江苏省苏州六校联合高三数学调研测试 苏教版 新课标

2009～2010学年度江苏高三年级六校联合调研考试
数学试题
(考试时间：120分钟+30分钟 总分160分+40分)
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
A ．必做题部分
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．已知全集R U =，集合}2
2)21(|{},0lg |{≥
=<=x x N x x M ， 则=N M C U )(______▲_______． 2．)()(32
Z n x x f n
n
∈=-是偶函数，且)(x f y =在(0,)+∞上是减函数，
则=n ______▲_______．
3．2sin(2),(0,)y x ϕϕπ=+∈在)2
,0(π
∈x 上是减函数，则=ϕ______▲_______．
4．已知R b a ∈,，且
R bi
i
a ∈++1，则=a
b ______▲_______
．5．运行右边算法流程，当输入的x 值为______▲_______时，输出的y 值为4．
6．已知命题2:(1,),log 0p x x ∀∈+∞>， 则p ⌝为______▲_______．
7．正方体1111D C B A ABCD -中，2=AB ，P 是11C B 则四棱锥11P A BCD -的体积为______▲_______．
8．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的 概率为______▲_______．
9．直线t x =过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点且与双曲线的两渐近线分别交于A 、B 两点，若
原点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是______▲_______．
10．已知0c >，设x c y p =:在R 上单调递减，2:()ln(221)q g x cx x =-+的值域为R ，如果“p ⌝或q ⌝”为真命题，“p 或q ”也为真命题，则实数c 的取值范围是______▲_______． 11．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若DB AD 3
1
=，12CD CA CB λλ=+， 则=-21λλ______▲_______．
12．121()sin cos ,()(),()(),
,f x x x f x f x f x f x ''=+==)()(1x f x f n n -'=
（其中2,≥∈*n N n ），则=+++)4
()4()4(201021π
ππf f f ______▲_______．
13．当210≤
≤x 时，2
1|2|3
≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是______▲_______． 14．已知点),(b a P 与点)0,1(Q 在直线0132=+-y x 两侧，则下列说法：①0132>+-b a ；
② 当0≠a 时，a
b 有最小值无最大值；③+
∈∃R M ，使M b a >+22恒成立；④当0>a 且1a ≠，0b >时，1-a b 的取值范围为),3
2
()31,(+∞--∞ ，其中正确说法的序号是______
▲_______．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
如图，
ABD ∆和BCD ∆都是等边三角形，E F O 、、分别是AD BD AC 、、的中点，G 是OC 的中点；
（1）求证：BD FG ⊥； （2）求证：//FG 平面BOE 。

16．（本小题满分14分）
在平行四边形ABCD 中，设DAB α∠=，CAB β∠=，已知2
2AB AD BC CD BD ⋅=⋅
=，
cos()7
γα-=
，其中5(,)36ππγ∈； （1）求cos γ的值；（2）求sin(2)βγ+的值。

A
C
D
E
F
G
O
A
B
C
D
17．（本小题满分14分）
某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和
其中一个座位的总费用为20)2100x k ⎡⎤
+⎢
⎥⎣⎦
元。

假设座位等距离分布，且至少有两个
座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元。

（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当100k =米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？
18．（本小题满分16分）
已知半椭圆22
221(0)x y y b a
+=≥和半圆222(0)x y b y +=≤
组成曲线C ，其中0a b >>；如图，半椭圆
22
22
1(0)x y y b a +=≥内切于矩形ABCD ， 且CD 交y 轴于点G ，点P 是半圆2
2
2
(0)x y b y +=≤上
异于A B 、的任意一点，当点P
位于点M 时， AGP ∆的面积最大。

（1）求曲线C 的方程；
（2）连PC 、PD 交AB 分别于点E F 、，求证：2
2
AE BF +为定值。

19．（本小题满分16分）
各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，211
()42
n n n S a a n N *=
+∈； （1）求n a ；（2）令2
,,n n n a n b b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数
为偶数，24()n n c b n N *
+=∈；求{}n c 的前n 项和n T 。

（3）令n a
n b q λλ=+（q λ、为常数，0q >且1q ≠），123()n n c n b b b =++++
+，
是否存在实数对()q λ、，使得数列{}n c 成等比数列？
若存在，求出实数对()q λ、及数列{}n c 的通项公式，若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分16分） 已知函数sin ()2cos a x
f x bx x
+=
-+ ()a b R ∈、，
（Ⅰ）若()f x 在R 上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2680，试求a 和b 的值。

（Ⅱ）若()f x 为奇函数，
（1）是否存在实数b ，使得()f x 在2(0,)3π为增函数，2(,)3
π
π为减函数，若存在，求出b 的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当0x ≥时，都有()0f x ≤恒成立，试求b 的取值范围。

B ．附加题部分
三、附加题部分（本大题共6小题，其中第21～24题为选做题，请考生在第21～24题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分;第25和第26题为必做题．解答应写
出文字说
明，证明过程或演算步骤．） 21．（本小题为选做题．．．
，满分10分） 如图，AB 是O 的直径，M 为圆上一点，ME AB ⊥，垂足为E ，点C 为O 上任一点，
,AC EM 交于点D ，BC 交DE 于点F ．
求证：（1）AE ED FE EB =::；
（2）2
EM ED EF =⋅．
22．（本小题为选做题．．．
，满分10分）
A
已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点． （1）求2x y +的取值范围；
（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围．
23．（本小题为选做题．．．，满分10分） 求使等式 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
成立的矩阵M ．
24．（本小题为选做题．．．，满分10分） 已知(0,)2
x π
∈
，求函数2sin y x =
+的最小值以及取最小值时所对应的x 值．
25．（本小题为必做题．．．
，满分10分） 如图，直三棱柱111A B C ABC -中， 12C C CB CA ===，AC CB ⊥. D E 、分别为棱
111C C B C 、的中点.
（1）求点E 到平面ADB 的距离；
（2）求二面角1E A D B --的平面角的余弦值；
（3）在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面1A DB ？若存在，确定其位置；若不存
在，说明理由.
1
C 1A
1
B E
F
D
C
A
B
26．（本小题为必做题．．．，满分10分） 在1,2,3,
,9这9个自然数中，任取3个不同的数．
（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率； （2）求这3个数和为18的概率；
（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．
2009-2010学年度高三年级六校联合调研考试
高三数学试题参考答案
A ．必做题部分
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．(,0]-∞ 2．1或2 3．2π
4．1 5．3- 6．2(1,),log 0x x ∃∈+∞≤ 7．83 8．2
3
9
．)+∞
10．112c << 11．12 12
． 13．13
22
a -≤≤ 14．③④
二、解答题：（本大题共6小题,共90分．） 15．（本小题满分14分）
证明：（1）连接AF 和CF ，因为F 为BD 的中点，
ABD ∆和BCD ∆都是等边三角形，
所以BD AF ⊥，BD CF ⊥， 又AF
CF F =，
所以BD ⊥平面AFC ， （5分） 又FG ⊂平面AFC ，
所以BD FG ⊥。

（7分） （2）设BE 和AF 交于点H ，连接OH ，
在等边三角形ABD ∆中，E F 、分别是AD BD 、的中点，
A
C
D
E F G
O
H
所以H 为重心，
2
3
AH AF =， 又O 为AC 中点，G 是OC 的中点，所以2
3
AO AG =， 在三角形AFG 中，
23AH AO
AF AG
==， （10分） 所以//HO FG ，又FG ⊄平面BOE ，HO ⊂平面BOE ， 所以//FG 平面BOE 。

（14分） 16．（本小题满分14分）
解：（1）在平行四边形ABCD 中，AD BC =，AB CD =， 所以CD BC AB AD ⋅=⋅， 又已知2AB AD BC CD ⋅=⋅，
所以22cos AB AD AB AD AB AD DAB ⋅=⋅=⋅⋅∠， 所以1
cos 2
DAB ∠=，又(0,)DAB π∠∈， 所以3
DAB π
∠=
，即3
π
α=
， （2分）
5(,)3
6
ππγ∈，则(0,
)3
2ππ
γαγ-=-∈，
所以1sin()7γα-==， （4分）
cos cos[()]cos[()]33
ππ
γαγαγ=+-=+-
cos
cos()sin sin()333314
π
πππγγ=---=； （7分） （2）在平行四边形ABCD 中，有2
BC CD AD AB BD ⋅=⋅= 又在ABD ∆中，222
2cos BD AD AB AD AB DAB =+-⋅⋅∠， 即有2
2
2cos
3
AB AD AD AB AD AB π
⋅=+-⋅⋅，
即有2
()0AB AD -=，所以AB AD =，
即平行四边形ABCD 为菱形，又3
DAB π
∠=，
所以6
CAB π
∠=
，即6
π
β=
， （9分）
A B C
D
由（1
）得cos 14
γ=
，又5(,)36ππγ∈，
所以13sin 14
γ==
，
sin 22sin cos 98
γγγ==
， 271
cos 22cos 198
γγ=-=-
， （12分） sin(2)sin(2)sin 2cos cos 2sin 666
πππ
βγγγγ+=+=+
71123
()98298
=
+-⋅=。

（14分） 17．（本小题满分14分）
解：（1）设摩天轮上总共有n 个座位，则k x n =
即k
n x
=，
21082k k y k k k x x x ⎤⎛=+= ⎥ ⎣⎦⎝⎭
， 定义域0,2k k x x Z x ⎧⎫
<≤
∈⎨⎬⎩⎭
； （6分） （2）当100k =
时，令100010020y x ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
1000()f x x =
+
21000()f x x '=-+3
2
2
10005120x
x -+=
=，
∴2
33
2
12512525646416x x ⎛⎫
=
⇒== ⎪⎝⎭
，（10分） 当25(0,
)16x ∈时，()0f x '<，即()f x 在25
(0,)16x ∈上单调减， 当25(,50)16x ∈时，()0f x '>，即()f x 在25
(,50)16
x ∈上单调增，
min y 在2516
x =时取到，此时座位个数为100642516
=个。

（14分）
18．（本小题满分16分）
解：（1
）已知点(
33
M -在半圆222(0)x y b y +=≤上，
所以222(
(33
b +-=，又0b >，所以1b =， （2分） 当半圆222(0)x y b y +=≤在点P 处的切线与直线AG 平行时，点P 到直线AG 的距离最大，此时AGP ∆的面积取得最大值，
故半圆222(0)x y b y +=≤在点M 处的切线与直线AG 平行， 所以OM AG ⊥
，又002
M OM M y k x -==-
-，
所以AG a
k b
=
=
， 又1b =
，所以a =
（4分） 所以曲线C 的方程为
2
2
1(0)2
y x y +=≥或221(0)x y y +=≤。

（6分）
（2
）点(1C
，点(1D -，设00(,)P x y ，则有 直线PC
的方程为001)1
y y x x =
--，
令0y =
，得1E x =-
，
所以2AE =-
； （9分）
直线PD
的方程为001)1
y y x x =
++，
令0y =
，得1F x =-
所以2BF =+
； （12分）
则2222
[2[2
AE BF
+=+
2
8
=+，
又由22
00
1
x y
+=，得22
00
1
x y
=-，代入上式得
2
8
=+
8
=+
2
84
==，所以22
AE BF
+为定值。

（16分）19．（本小题满分16分）
解：（1）22
111111
1111
4242
a S a a a a
==+⇒-=，∵
1
a>，∴
1
2
a=；当2
n≥时，22
111
1111
4242
n n n n n n n
a S S a a a a
---
=-=+--，
22
11
11
()()0
42
n n n n
a a a a
--
--+=，即
11
()(2)0
n n n n
a a a a
--
+--=
∵0
n
a>，∴
1
2
n n
a a
-
-=，∴{}n a为等差数列，（2分）
∴2()
n
a n n N*
=∈。

（4分）
（2）
1633
6
c b b a
====，
284211
2
c b b b b a
======，（6分）
3
n≥时，
122
1
24222121
22
n n n n
n
n
c b b b a
---
-
++++
=====+，（8分）
此时，231
8(22)(22)(22)22
n n
n
T n
-
=++++++=+；
∴
6,1
8,2
22,3
n
n
n
T n
n n n N*
=
⎧
⎪
==
⎨
⎪+≥∈
⎩且。

（10分）
（3）
22222
222
(1)
33(1)
111
n n
n
q q q q
c n n n
q q q
λλλ
λλ
+
-
=+++=+-++
---
，
令22130110q q q λλλ=-⎧⎧+=⎪⎪
⇒-⎨⎨=⎪⎪+=⎩⎩
（14分）
∴存在(,)(1,q λ=-，134()4n n c +=⋅。

（16分）
20．（本小题满分16分）
（Ⅰ）∵)(x f 在R x ∈上存在最大值和最小值，
∴0=b （否则)(x f 值域为R ），
∴sin ()2cos a x
y f x x +==
⇒
+sin cos 2sin()1x y x y a x φ-=-⇒-=
≤
223410y ay a ⇒-+-≤，
又2
4120a ∆=+>，由题意有min max 4
26803
y y a +=
=，
∴2010=a ； （4分）
（Ⅱ）若)(x f 为奇函数，∵R x ∈，∴00)0(=⇒=a f ，
∴bx x x x f -+=
cos 2sin )(，b x x f -++='2
cos)2(1
cos 2)(，
（1）若R b ∈∃，使)(x f 在（0，π32
）上递增，在（
π3
2，π）上递减，则0)32
(='πf ，
∴0=b ，这时2
)cos 2(cos 21)(x x
x f ++=
'，当
)32,0(π∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 递增。

当),3
2
(ππ∈x 时0)(<'x f ，)(x f 递减。

（9分）
（2）22
cos 2(12)cos 14()(2cos )b x b x b
f x x -+-+-'=+
△＝[
]
)31(4)41()21(42
b b b b -=-+- 若△0≤，即3
1
≥
b ，则0)(≤'x f 对0≥∀x 恒成立，这时)(x f 在[)+∞,0上递减，∴0)0()(=≤f x f 。

若0b <，则当0≥x 时，[0,)bx -∈+∞，
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈+33,33cos 2sin x x ，
bx x
x
x f -+=
cos 2sin )(不可能恒小于等于0。

若0=b ，则⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈+=33,33cos 2sin )(x x x f 不合题意。

若310<
<b ，则03
31)0(>-=
'b
f ， 01)(<--='b f π，∴),0(0π∈∃x ，使0)(0='x f ，
),0(0x x ∈时，0)(>'x f ，这时)(x f 递增，0)0()(=>f x f ，不合题意。

综上⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞∈,31b 。

（16分）
B ．附加题部分
三、附加题部分：
21．（选做题）（本小题满分10分） 证明：
（1）∵MN AB ⊥，∴0
90B BFE D ∠=-∠=∠，
∴AED ∆∽FEB ∆，
∴EB FE ED AE ：：=；（5分）
（2）延长ME 与⊙O 交于点N ，由相交弦定理，
得EM EN EA EB ⋅=⋅，且EM EN =， ∴2
EM EA EB =⋅，由（1） ∴2
EM ED EF =⋅。

（10分）
22．（选做题）（本小题满分10分）
解：（1）由222x y y +=可得()2
2
11x y +-=
设cos ,1sin ,x y R θθθ==+∈，则2x y +=2cos 1sin θθ++
)1θϕ+
+1⎡∈⎣ （5分）
（2）由22
2x y y +=可得()2
211x y +-=
设cos ,1sin ,x y R θθθ==+∈，0x y a ++≥恒成立 即()a x y ≥-+恒成立，而()x y -+=(
)sin cos 11θθ-++≤，
∴1a ≥。

（10分）
23．（选做题）（本小题满分10分） 解：设m n M p q ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，则由 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
A
221001m n p q ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦22m n p q -⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
（5分） 则222435m n p q =⎧⎪-=⎪⎨=⎪⎪-=⎩12
35
m n p q =⎧⎪=-⎪
⇒⎨=⎪
⎪=-⎩，即1235M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （10分）
24．（选做题）（本小题满分10分） 解：由(0,
)2
x π
∈知：
2sin y x =
+21111
sin x =
54≥=
12sin x 即1sin 2x =时取等号， ∴当6
x π
=时min 5
4
y =。

（10分）
25．（必做题）（本小题满分10分）
解：（1）如图所示，以CB 为x 轴，CA 为y 轴，
1CC 为z 轴建立空间直角坐标系，由 12C C CB CA ===可得(0,0,0)C ，
(0,2,0)A ,(2,0,0)B ,(0,0,1)D ,(1,0,2)E .
z
则(2,2,0)AB =-，(0,2,1)AD =-，
(1,0,1)DE =设平面ADB 的法向量为(,,1)n x y =得
1220221012
x x y y y ⎧=
⎪-=⎧⎪⇒⎨
⎨-+=⎩⎪=
⎪⎩即11(,,1)
22n =则取法向量为(1,1,2)n =， 则点E 到平面ADB 的距离6
2
DE n d n
⋅==
. （3分） （2）1(0,2,2)A ，(1,0,2)E ，(0,0,1)D 可得1
(1,2,0)AE =-，1(0,2,1)A D =--， 设平面1A ED 的法向量为1
(,,1)n x y =1
2012102
x x y y y =-⎧-=⎧⎪⇒⇒⎨⎨--==-
⎩⎪⎩， 故可令1(2,1,2)n =-，1(0,2,2)A ，(0,0,1)D ，(2,0,0)B ， 可得1(0,2,1
)A D =--,1(2,2,2)A B =--， 设平面1A BD 的法向量为2
(,,1)n x y =12102
222012
x y x y y ⎧
=⎪--=⎧⎪⇒⇒⎨⎨--=⎩⎪=-
⎪⎩， 故可令2(1,1,2)n
=-，∴121212
cos ,n n n n n n ⋅<>=
=-
， 即求二面角1E A D B -- （6分） （3）假设存在点F ,坐标为(0,,0)y ，则(1,,2)EF y =--，
EF ⊥平面1A DB 得2//EF n ，即
112112
y y -==⇒=--， ∴F (0,1,0)F 即为AC 中点. （10分） 26．（必做题）（本小题满分10分）
解：（1）记“这3个数至少有一个是偶数”为事件A ，
则1221304545453
937
()42
C C C C C C P A C ++==； （3分） （2）记“这3个数之和为18”为事件B ,考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况， 所以3
971
()12
P B C =
=； （7分） （3）随机变量ξ的取值为0,1,2,ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为012122123
E ξ=⨯+⨯+⨯=。

（10分）。