高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.2 含有绝对

1.2．2 绝对值不等式的解法
课标解读
1.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法．
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
1．绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
不等式a＞0a＝0a＜0
|x|＜a {x|－a＜x＜a}∅∅
|x|＞a {x|x＞a，或x＜－a}{x∈R，且x≠0}R
ax b c ax b c c
(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
3．|x－a|＋|x－b|≥c与|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解；
(2)利用零点分段法求解；
(3)构造函数，利用函数的图像求解．
1．当c＜0时，|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c的解集分别是什么？
【提示】c＜0时，|ax＋b|≤c的解集为∅.
|ax＋b|≥c的解集为R.
2．当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集是什么？
【提示】因为|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|.
∴当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集为R.
事实上，对于一切x∈R，有|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|＞c.
|ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c 型不等
式的解法
解下列不等式：
|x 2
－x ＋2|＞x 2
－3x －4.
【思路探究】 关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式． 【自主解答】 ∵x 2
－x ＋2＝(x －12)2＋74＞0，
∴|x 2
－x ＋2|＝x 2
－x ＋2.
原不等式等价于x 2
－x ＋2＞x 2
－3x －4， 解之得x ＞－3.
∴原不等式的解集为{x |x ＞－3}．
1．(1)解绝对值不等式，等价转化(去绝对值)是解题的关键．(2)先挖掘性质，避免繁杂讨论，简化了运算．
2．一般地，形如|f (x )|＞g (x )，我们可以借助|ax ＋b |＞c 的解法转化为f (x )＜－g (x )或f (x )＞g (x )，当然|f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x )．而如果f (x )的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值再解；如果f (x )的正负不能确定，也可以用分段讨论的方法求解．
解不等式|x 2
－12|＞2x .
【解】 ①若2x ＜0，即x ＜0. ∵|x 2
－12
|≥0对任意的x ∈R 恒成立，
∴|x 2
－12|＞2x (x ＜0)恒成立，∴x ＜0是原不等式的解．
②若2x ＝0，即x ＝0.
∵|x 2－12|＝|02
－12|＝12＞2x ＝2×0＝0.
∴x ＝0是原不等式的解． ③若2x ＞0，即x ＞0.
|x 2－12|＞2x ⇒x 2－12＞2x 或x 2
－12＜－2x .
由x 2
－12＞2x 得x ＜2－62或x ＞2＋62；
由x 2
－12＜－2x ，得－2－62＜x ＜－2＋62.
∴x ＞2＋62或0＜x ＜－2＋6
2是原不等式的解．
综上，原不等式的解集是{x |x ＞1＋62，或x ＜6
2
－1}．
|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式 的解法
解不等式|2x －1|＜|x |＋1.
【思路探究】 考虑|2x －1|与|x |的零点，分区间讨论．
【自主解答】 ①当x ＜0时，原不等式可化为－2x ＋1＜－x ＋1解之得x ＞0，与x ＜0矛盾，此时无解；
②当0≤x ＜1
2时，原不等式可化为－2x ＋1＜x ＋1，解之得x ＞0，
又∵0≤x ＜12，从而有0＜x ＜1
2
；
③当x ≥1
2时，原不等式化为2x －1＜x ＋1，∴x ＜2.
因此1
2
≤x ＜2.
综合①②③知，原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．
分区间去绝对值时切忌忽视端点也称为零点的值；这种解法中三个不等式组的解都适合原来的不等式，因此最后原不等式的解集是这三个不等式组解集的并集，不要误求为交集．
(2013·青岛检测)不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7] B ．[－4,6]
C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)
D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
【解析】 法一 当x ≤－3时，原不等式可化为5－x －x －3≥10， 即2x ≤－8，∴x ≤－4，此时不等式的解集为{x |x ≤－4}． 当－3<x ≤5时，原不等式可化为5－x ＋x ＋3≥10，此时无解． 当x >5时，原不等式可化为x －5＋x ＋3≥10，解得x ≥6， 此时不等式的解集为{x |x ≥6}．
综上可知，原不等式的解集为{x |x ≤－4或x ≥6}，故选D.
法二 由绝对值的几何意义可知，|x －5|＋|x ＋3|表示数轴上的点x 到点－3和5两点的距离之和，又点－4和6到点－3和5的距离之和都为10，如图，故满足|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
【答案】 D
绝对值不等式的综合问题
已知函数f (x )＝|x －a |.
(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；
(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【思路探究】 解f (x )≤3，由集合相等，求a . 求y ＝f (x )＋f (x ＋5)的最小值，确定m 范围． 【自主解答】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3. 解得a －3≤x ≤a ＋3.
又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.
(2)法一 由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|， 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|， 于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧ －2x －1，5，
2x ＋1，
x ＜－3，－3≤x ≤2，
x ＞2.
利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5. 因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]． 法二 当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.
设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.
由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.
因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立， 应有实数m 的取值范围是(－∞，5]．
1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．
2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．
设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.
故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.
此不等式化为不等式组⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≥a ，
x －a ＋3x ≤0
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x <a ，
a －x ＋3x ≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥a ，x ≤a 4
或⎩
⎪⎨⎪
⎧
x <a ，x ≤－a 2.
因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a
2}．
由题设可得－a
2
＝－1，故a ＝2.
1．不等式|x |·(1－2x )＞0的解集是( ) A ．(－∞，1
2)
B ．(－∞，0)∪(0，1
2)
C ．(1
2，＋∞)
D ．(0，1
2
)
【解析】 原不等式等价于⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≠0，
1－2x ＞0，
解得x ＜1
2且x ≠0，
即x ∈(－∞，0)∪(0，1
2)．
【答案】 B
2．不等式|x －2|＞x －2的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，2)∪(2，＋
∞)
【解析】 原不等式同解于x －2＜0，即x ＜2. 【答案】 A
3．已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．
【解析】 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}． 集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}． 【答案】 3
4．(2013·江西高考)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________． 【解析】 由于||x －2|－1|≤1，即－1≤|x －2|－1≤1， 即|x －2|≤2，所以－2≤x －2≤2，所以0≤x ≤4.
【答案】[0,4]
一、选择题
1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为( )
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4) C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2) 【解析】由1＜|x＋1|＜3，得
1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1，
∴0＜x＜2或－4＜x＜－2.
∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．
【答案】 D
2．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
【解析】|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示．
设z＝x＋2y，作l0：x＋2y＝0，把l0向右上和左下平移，易知：当l过点(0,1)时，z 有最大值z max＝0＋2×1＝2；
当l过点(0，－1)时，z有最小值z min＝0＋2×(－1)＝－2.
【答案】 B
3．若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
【解析】由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，
∴等价于|a－2|≥a，即a≤1.
故实数a的最大值为1.
【答案】 B
4．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足( )
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C ．|a －b |≤3
D ．|a －b |≥3
【解析】 由|x －a |＜1得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2得x ＜b －2或x ＞b ＋2. ∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2， 即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3. 【答案】 D 二、填空题
5．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________． 【解析】 法一 不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|， 两边平方得(x ＋1)2
≥(x －3)2
，解得x ≥1， 故不等式的解集为[1，＋∞)．
法二 不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x 到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x ＝1，故不等式的解集为[1，＋∞)．
【答案】 [1，＋∞)
6．(2013·重庆高考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 ∵|x －5|＋|x ＋3|
＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，
要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8. 【答案】 (－∞，8]
7．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2
＋x ＋|a －14|＋|a |＝0有实根，则实数a 的取值范围
是________．
【解析】 ∵方程x 2
＋x ＋|a －14
|＋|a |＝0有实根，
∴Δ＝12
－4(|a －14|＋|a |)≥0，即|a －14|＋|a |≤14.根据绝对值的几何意义，知
0≤a ≤1
4
.
【答案】 [0，1
4]
三、解答题
8．(2012·课标全国卷)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；
(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，
2x －5，x ≥3.
当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；
当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a | ⇔－2－a ≤x ≤2－a .
由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2， 即－3≤a ≤0.
故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．
9．如图所示，O 为数轴的原点，A 、B 、M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点．设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离的4倍与C 到B 距离的6倍的和．
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
【解】 (1)依题意y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x ≤30.
(2)由题意，x 满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
4|x －10|＋6|x －20|≤70，
0≤x ≤30，(*)
①当0≤x ≤10时，不等式组(*)化为4(10－x )＋6(20－x )≤70， 解之得9≤x ≤10；
②当10＜x ＜20时，不等式组(*)化为4(x －10)＋6(20－x )≤70， 解之得10<x ＜20；
③当20≤x ≤30时，不等式组(*)化为4(x －10)＋6(x －20)≤70， 解之得20≤x ≤23.
综合①②③知，x 的取值范围是9≤x ≤23.
10．(2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；
(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{}x |1≤x ≤2，求a 的值．
【解】(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，
2x －6，x ≥4.
当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；
当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{}x |x ≤1或x ≥5. (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，
2a ，x ≥a .
由|h (x )|≤2，解得
a －1
2
≤x ≤
a ＋1
2
.
又已知|h (x )|≤2的解集为{}x |1≤x ≤2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a －12＝1，a ＋1
2＝2，
于是a ＝3.
1．对于x ∈R ，不等式|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为________． 【解析】 当x ≥2时，不等式化为x ＋10－x ＋2≥8，即12≥8，成立． 当x ≤－10时，不等式化为－x －10＋x －2≥8，即－12≥8，不成立．
当－10<x <2时，不等式化为x ＋10＋x －2≥8，即x ≥0 所以0≤x <2.
综上，得原不等式的解集为{x |x ≥0}． 【答案】 [0，＋∞) 2．设函数f (x )＝|2x －4|＋1.
11 (1)在给定坐标系中画出函数y ＝f (x )的图像；
(2)若不等式f (x )≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．
【解】 (1)由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ＜2，2x －3，x ≥2，则函数y ＝f (x )的图像如图所示．
(2)由函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图像可知，当且仅当a ≥12
或a ＜－2时，函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图像有交点．
故不等式f (x )≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－2)∪[12
，＋∞)．。