陕西省西安市长安一中2018届高三上-第八次质量检测数学(文)试卷(含答案)

长安一中2017——2018学年度第一学期第八次模考
高三文科数学试题
命题人：罗理想 审题人：贺永安
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=，若{}1A B =I ，则B = （ ）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
2.复数1cos sin z x i x =-，2sin cos z x i x =-，则=⋅21z z （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3.使命题“对任意的[1,2]x ∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件为( ) A ．4a ≤
B.5a ≥
C ．4a ≥
D.5a ≤
4.2016年2月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图（其中a , b 为个位正整数），已知该组数据的平均数为11.5，则
41
a b
+的最小值为（ ） A ．9 B ．
9
2 C ．8 D ．4
5．从圆2
2
2210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线
夹角的余弦值为（ ） A ．0 B ．
12 C ．32 D ． 35
6.在数列{}n a 中，114
a =-，*1
1
1(2,)N n n a n n a -=-≥∈，则2016a 的值为（ ）
A. 14-
B. 5
C. 45
D. 54
7.如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为（ ）
A ．14π
B ．3π
C ．4π
D ．43
π
8.在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组0040x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≥⎩
所确定的平面区域内的动点，,M N 是圆
2
2
1x y +=的一条直径的两端点，则PM PN ⋅u u u u r u u u r
的最小值为（ ）
A ．4 B
．1 C
．．7 9.已知函数1()ln
sin 1x
f x x x
+=+-，则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+-<的解集是（ ） A
．2) B ．(32)-， C ．(12)， D
． 10.函数2
()2sin sin 21f x x x =-++，给出下列四个命题： ①在区间5[,]88
ππ
上是减函数；②直线8
x π
=
是函数图象的一条对称轴；③函数()f x 的图象可由函
数2y x =
的图象向左平移
4
π
个单位得到；④若[0,]2x π∈，则()f x
的值域是.其中，
正确的命题的序号是( ) A ．①②
B. ②③
C ．①④
D. ③④
11.若双曲线)0(12222>>=-b a b
y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线2
2y bx =的焦
点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为( ) A ．
8
9 B.
37
37
6 C ．
4
2
3 D.
10
103
12.对于函数()f x 和()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在,αβ，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数1()2x f x e x -=+-与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（ ）
A. [2,4]
B. 7[2,]3
C. 7[,3]3
D. [2,3]
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上）
13.在数列}{n a 中，已知1221n n a a a +++=-L ，222
12n a a a +++=L .
14.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,若记向量(,)a m n r =与向量(1,2)b =-r
的夹角为θ,则θ为锐角的概率是 .
15．已知程序框图如图所示，其功能是求一个数列{}n a 的前10项和，则数列{}n a 的一个通项公式n a = ，数列1{}n n a a +⋅的前2016项和为 .
16.给出下列五个结论：
①回归直线y bx a =+一定过样本中心点()
,x y ；
②命题",x R ∀∈均有2320"x x -->的否定是：0",x R ∃∈使得200320"x x --≤； ③将函数
()sin y x x x R =+∈的图像向右平移6
π后，所得到的图像关于y 轴对称；
④243
,()(1)m m m R f x m x -+∃∈=-⋅使是幂函数，且在(0,)+∞上递增；
⑤函数21,0
()2log 1,0
x
x x f x x x +≤⎧⎪=⎨
⋅->⎪⎩恰好有三个零点； 其中正确的结论为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足
cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫
-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（1）求角B 的值； （2）若3=
b 且a b ≤，求
c a 2
1
-
的取值范围． 18．（本小题满分12分）一户居民根据以往的月用电量情况，绘制了月用电量的频率分布直方图（月用电量都在25度到325度之间）如图所示. 将月用电量落入该区间的频率作为概率. 若每月的用电量在200度以内（含200度），则每度电价0.5元，若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价0.6元. 记X （单位：度，32525≤≤X ）为该用户下个月的用电量，T （单位：元）为下个月所缴纳的电费.
D
C
B
A
S
（1）估计该用户的月用电量的平均值（同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表）； （2）将T 表示为X 的函数；
（3）根据直方图估计下个月所缴纳的电费
)115,5.37[∈T 的概率.
19．（本小题满分12分）如图，在底面为梯形的四棱锥S ABCD -中，已知//AD BC ，60ASC ︒∠=，
2AD DC ==，2SA SC SD ===．
（Ⅰ）求证：AC SD ⊥； （Ⅱ）求三棱锥B SAD -的体积．
20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b
+=>>的离心率为3，以原点为圆心，椭圆的
短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．A B 、是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线(0)y kx k =>与椭圆相交于E F 、两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值．
21．（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数3211
()(2)62
f x x a x b =
+-+，()2ln g x a x =. （Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处的切线互相垂直，求,a b 的值；
（Ⅱ）设()()()F x f x g x '=-，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有
1212()()()F x F x a x x ->-，求a 的取值范围．
请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为
4cos (0)ρθρ=≥，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t α
α=+⎧⎨
=⎩
（t 为参数0απ≤<），已知射线θϕ=，
4
π
θϕ=+
，4
π
θϕ=-
与曲线1C 分别交于（不包括极点O ）点,,A B C .
（Ⅰ）求证：OB OC OA +=. （Ⅱ）当12
π
ϕ=时，,B C 都恰在曲线2C 上，求m 与α的值.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数a x x x f ++-=212)(，3)(+=x x g ． （Ⅰ）当2-=a 时，求不等式)()(x g x f <的解集； （Ⅱ）设1->a ，且当)2
1
,2[a x -
∈时，)()(x g x f ≤，求a 的取值范围． 第八次数学模拟（文科）参考答案
一、CABBDC CDAACD
二、13. 413n - 14. 16 15. 12n a n =，504
2017
16. ①②⑤
三、17． 解：（1）由已知cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫
-=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得22
2
23
12sin 2sin 2cos sin 4
4
B A A A ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
， 化简得sin 2B = 故233B ππ=或．
（2）因为b a ≤，所以3
B π
=
，
由正弦定理
2sin sin sin 2
a c b
A C B
====，得a=2sinA,c=2sinC ，
122sin sin 2sin sin 233sin 26a c A C A A A A A ππ⎛⎫∴-=-=-- ⎪
⎝⎭
⎛⎫==- ⎪⎝
⎭
因为b a ≤，所以
2,3
3662
A A π
ππππ
≤<
≤-<，
所以1[262a c A π⎛
⎫-=-∈ ⎪⎝
⎭．
18．解：
19．解：
（Ⅰ）设O 为AC 的中点，连接,OS OD ，,SA SC OS AC =∴⊥Q
,,DA DC DO AC =∴⊥Q
又,OS OD ⊂平面SOD ，且OS DO O =I ，
AC ⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD AC SD ∴⊥
（Ⅱ）连接BD ，在ASC ∆中，,SA SC =Q 060ASC ∠=，O 为AC 的中点，
ASC ∴∆为正三角形，且2,3AC OS ==
Q 在ASC ∆中，2224DA DC AC +==，O 为AC 的中点，
090ADC ∴∠=，且1OD =， Q 在SOD ∆中，222OS OD SD +=
SOD ∴∆为直角三角形，且090SOD ∠=
SO OD ∴⊥又OS
AC ⊥，且AC DO O
=I
SO
∴⊥平面ABCD
1
3
111132323
B SAD S BAD BAD V V S SO
AD CD SO -=-∆∴=⋅⋅=⨯
⋅⋅⋅=⨯=
20．解：（Ⅰ）由题意知：c e a =＝ 222222
c a b e a a -===34
，2
24a b =． 又圆222x y b +=与直线0x y -相切， 1b =，24a =， 故所求椭圆C 的方程为2
214
y
x +
=． （Ⅱ）设1122()()E x kx F x kx ，，，，其中12x x <，
将y kx =代入椭圆的方程22
14
y x +=整理得：22(4)4k x +=，
故21x x
=-=
．①
又点
E F ，到直线AB 的距离分别为1
h
=
，
2
h =
，AB =
所以四边形AEBF 的面积为
121
()2S AB h h =
+12=
=
=
==…，
当24(0)k k =>，即当2k =时，上式取等号，所以当四边形AEBF 面积的最大值时，2k =． 21．解 (1)21()(2)2f x x a x '=
+-Q ，3
(1)2
f a '∴=- 2()a
g x x
'=
Q ，(1)2g a '∴= 依题意有(1)(1)1f g ''=-，且(1)(1)f g =，
可得32()1211(2)0
62
a a a
b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+-+=⎪⎩，解得11,3a b ==，或17,212a b ==.
(2) 2
1()(2)2ln 2
F x x a x a x =
+--Q . 不妨设121212,()()()x x F x F x a x x <->- ， 等价于2211()()F x ax F x ax ->-. 设()()G x F x ax =-，
则对任意的对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121
()()
F x F x a x x ->-，
等价于()()G x F x ax =-在(0,)+∞上是增函数．
2
1()2ln 22
G x x a x x =
--， 可得2222()2a x x a G x x x x
--'=--=， 依题意有，对任意0x >，有2220x x a --≥恒成立． 由2
2
22(1)1a x x x ≤-=--，可得1
2
a ≤
. 22. 解：（Ⅰ）依题意4cos OA ϕ=，4cos()4OB π
ϕ=+
，4cos()4
OC π
ϕ=-；
4cos()4cos()
44
sin )sin )OB OC ππ
ϕϕϕϕϕϕϕ∴+=++-=-+-== （Ⅱ）当12
π
ϕ=
时，,B C
两点的极坐标为(2,
),36
π
π
-
化为直角坐标为 所以经过点B ，C
的直线方程为1)y x -=-，而曲线2C 是经过点(,0)m 且倾斜角为α的直线，故22,3
m π
α==。

24.解：（1）当2-=a 时，不等式)()(x g x f <化为212230x x x -+---<．设函数
21223y x x x =-+---，
则21223y x x x =-+---=15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧
-<⎪⎪
⎪
--≤≤⎨⎪
->⎪⎪⎩
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当)2,0(∈x 时，
0<y ．所以原不等式的解集是}20{<<x x ．
（2）当)2
1
,2[a x -
∈时，a x f +=1)(．不等式)()(x g x f ≤化为31+≤+x a ．所以x a ≤-2对)21,2[a x -∈都成立．故22-≥-a a ，即3
4≤a ．
从而a 的取值范围是]3
4
,1(-．。