
调配后的方差是1
6
[3（4﹣5.5）2+2（7﹣5.5）2+（8﹣5.5）2]＝
35
12
，
则调配后方差变大了，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
6.《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（）
A. 15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
B. 15022503y y x x ⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
C. 15022503x y y x ⎧
-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
D. 15022503y y x x ⎧
-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
【答案】A 【解析】 【分析】
设甲的钱数为x ，人数为y ，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其2
3
的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，
依题意，得：1502
2503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
．
故选：A ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7.已知关于x 的一元二次方程（a+1）x 2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，则下面说法正确的是（ ） A. 1一定不是方程x 2+bx+a ＝0的根 B. 0一定不是方程x 2+bx+a ＝0的根 C. ﹣1可能是方程x 2+bx+a ＝0的根 D. 1和﹣1都是方程x 2+bx+a ＝0的根
【答案】C 【解析】 【分析】
根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=-（a+1），当b=a+1时，-1是方程x 2
+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，1是方程x 2+bx+a=0的根．再结合a+1≠-（a+1），可得出1和-1不都是关于x 的方程x 2+bx+a=0
的根．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（a+1）x 2
+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，
∴22
a+10=2b -4a+1=0（）（）≠⎧
⎨⎩
∴b=a+1或b=-（a+1）．
当b=a+1时，有a-b+1=0，此时-1是方程x2+bx+a=0的根；
当b=-（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠-（a+1），
∴1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．
故选：C．
【点睛】本题考查根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
8.用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为( )
A. 1
2
B.
1
4
C.
3
5
D.
2
3
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用列举法可得：用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234、324、342、432，然后直接利用概率公式求解即可求得答案
【详解】解：∵用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；
∵排出的数是偶数的有：234、324、342、432；
∴排出的数是偶数的概率为：4
6
=
2
3
.
【点睛】此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9.如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例
函数y=k
x
（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（）
A. 5
2
B. 3
C.
15
4
D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．【详解】过点D做DF⊥BC于F，
由已知，BC=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=5，
∵BE=3DE，
∴设DE=x，则BE=3x，
∴DF=3x，BF=x，FC=5-x，
在Rt△DFC中，
DF2+FC2=DC2，
∴（3x）2+（5-x）2=52，
∴解得x=1，
∴DE=1，FD=3，
设OB=a，
则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a），
∵点D、C在双曲线上，
∴1×（a+3）=5a，
∴a=3
4
，
∴点C坐标为（5，3
4
）
∴k=15 4
.
故选C．
【点睛】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，cosB＝4
5
点M、N分别是边BC和AC上的两个动点，点
M以2cm/s的速度沿C→B方向运动，同时点N以1cm/s的速度沿A→C方向运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，四边形ABMN的面积为S，则下列能大致反映S与t函数关系的图象是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，cosB=4
5
，可以分别求出BC，AC的长，用含t的代数式表示出NC和
MC，然后用三角形ABC的面积减去三角形MNCde面积，即可表示出四边形ABMN的面积为S，结合图象可以判断选项．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，cosB＝4
5
，
∴BC＝8，AC＝6，
t秒后，NC＝6﹣t，MC＝2t，
∴S＝S△ABC﹣S△MNC＝11
682t(6t)
22
⨯⨯-⨯-＝（t﹣3）2+15，
从图象来看，排除选项A和D，
∵当t＝2时，y＝16故B不符合要求，C符合．故选：C．
【点睛】本题属于动点函数图象问题，函数解析式不难得出，所以可以写出要求的四边形的面积，结合函数图象可以得到答案．
二．填空题（满分15分，每小题3分）
11.﹣_____．
【答案】
【解析】
【分析】
直接化简二次根式，进而合并求出答案．
=⨯
【详解】解：原式9
3
=-
=
故答案为：
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
12.如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A′DB 的度数为_____．
【答案】120°
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出∠B，根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE=∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】解：∵∠C＝135°，∠A＝15°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣15°﹣135°＝30°，
∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
∠A′DE＝∠ADE＝30°，
∴∠A′DB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为120°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
13.已知关于x的不等式组
23
23(2)5
x a
x x
＞-
⎧
⎨
≥-+
⎩
有且仅有三个整数解，则a的取值范围是_____．
【答案】1
2
≤a＜1
【解析】
【分析】
根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案．【详解】解：解不等式2x≥3（x﹣2）+5，得：x≤1，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴此不等式组的整数解为1、0、﹣1，
又x＞2a﹣3，
∴﹣2≤2a﹣3＜﹣1，
解得：1
2
≤a＜1，
故答案为：1
2
≤a＜1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CO＝2，则阴影部分的面积为_____．
【答案】23
π 【解析】 【分析】
根据垂径定理可得CE=DE ，∠CEO=∠DEB=90°，然后根据∠CDB=30°，得出∠COB=60°，继而证得△OCE ≌△BDE ，把阴影部分的面积转化为扇形的面积计算即可． 【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ， ∴CE ＝DE ，∠CEO ＝∠DEB ＝90°． ∵∠CDB ＝30°，
∴∠COB ＝60°，∠OCE ＝∠CDB ， 在△OCE 和△BDE 中，
OCE BDE CE DE
OEC BED ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OCE ≌△BDE （ASA ），
∴S 阴影＝S 扇形OCB ＝π260223603
ππ⨯=，
故答案为：
2
3
π． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是理解性质和定理，注意掌握扇形的面积公式．
15.矩形纸片ABCD 中（如图），已知AB ＝6，BC ＝8，E 是边BC 上的点，以AE 为折痕折叠纸片，使点B 落在点F 处，连接FC ．当△EFC 为直角三角形时，线段BE 的长为_____．
【答案】3或6
【解析】
【分析】
由矩形的性质和折叠的性质可得AB=AF=6，BE=FE，∠ABC=∠ABF=90°，分∠CEF=90°，∠EFC=90°两种情况讨论，由勾股定理可求FC的长，即可求BE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠DAB＝∠ABC＝90°
∵折叠
∴AB＝AF＝6，BE＝FE，∠ABC＝∠AFE＝90°
若∠CEF＝90°，且∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，且AB＝AF＝6
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE＝FE＝6，
若∠EFC＝90°，且∠AFE＝90°
∴∠AFE+∠EFC＝180°
∴点A，点F，点C三点共线，
在Rt△ABC中，AC10，
∴FC＝AC﹣AF＝10﹣6＝4
在Rt△EFC中，CE2＝EF2+CF2，
∴（8﹣BE）2＝BE2+16
∴BE＝3
故答案为：3或6
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用分类讨论思想解决问题是本题的关键．三．解答题
16.先化简，再求值：
82
2
224
x x
x
x x
+
⎛⎫
-+÷
⎪
--
⎝⎭
，其中
1
2
x=-．
【答案】3.
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．
【详解】原式＝（+）•
＝•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值.
17.赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，全校同时默写50首古诗词，每正确默写出一首古诗词得2分，结果有500名进入决赛，从这500名的学生中随机抽取50名学生进行成绩分析，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：（最高分98分）：
Ⅰ．第3组的具体分数为：70，70，70，72，72，74，74，74，76，76，78，78，78，78
Ⅱ.50人得分平均数、中位数、众数如表：
请结合图表数据信息完成下列各题：
（1）填空a＝，m＝；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于80分为优秀，估计进入决赛的本次测试为的优秀的学生有多少？
【答案】（1）12，3（2）见解析（3）220
【解析】
【分析】
（1）由被抽查的总人数为50可求得a的值，再根据中位数的定义确定出第25和第26个数据，进一步求解可得；
（2）根据以上所求数据即可补全频数分布直方图可得；
（3）用总人数乘以样本中测试为的优秀的学生人数占总人数的比例即可得．
【详解】解：（1）a＝50﹣（6+8+14+10）＝12，
中位数为第25、26个数的平均数，而第25、26个数均为78分，
所以中位数为78分，
故答案为：12，3；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）500×
1210
50
＝220， 答：估计进入决赛的本次测试为的优秀的学生有220人．
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的
关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
18.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是弦BC 上一动点（不与端点重合），过点P 作PE ⊥AB 于点E ，延长EP 交BC 于点F ，交过点C 的切线于点D ． （1）求证：△DCP 是等腰三角形； （2）若OA ＝6，∠CBA ＝30°． ①当OE ＝EB 时，求DC 的长；
②当FB 的长为多少时，以点B ，O ，C ，F 为顶点的四边形是菱形？
【答案】（1）证明见解析（2
②当FB 的长为2π时，以点B ，O ，C ，F 为顶点的四边形是菱形 【解析】 【分析】
（1）连接OC ，如图1，利用切线的性质得∠OCD=90°，即∠OCB+∠BCD=90°，然后证明∠DPC=∠BCD 得到DP=DC ，可得结论；
（2）①如图1，连接AC，先计算BC和PB的长，可得PC的长，再证明△PCD为等边三角形，则
先证明△OAC为等边三角形得到∠BOC=120°，连接OF，AC，再利用F是弧BC的中点得到
∠BOF=∠COF=60°，则△AOF与△COF均为等边三角形，从而得到AF=AO=OC=CF，于是可判断四边形OACF为菱形，根据弧长公式可得FB的长.
【详解】（1）证明：连接OC，如图1，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
即∠OCB+∠BCD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵PE⊥AB，
∴∠B+∠BPE＝90°，
而∠BPE＝∠DPC，
∴∠OCB+∠DPC＝90°，
∴∠DPC＝∠BCD，
∴DC＝DP，
∴△DCP是等腰三角形；
（2）解：①如图1，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，AB＝2AO＝12，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴AC＝1
2
AB＝6，
BC＝
Rt△PEB中，∵OE＝BE＝3，∠ABC＝30°，
∴PE PB＝
∴CP＝BC﹣PB＝
∵∠DCP＝∠CPD＝∠EPB＝60°，∴△PCD为等边三角形，
∴CD＝PC＝；
②当F是弧BC的中点，即弧FB所对的圆周角为60°时，此时FB的长：606
180
π⨯
＝2π，以点B，O，C，F
为顶点的四边形是菱形；
理由如下：如图2，连接OF，AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CBA＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠BOC＝120°，
当F是弧BC的中点时，∠BOF＝∠COF＝60°，
∴△AOF与△COF均为等边三角形，
∴OB＝OC＝CF＝BF，
∴四边形OCFB为菱形，
则当FB的长为2π时，以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和等边三角形的判定等，作出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键．
19.（10分）如图，一次函数y kx b =+与反比例函数m
y x
=
的图象交于A （1，4），B （4，n ）两点．
（1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式；
（3）点P 是x 轴上的一动点，试确定点P 并求出它的坐标，使PA+PB 最小． 【答案】（1）4
y x =；（2）5y x =-+；（3）P （175
，0）． 【解析】
试题分析：（1）把A 的坐标代入m
y x
=即可求出结果； （2）先把B 的坐标代入4
y x
=得到B （4，1），把A 和B 的坐标，代入y kx b =+即可求得一次函数的解析式；
（3）作点B 关于x 轴的对称点B′，连接AB′交x 轴于P ，则AB′的长度就是PA+PB 的最小值，求出直线AB′与x 轴的交点即为P 点的坐标． 试题解析：（1）把A （1，4）代入m y x
=
得：m=4，∴反比例函数的解析式为：4y x =；
（2）把B（4，n）代入
4
y
x
=得：n=1，∴B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入y kx b
=+，得：
4
{
14
k b
k b
=+
=+
，
∴
1
{
5
k
b
=-
=
，∴一次函数
的解析式为：5y x=-+；（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，由作图知，
B′（4，﹣1），∴直线AB′的解析式为：
517
33
y x
=-+，当y=0时，x=
17
5
，∴P（
17
5
，0）．
考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．轴对称-最短路线问题．
【此处有视频，请去附件查看】
20.如图，为了测量小山顶的铁塔AB高度，王华和杨丽在平地上的C点处测得A点的仰角为45°，向前走了18m后到达D点，测得A点的仰角为60°，B点的仰角为30°
（1）求证：AB＝BD；
（2）求证铁塔AB的高度．（结果精确到0.1
≈1.41
≈1.73）
【答案】（1）证明见解析；（2）28.4米
【解析】
【分析】
（1）延长AB交CD延长线于点E，由∠ADE=60°、∠BDE=30°求得∠ADB=∠DAE=30°即可；
（2）设BE=x，则AB=DB=2x，据此得
DE=、CE=CD+DE
=18、AE=AB+BE=3x，根据∠ACE=45°
知CE =AE ，由此建立关于x 的方程，解之求得x 的值即可得． 【详解】（1）如图，延长AB 交CD 延长线于点E ，则AE ⊥CE ． ∵∠ADE =60°，∴∠DAE =30°．
∵∠BDE =30°，∴∠ADB =∠ADE ﹣∠BDE =30°，则∠ADB =∠DAE =30°，∴AB =DB ；
（2）设BE =x ，则AB =DB =2x ，∴DE =BD cos ∠BDE =2x
=． ∵CD =18，∴CE =CD +DE
=18，AE =AB +BE =3x ．
∵∠ACE =45°，∴CE =AE ，即
18=3x ，解得：x
=9+3，所以AB =2x
≈28.4（米）． 答：铁塔AB 的高度为28.4米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的
应用以及方程思想，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
21.为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有,A B 两种型号的挖掘机,已知3台A 型和5台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A 型和7台B 型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A 型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台A 型, B 型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的A 型和B 型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元? 【答案】（1）每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台B 型挖据机一小时挖土15立方米；
（2）共有三种调配方案．方案一: A 型挖据机7台,B 型挖掘机5台；方案二: A 型挖掘机8台,B 型挖掘机4台；方案三: A 型挖掘机9台,B 型挖掘机3台．当A 型挖掘机7台, B 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元． 【解析】
分析：（1）根据题意列出方程组即可；
（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用． 详解：(1)设每台A 型,B 型挖掘机一小时分别挖土x 立方米和y 立方米,根据题意,得
35165,
47225,
x y x y +=⎧⎨
+=⎩ 解得30,
15.x y =⎧⎨
=⎩
所以,每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台B 型挖据机一小时挖土15立方米． (2)设A 型挖掘机有m 台,总费用为W 元,则B 型挖据机有()12m -台．根据题意,得
43004180W m =⨯+⨯ ()124808640m m -=+，
因为()()430415121080
430041*********m m m m ⎧⨯+⨯-≥⎪⎨⨯+⨯-≤⎪⎩
，解得69m m ≥⎧⎨
≤⎩， 又因为12m m ≠-,解得6m ≠,所以79m ≤≤． 所以,共有三种调配方案．
方案一:当7m =时,125m -= ,即A 型挖据机7台,B 型挖掘机5台； 方案二:当8m =时,124m -= ,即A 型挖掘机8台,B 型挖掘机4台； 方案三:当9m =时,123m -= ,即A 型挖掘机9台,B 型挖掘机3台．
4800>,由一次函数的性质可知,W 随m 的减小而减小,
当7m =时，=4807+8640=12000W ⨯最小，
此时A 型挖掘机7台, B 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．
点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．
22.旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．
已知，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点D 、E 在边BC 上，且∠DAE ＝
1
2
α． （1）如图1，当α＝60°时，将△AEC 绕点A 顺时针旋转60°到△AFB 的位置，连接DF ， ①求∠DAF 的度数； ②求证：△ADE ≌△ADF ；
（2）如图2，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当α＝120°，BD＝4，CE＝5时，请直接写出DE的长为．
【答案】（1）①30°②见解析（2）BD2+CE2＝DE2（3
【解析】
【分析】
（1）①利用旋转的性质得出∠FAB=∠CAE，再用角的和即可得出结论；②利用SAS判断出△ADE≌△ADF，即可得出结论；
（2）先判断出BF=CE，∠ABF=∠ACB，再判断出∠DBF=90°，即可得出结论；
（3）同（2）的方法判断出∠DBF=60°，再用含30度角的直角三角形求出BM，FM，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】解：（1）①由旋转得，∠FAB＝∠CAE，
∵∠BAD+∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°；
②由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，
∴∠BAF+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝∠DAE，
在△ADE和△ADF中，
AF AE
DAF DAE AD AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
（2）BD2+CE2＝DE2，
理由：如图2，将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连接DF，∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACB，
由（1）知，△ADE≌△ADF，
∴DE＝DF，
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，
∴∠DBF ＝∠ABC+∠ABF ＝∠ABC+∠ACB ＝90°，
根据勾股定理得，BD 2+BF 2＝DF 2，
即：BD 2+CE 2＝DE 2；
（3）如图3，将△AEC 绕点A 顺时针旋转90°到△AFB 的位置，连接DF ，
∴BF ＝CE ，∠ABF ＝∠ACB ，
由（1）知，△ADE ≌△ADF ，
∴DE ＝DF ，BF ＝CE ＝5，
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°，
∴∠DBF ＝∠ABC+∠ABF ＝∠ABC+∠ACB ＝60°，
过点F 作FM ⊥BC 于M ，
在Rt △BMF 中，∠BFM ＝90°﹣∠DBF ＝30°，
BF ＝5，
∴5BM ,FM 2== ∵BD ＝4， ∴DM ＝BD ﹣BM ＝32
，
根据勾股定理得， DF =
=
∴DE ＝DF ，
故答案
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造全等三角形和直角三角形是解本题的关键．
23.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣1
2
时，△APC的面积取最大值，最大值为
27
8
，此时
点P的坐标为（﹣1
2
，
15
4
）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长
的最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y 轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标
可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出S △APC ＝﹣32x 2﹣32
x +3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C ，N 的坐标可得出点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，则此时△ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论．
【详解】（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：
10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；
设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0），
将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：
023m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：11m n =-⎧⎨=⎩
， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．
（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示． 设点P 的坐标为（x ，﹣x 2
﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1）， ∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2．
∵点C 的坐标为（﹣2，3），
∴点Q 的坐标为（﹣2，0），
∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S △APC ＝
12AQ •PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +12）2+278 ． ∵﹣32
＜0， ∴当x ＝﹣12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为（﹣12，154 ）． （3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2
﹣2x +3＝3，
∴点N 的坐标为（0，3）． ∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1．
∵点C 的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝，AN，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC
＝﹣3
2
x2﹣
3
2
x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．。