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数列数列的概念ppt课件
当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N*)． (3)由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)． 令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列． 所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1， 所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第一讲数列的概念PPT教学课件
（4）利用换元思想 （5）先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，
然后用数学归纳法证明 （6）已知式中含有Sn与an的方程，则采用n退一
或进一得到一个新方程，再两方程相减。
2020/12/10
8
题型三 由Sn与an的关系求通项an 【例3】（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足
an+2SnSn-1=0 (n≥2,n N*),a1= 1 ,
数列的概念
2020/12/10
1
知识归纳
一、数列的概念
1．数列的定义
数列是按一定次序排成的一列数，从函数观点
看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子集) 的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取正整数 时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，…f(n)，….
2．数列的通项公式
一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关 系，如果可以用一个公式an＝f(n)来表示，我们 把这个公式叫做这个数列的通项公式．
（3）a1=2，an+1=an+ ln（1 1） n
2020/12/10
7
由递推公式求数列通项 （1）由等差，等比定义，写出通项公式 （2）利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代
（3） 一a n 阶1 递A 推 an p 1a n p A na 看q,我成们{bn通}的常等将比其数化列为
3）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项， 同时注意分子、分母的关系
4）对于比较复杂的数列，要借助于等差、等比 数列的通项和其它方法解决
2020/12/10
6
题型二 由数列的递推公式求通项an 【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项 公式.
（1）a1=1，an+1=3an+2； （2）a1=1，an+1=（n+1）an；
然后用数学归纳法证明 （6）已知式中含有Sn与an的方程，则采用n退一
或进一得到一个新方程，再两方程相减。
2020/12/10
8
题型三 由Sn与an的关系求通项an 【例3】（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足
an+2SnSn-1=0 (n≥2,n N*),a1= 1 ,
数列的概念
2020/12/10
1
知识归纳
一、数列的概念
1．数列的定义
数列是按一定次序排成的一列数，从函数观点
看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子集) 的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取正整数 时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，…f(n)，….
2．数列的通项公式
一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关 系，如果可以用一个公式an＝f(n)来表示，我们 把这个公式叫做这个数列的通项公式．
（3）a1=2，an+1=an+ ln（1 1） n
2020/12/10
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由递推公式求数列通项 （1）由等差，等比定义，写出通项公式 （2）利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代
（3） 一a n 阶1 递A 推 an p 1a n p A na 看q,我成们{bn通}的常等将比其数化列为
3）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项， 同时注意分子、分母的关系
4）对于比较复杂的数列，要借助于等差、等比 数列的通项和其它方法解决
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题型二 由数列的递推公式求通项an 【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项 公式.
（1）a1=1，an+1=3an+2； （2）a1=1，an+1=（n+1）an；
数列(共84张PPT)
Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
数列的概念 课件
2,4,( ),8,10, ( ),14… 2,4,( ),16,32,( ),128,( )… ( ),4,9,16,25,( ),49… 1, ,( ),2, ,( ), … .
2.数列是特殊的函数:数列的项是函数值,序号是自变量,自变量只能取正整数.
数列与函数
数列 4，5，6，7，8，9，10.的图象
1
2
3
4
5
6
7
8
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1
2
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0
●
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●
数列 8，4，2，1, 0.5 , …的图象
数列的图象表示
数列的图象是一群孤立的点
如果数列 {an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
6
12
8
64
1
36
256
观察下面数列的特点，用适当的数填空。
思考2:数列项与项数是何关系？
1. 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数。如数列 项 4 5 6 7 8 9 10 项数 1 2 3 4 5 6 7 这说明：数列的项是序号的函数，序号从1开始依次增加时，对应的函数值按次序排出就是数列。
1、
2、
解：1、注意分母是 22，23，24，25，… ，分子比分母少1，故
2、由奇数项特征及偶数项特征得
写出下列数列的一个通项公式.
思考题
（5）0，1，0，1，0，1，…
找数列的通项公式解题规律为: 1.观察数列中每个数与项数的关系,这些关系包括:平方(立方)关系,乘积关系,倒数关系,幂的关系,根式关系等. 2.善于引入符号因式(-1)n或(-1)n-1解决正负关系等; 3.形如a,aa,aaa,aaaa, …,(a∈N*)等数列的通项可统一写成 ; 4.形如a，b，a，b，a，b，…的摆动数列可归纳为一公式:
2.数列是特殊的函数:数列的项是函数值,序号是自变量,自变量只能取正整数.
数列与函数
数列 4，5，6，7，8，9，10.的图象
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数列 8，4，2，1, 0.5 , …的图象
数列的图象表示
数列的图象是一群孤立的点
如果数列 {an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
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观察下面数列的特点，用适当的数填空。
思考2:数列项与项数是何关系？
1. 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数。如数列 项 4 5 6 7 8 9 10 项数 1 2 3 4 5 6 7 这说明：数列的项是序号的函数，序号从1开始依次增加时，对应的函数值按次序排出就是数列。
1、
2、
解：1、注意分母是 22，23，24，25，… ，分子比分母少1，故
2、由奇数项特征及偶数项特征得
写出下列数列的一个通项公式.
思考题
（5）0，1，0，1，0，1，…
找数列的通项公式解题规律为: 1.观察数列中每个数与项数的关系,这些关系包括:平方(立方)关系,乘积关系,倒数关系,幂的关系,根式关系等. 2.善于引入符号因式(-1)n或(-1)n-1解决正负关系等; 3.形如a,aa,aaa,aaaa, …,(a∈N*)等数列的通项可统一写成 ; 4.形如a，b，a，b，a，b，…的摆动数列可归纳为一公式:
数列的概念PPT优秀课件
第2章 数列
2.1 数列
1，1，2，3，5，8，13，… 数列中的每个数都叫做这个数列的项，各
项依次称为数列的第1项(或称首项)，第2 项，…，第n项… 分别记作：a1，a2，a3，…，an，… 这样的数列可简记为：数列｛an｝．
苏教版高中数学教材必修5 第2章 数列
2.1 数列
数列的分类
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
① 1 ，1 ，1 2 6 12
，(
)，301
，…
② 3 ，8 ，15 ，( )，35 ，48 ，…
234
67
③ 2 －1，1， 2 ＋1，3＋2 2 ，…
④ 1，3，3，5，5，7，7，9，9，…
苏教版高中数学教材必修5 第2章 数列
2.1 数常列用数列：
① 自然数列
an＝n－1
② 正整数列
an＝n
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
《数列的概念》PPT课件
（2）将已知递推关系式整理、变形， 变成等差、等比数列的直接用公式求（后 面再介绍）；变成an+1-an=f（n）型的用累 加法；变成an+1an=f（n）型的用累乘法.
29
2021/4/26
判断数列的单调性的方法有两种:
一是定义法:主要判断an+1-an的符号,若
an+1-an>0,则数列{an}是递增数列;若an+1-an<0,
则数列{an}是递减数列.
例如:若 an
n
n
1 ,判断{an}的单调性.
因为
an1
an
（n
1）
1 n
1
n
1 n
1
1 n（n
1）
0，
例如：数列
1 2
,
1 4
,
5 8
,
1163中，，分母的规律是明显
的：2n；第3个数出现了“-”号，第1个数也应该
有“-”号， 32 2021/4/26
故有（-1）n；从第2项开始，分子比分
母小3，第1项若变为-1，也比分母小3，这
样就找到了分子的规律：2n-3,
所以
an
（
1）n
•
2n 2n
3
.
（2）要注意的是并非所有的通项公式
5
（n=1） （n≥2,n∈N*）.
22
2021/4/26
当n≥3时，
bn1
bn
4 2n
5
4 2n
3
（2n
8 5）（2n
3）＞0，
所以，当n≥3时，数列{bn}递增.
而b4
1＜0，又由1 3
4 2n
＞0， 5
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判断数列的单调性的方法有两种:
一是定义法:主要判断an+1-an的符号,若
an+1-an>0,则数列{an}是递增数列;若an+1-an<0,
则数列{an}是递减数列.
例如:若 an
n
n
1 ,判断{an}的单调性.
因为
an1
an
（n
1）
1 n
1
n
1 n
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1 n（n
1）
0，
例如：数列
1 2
,
1 4
,
5 8
,
1163中，，分母的规律是明显
的：2n；第3个数出现了“-”号，第1个数也应该
有“-”号， 32 2021/4/26
故有（-1）n；从第2项开始，分子比分
母小3，第1项若变为-1，也比分母小3，这
样就找到了分子的规律：2n-3,
所以
an
（
1）n
•
2n 2n
3
.
（2）要注意的是并非所有的通项公式
5
（n=1） （n≥2,n∈N*）.
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2021/4/26
当n≥3时，
bn1
bn
4 2n
5
4 2n
3
（2n
8 5）（2n
3）＞0，
所以，当n≥3时，数列{bn}递增.
而b4
1＜0，又由1 3
4 2n
＞0， 5
《数列的概念》课件
奇偶性是指数列中奇数项和偶数项分别具有不同的性质或规律。例如，奇数项都是正数， 而偶数项都是负数；或者奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列等。
数学表达
如果对于任意的正整数n，都有an=(-1)^n*b(n)，其中b(n)是另一个数列，则称数列{an} 具有奇偶性。
03
数列的应用
在数学中的应用
性质
递推数列的每一项都可以通过前一项或前几项计 算得出，具有很强的规律性。
THANK YOU
公式
通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其 中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比。
3
性质
等比数列的任意一项都可以通过首项和公比计算 出来，且任意两项之间的比值都是固定的。
递推数列
定义
递推数列是一种通过递推关系式来定义数列的数 列。
公式
递推数列的通项公式通常不能直接求解，需要通 过递推关系式逐步计算得出。
《数列的概念》ppt课件
• 数列的定义 • 数列的性质 • 数列的应用 • 数列的运算 • 数列的拓展
01
数列的定义
数列的描述
总结词
数列是一种特殊的函数，它按照一定的次序排列。
详细描述
数列是一种有序的数字排列，每个数字都有其对应的位置，并且每个位置上的 数字都是唯一的。数列可以看作是函数的特例，其中自变量是自然数或整数， 因变量是实数或复数。
02 03
详细描述
有界性是数列的一个重要性质，它保证了数列不会发散到无穷大或无穷 小。具体来说，如果存在正数M，使得对于所有n，数列的第n项an都 满足|an|≤M，则称数列有界。
数学表达
如果存在正数M，使得对于所有n，都有|an|≤M，则称数列{an}有界。
数学表达
如果对于任意的正整数n，都有an=(-1)^n*b(n)，其中b(n)是另一个数列，则称数列{an} 具有奇偶性。
03
数列的应用
在数学中的应用
性质
递推数列的每一项都可以通过前一项或前几项计 算得出，具有很强的规律性。
THANK YOU
公式
通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其 中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比。
3
性质
等比数列的任意一项都可以通过首项和公比计算 出来，且任意两项之间的比值都是固定的。
递推数列
定义
递推数列是一种通过递推关系式来定义数列的数 列。
公式
递推数列的通项公式通常不能直接求解，需要通 过递推关系式逐步计算得出。
《数列的概念》ppt课件
• 数列的定义 • 数列的性质 • 数列的应用 • 数列的运算 • 数列的拓展
01
数列的定义
数列的描述
总结词
数列是一种特殊的函数，它按照一定的次序排列。
详细描述
数列是一种有序的数字排列，每个数字都有其对应的位置，并且每个位置上的 数字都是唯一的。数列可以看作是函数的特例，其中自变量是自然数或整数， 因变量是实数或复数。
02 03
详细描述
有界性是数列的一个重要性质，它保证了数列不会发散到无穷大或无穷 小。具体来说，如果存在正数M，使得对于所有n，数列的第n项an都 满足|an|≤M，则称数列有界。
数学表达
如果存在正数M，使得对于所有n，都有|an|≤M，则称数列{an}有界。
数列的概念与简单表示法课件好(ppt)
问2: 数列 4 -1，1，-1，1…… 改为： 1，-1，1，-1……，请问：是不是同一数列？
数列中的每一个数叫 做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列 的第1项，第2项，······， 第n项， ······
数列的分类
(1)按项数分： 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列 (2)按项之间的大小关系：
1 2 3 4
a n ( -1 ) n (nN*)
1 ,1 , 1 ,, 1 , 5
a n =1 (nN*)
例1 写出数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；
解：此数列的前四项1，3，5，7都 是序号的2倍减去1，所以通项公式 是：
an 2n1
பைடு நூலகம்2） 221,321,421,521; 2345
无穷数列 摆动数列
数列的一般形式可以 第1项 第2项 第3项 第n项
与个公通a 简列写项 公1 如式项， 记的成数式果就公a 为第：之来2 数叫式， n间表a列做。项a n的示3 这， 。a, 其关，个n， 中系数那的可aa 列么第nn 以是的这n 项用数个， 一 -a1111211{102,,,n,n12}1a222{121((n1n,,n,, }-a(23113N N n32**,,,,,,n nN *),63,,,24)a5)(nn1n-naa1,1nan,,) nn , n,2n1 ,n236135
递增数列， 递减数列， 摆动数列， 常数列。
1 ， 2 ， 22 ， 23 ， 263 1
有穷数列 递增数列
1， 1， 1， 1， 2 234
无穷数列 递减数列
1 ， 2， 3 ， 4， 35 3
有穷数列 递增数列
数列中的每一个数叫 做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列 的第1项，第2项，······， 第n项， ······
数列的分类
(1)按项数分： 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列 (2)按项之间的大小关系：
1 2 3 4
a n ( -1 ) n (nN*)
1 ,1 , 1 ,, 1 , 5
a n =1 (nN*)
例1 写出数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；
解：此数列的前四项1，3，5，7都 是序号的2倍减去1，所以通项公式 是：
an 2n1
பைடு நூலகம்2） 221,321,421,521; 2345
无穷数列 摆动数列
数列的一般形式可以 第1项 第2项 第3项 第n项
与个公通a 简列写项 公1 如式项， 记的成数式果就公a 为第：之来2 数叫式， n间表a列做。项a n的示3 这， 。a, 其关，个n， 中系数那的可aa 列么第nn 以是的这n 项用数个， 一 -a1111211{102,,,n,n12}1a222{121((n1n,,n,, }-a(23113N N n32**,,,,,,n nN *),63,,,24)a5)(nn1n-naa1,1nan,,) nn , n,2n1 ,n236135
递增数列， 递减数列， 摆动数列， 常数列。
1 ， 2 ， 22 ， 23 ， 263 1
有穷数列 递增数列
1， 1， 1， 1， 2 234
无穷数列 递减数列
1 ， 2， 3 ， 4， 35 3
有穷数列 递增数列
《数列的概念_公开课课件-ppt【北师大版】2
5，16，16，28，32，51，38，26（6）
数列通项公式
如果数列an 的第n项与项数之间的关系
可以用一个公式来表示，那么这个公式
就叫做这个数列的 通项公式
《数列的概念》ppt北师大版2-精品课 件ppt( 实用版 )
你能写出 -1,1数 ,-1,列 1,-1,1， 的通项公式吗？
思考： 1.数列的通项公式唯一吗？ 2.所有的数列都有通项公式吗？
《数列的概念》ppt北师大版2-精品课 件ppt( 实用版 )
本节课学习的主要内容有： 1.数列的有关概念； 2.数列的通项公式； 3.数列的实质； 4.本节课的能力要求是： (1) 会由通项公式求数列的任一项； (2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式.
《数列的概念》ppt北师大版2-精品课 件ppt( 实用版 )
深 入
3.数列中的数一定要有规律吗？
辨
析
4. a n
与a
相同吗？
n
5.数列可以怎样分类？
按项数分：有穷数列、无穷数列
按项数之间的大小关系分：递增数列 递减数列 常数列 摆动数列
1，12 ，14 ，81 ···
1，3，6，10 ···
（1） （2）
1，4，9，16··· 2，3，5，8，13
（3） （4）
《数列的概念》ppt北师大版2-精品课 件ppt( 实用版 )
5.数列的分类
从单调性 的角度
数 列 的 分 类
从项数 的角度
递增数列 递减数列 常数列 摆动数列
a n+1 an an+1 an a n+1 an
从第2项起项与项的大小关系不确定
有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
数列—数列的概念(初等数学课件)
初等数学研究
数列的概念
数列的概念
我们先观察下面的几个例子：
（1） 1 , 2 , 3 ,, n , 2 3 4 n1
（2） 2,4,8，，2n,
（3）
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,
数列的概念
定义 1 按照某一法则，给定了第 1 个数 a1 ，第二个数 a2，，对于正整数 n
有一个确定的数 an ，于是得到一列有序的数 a1,a2,,an,, 我们称它为数列，用
数列的通项公式
定义 2 对于给定的数列an，将 a1 a2 an 称为数列的前 n 项和，记为
Sn 。
由定义 2 可知，Sn也是一个数列，且满足关系
an SS1n，nSn11, n 2
数列的通项公式
例
已知数列an的前 n 项和 Sn
- 1 n2 kn 2
k N
，且 Sn 的最大值为 8。
符号an表示。数列中每一个数称为数列的项，第 n 项 an 称为数列的一般项，又
称为数列 an 的通项。
上面的例子中，它们的通项依次是
n ,2n, n 1
1 2n
, 1 n1
数列的通项公式
数列an可以看作自变量为正整数 n 的函数，即 an f n,n N ，当自变量 n 依次取1,2,3,一切正整数时，对应的函数值就排成数列an，如果数列an的 通项 an 和项数 n 之间的关系可以用公式 an f n来表示，那么这个公式就叫做数 列 an是通项公式。
求常数 k ，并确定 an ；
解
因为
Sn
-
1 2
n
-
k 2
1 2
k2
，所以当
数列的概念
数列的概念
我们先观察下面的几个例子：
（1） 1 , 2 , 3 ,, n , 2 3 4 n1
（2） 2,4,8，，2n,
（3）
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,
数列的概念
定义 1 按照某一法则，给定了第 1 个数 a1 ，第二个数 a2，，对于正整数 n
有一个确定的数 an ，于是得到一列有序的数 a1,a2,,an,, 我们称它为数列，用
数列的通项公式
定义 2 对于给定的数列an，将 a1 a2 an 称为数列的前 n 项和，记为
Sn 。
由定义 2 可知，Sn也是一个数列，且满足关系
an SS1n，nSn11, n 2
数列的通项公式
例
已知数列an的前 n 项和 Sn
- 1 n2 kn 2
k N
，且 Sn 的最大值为 8。
符号an表示。数列中每一个数称为数列的项，第 n 项 an 称为数列的一般项，又
称为数列 an 的通项。
上面的例子中，它们的通项依次是
n ,2n, n 1
1 2n
, 1 n1
数列的通项公式
数列an可以看作自变量为正整数 n 的函数，即 an f n,n N ，当自变量 n 依次取1,2,3,一切正整数时，对应的函数值就排成数列an，如果数列an的 通项 an 和项数 n 之间的关系可以用公式 an f n来表示，那么这个公式就叫做数 列 an是通项公式。
求常数 k ，并确定 an ；
解
因为
Sn
-
1 2
n
-
k 2
1 2
k2
，所以当
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(1)an n2
1，4，9，16，25.
(2)an 10n
10，20，30，40，50.
(3)an 5 (1)n1
5，-5，5，-5，5.
(4)an
2n 1 n2 1
3 2
,
1,
7 10
,
9 17
,
11 26
,
......
9
典例剖析.写出下列数列的通项公式
1.1，3，5，7，9，…
注意：并an非＝所２有n－１
2
3
4
5
7. 1 ， 1 ， 1 ， 1 ,• • • 1•2 2•3 3•4 4•5
(n 1)2 1 n(n 2)
an
n1
n1
an
(1)n n(n 1)
( 1) 2 8.
1，(1)3
1，(1)4
1，• • •
2
2
2
......
(1)n1 1
an
2
10
三.数列的分类: (按项数分) 有穷数列、无穷数列
......
16
2. 4，5，6，7，8，9，10… 的公数式列，都而an有且＝通有n项的+3
3. 1，4，7，10，…
数列的通an项＝公3式n－2
不唯一。
4.-1，1，-1，1，-1， …
an＝（－１）n
5.1，0.1，0.01，0.001，…;
an
1 10 n1
6. 22 1，32 1，42 1，52 1 • • •
●
●●
●
1
●
●●
0 1 2 3 4 5...... 6 7 8 9 10 7
二.通项公式 如果数列 {an}的第n项an与n之间的关系
可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这 个数列的通项公式。
实际上，数列的通项公式就是相应函数的解析式．
......
8
尝试练习
根据数列｛an｝ 的通项公式，写出它的前5项。
......
1
1 2 22 23 24 25 26 27
你认为国 王能满足 发明者的 要求吗?
263
......
2
引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成一列数:
1，2，22，23，…263.
一八班学生的学号由小到大排成一列数:
1，2，3，4，…67.
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成的一列数：
-1，1，-1，1，-1，1…， 无穷多个2排成的一列数： 2，2，2，2，2，2，… 某个同学五次考试的数学成绩：
请同学们观察上面5 个例子,你能发现它 们有什么共同 的特 点吗?
135，138，124，149，146。
......
ห้องสมุดไป่ตู้
3
一.数列的有关概念
1定义:按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的各项依次叫做这个数列的
第第12项项（用或a2首表项示），用…a，1 表示，
第n项用 an 表示，
数列的一般形式可以写成：
a1，a2， a3，…，an ，…
a 简记作：
n
......
数列与 数集有 何异同?
4
探索、发现
观察下面数列的特点，用适当的数填空。
(1)2,4,( 6 ),8,10, (12 ),14… (2)2,4,( 8 ),16,32,( 64 ),128,( 256 )… (3)( 1 ),4,9,16,25,( 36 ),49…
(4) 3，3，15，21，3 3，...
（5）0，1，0，1，0，1，…
......
14
找数列的通项公式解题规律为:
1.观察数列中每个数与项数的关系,这些关系包括: 平方(立方)关系,乘积关系,倒数关系,幂的关系,根式 关系等.
2.善于引入符号因式(-1)n或(-1)n-1解决正负关系等;
3.形如a,aa,aaa,aaaa, …,(a∈N*)等数列的通项
(4)1, 2 ,( 3 ),2, 5 ,( 6 ), 7 … .
思考2:数列项与项数是何关系？
......
5
数 1. 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来， 列 每个序号也都对应着一个数。如数列
与
项 4 5 6 7 8 9 10
函
数
项数 1 2 3 4 5 6 7
这说明：数列的项是序号的函数，序号从1开始依
an 2n1
2、由奇数项特征及偶数项特征得
an
1 n
(n 2k 1)
n 1 n
(n
2k )
kN
......
13
思考题
写出下列数列的一个通项公式.
（1）2，4 ，6 ，8 ，... 3 15 35 63
(2) 1, 3， 5，7， 9 ，... 2 4 8 16
(3)9，99，999，9999，...
１.项数有限的数列叫做有穷数列。
例如，数列４，５，６，７，８，９，１０．
２.项数无限的数列叫做无穷数列。
1, 例如，数列
1, 1,1, 1, 2 34 5
......
11
概念辨析:
下列说法正确的有______④________.
①数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列. ②数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列. ③1,4,2,0.3,不是数列, ④数列若用图象表示,从图象上看是一群孤立
的点. ⑤数列的项数是无限的. ⑥数列的通项公式是唯一的.
......
12
例1、 写出下列数列的一个通项公式
1、3 , 7 , 15 , 31 , 4 8 16 32
2、1, 3 , 1 , 5 , 1 , 7 23456
解：1、注意分母是 22，23，24，25，… ，分子比分母
少1，故
2n1 1
次增加时，对应的函数值按次序排出就是数列。
2.数列是特殊的函数:数列的项是函数值,序号是自 变量,自变量只能取正整数.
......
6
数列 4，5，6，7，8，9，10.的图象 数列 8，4，2，1, 0.5 , …的图象
10
数9 列8 的7 图6 象5 表4 示3
2
●
●
●
●
● ●
数列的图象是 一群孤立的点
可统一写成
an
a (10n 1) 9
;
4.形如a，b，a，b，a，b，…的摆动数列可归
纳为一公式: a b (1)n`1 (a b)
a
(n N*)
n
2 ......
15
小结：
本节课学习的主要内容有： 1、数列的定义； 2、数列的通项公式； 3、数列通项公式的求法； 4、数列与函数的关系等。