初二升初三数学暑假补习 第10讲 垂直平分线

第十讲 垂直平分线
【学习目标】
1、掌握线段垂直平分线的定理和逆定理。

2、能应用线段的垂直平分线的定理和逆定理进行作图和证明。

3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。

【知识要点】
1、 线段垂直平分线的性质定理的证明以及应用。

定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

定理解释：具备MN 垂直平分AB ，P 是MN 上任意一点这样的条件，就可得出PB PA = 2、 线段垂直平分线的性质定理的逆定理
定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

定理解释：具备P 是线段AB （上）外一点，且PB PA =这样的条件，就可得出结论：P 在AB 的垂直平分线上。

3、 用尺规作线段的垂直平分线
一般作法为：（1）分别以线段AB 的两个端点A 、B 为圆心，以大于
AB 2
1
的长为半径作弧，；两弧交于点M 、N ；（2）作直线MN ，作直线MN 就是AB 的垂直平分线。

4、 三角形三边的垂直平分线定理及应用
定理：三角形三条边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等。

【典型例题】
例1、如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE 是AB 的垂直平分线。

1）则BD = 。

2）若∠B = 40°，则∠BAC = °，∠DAB = °，∠DAC = °，∠CDA = °。

3）若AC = 4， BC = 5，则DA + DC = ，△ACD 的周长为 。

E
D
A
B
C
例2、已知：如图(1)，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =3，AC =5，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E 。

求△ABE 的周长。

例3、公路边要建一个家乐福超市，使它到A 、B 两居民点的距离相等，如何确定家乐福超市的位置？
例4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线交B C 于点D ，如果BD =8 cm ，求AC 的长。

M N
B
A
B
例5、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABC 的周长为12cm ，△ABD 的周长为9cm ，求AC 的长度。

例6、已知在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE = 3cm ，△ABD 的周长是13cm ，求△ABC
的周长。

【经典练习】 一、填空题
1、如图，△ABC 中，AB = AC ，∠A = 40°，DE 为AB 的中垂线，则∠1 = °，∠C = °，∠3 = °，∠2 = °；若△ABC 的周长为16cm ，BC = 4cm ，则AC = ，△BCE 的周长为 。

2、三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________.
3、已知线段AB 外两点P 、Q ，且PA =PB ，QA =QB ，则直线PQ 与线段AB 的关系是_________.
4、底边AB =a 的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C 在线段AB 的_________上.
5、直线 l 上一点Q 满足QA =QB ，则Q 点是直线l 与_________的交点
.
C
B
A D
E
E
D
A
B
C
C
B
A D
E 13
2
6、在△ABC中，AB=AC=6 cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，△BCE周长为10 cm，
则BC=___ cm.
7、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE∶∠EBA=1∶4，则∠A=______度，∠ABC=_________度.
二、选择题
1、下列命题中正确的命题有（）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、下列作图语句正确的是（）
A.过点P作线段AB的中垂线
B.在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BC
C.过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b
D.过点P作直线AB的垂线
3、△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B 等于（）
A.37.5°
B.67.5°
C.37.5°或67.5°
D.无法确定
三、解答题
1、已知，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.
2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、
N.求证：CM=2BM.
3、在△ABC中，AB=AC=a，AB的垂直平分线交AC于D点，若△BCD的周长为m，
求证：BC=m－a.
【课后作业】
一、填空题
1、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则P A__________PB__________PC.
2、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5_______∠6，∠2+∠3=______度，∠1+∠4=_______度，∠5+∠6=______度，∠BOC=_______度.
3、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD_______DC，点D在_______的垂
直平分线上.
4、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B_____∠1，∠C____∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=________度.
5、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△____ ___≌△______(HL)；从而BD=DC，则△______≌△_______(SAS)；△ABC是______三角形.
6、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=__________度.。