2019年山东省滕州市卓楼中学中考第四次模拟数学试题及答案

2019年山东省滕州市卓楼中学九年级中考第四次模拟
数学试题
说明：本试题满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：二次函数c bx ax y ++=2
)0(≠a 的顶点坐标为（a b
2-，a b ac 442-）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．－2的倒数是
A ．－2
B ．2
C ．21
D ．
21-
2．如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么图中x 的值是
A ．8
B ．3
C ．2
D ．-3
3．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67 500吨，用科学记数法表示这个数是 A ．6.75⨯103吨
B ．67.5×103吨
C ．6.75 ⨯104吨
D ．67.5×105吨
4．如下图，在等腰直角∆ABC 中，∠B=90°，将∆ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转60°后得到∆AB’C’，则∠BAC’等于
A ．60°
B ．105°
C ．120°
D ．135°
5．将点A （3，2）向左平移4个单位长度得到点A '，则点A '关于y 轴对称的点的坐标是
A ．（－3，2）
B ．（－3，2）
C ．（1，2）
D ．（1，－2）
6．如下图，当宽为3 cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm ），那么该圆的半径为
A ．625
B ．325
C ．5
D ．4
7．如下图，有四张不透明的卡片除正面的算式不同外，其余完全相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片上算式正确的概率是
A ．41
B ．21
C ．43
D ．1
8．在学校组织的实践活动中，小王同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为22，则这个圆锥的侧面积是 A ．π2
B ．π22
C ．π3
D ．π4
9．如下图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∠B ＝30°。

现将△ADE 沿DE 折叠，点A 落在三角形所在平面内的点为A '，则∠BD A '的度数为
A ．100°
B ．120°
C ．130°
D ．140°
10．如下图，方程132
=+x x 的根可看作是函数3+=x y 的图像与函数
x y 1
=
的图像交点
的横坐标。

类似地，利用这种图像法，可以确定方程0122=-+x x 的实数根0x 所在
的范围是
A ．
41
00<
<x B ．314
10<
<x C ．21310<<x D ．121
0<<x
第Ⅱ卷（非选择题
共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

请把答案填在题中的横线上）
11．因式分解：=-m m 52
__________。

12．已知反比例函数
x k
y =
，当2=x 时，3-=y ，则k ＝__________。

13．已知△ABC ∽△DEF ，相似比是3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比是__________。

14．一组整数3，4，8，5，1，它们的中位数是__________。

15．甲、乙两工程队完成某项工程，甲先做了10天，然后乙加入合作，完成剩下的工程。

设工程总量为1，若工程进度如下图所示，那么实际完成这项工程所用时间比甲单独完成此项工作所用时间少__________天。

16．如下图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE
＝4，CD ＝6，则AE 的长为__________。

三、解答题（本大题共8小题，共80分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．（本小题满分8分）
（1）
161
3202-
+-
（2）化简：
)2()(2
a b b b a --- 18．（本小题满分8分）
（1）解不等式组：⎩
⎨
⎧-≤->+x x x 340
2
（2）解方程：1
131=+--x x x
19．（本小题满分8分）
如下图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过点A ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为E ，F ，直线AE 交CD 于点G 。

（1）求证：△ABE ≌△BCF ；
（2）若∠CBF ＝65°，求∠AGC 的度数。

20．（本小题满分8分）
学期初，学校体育组对九年级某班50名学生进行了跳远测试（满分5分），根据测试成绩制作了下面两个统计图（信息不完整）。

根据统计图解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）本次测试的平均分是多少？
（3）通过一段时间的训练，体育组对该班50名学生进行第二次跳远测试，测得成绩的
最低分为3分，且得4分和5分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.8分，问第二次测试中，得4分、5分的学生分别有多少人？
21．（本小题满分10分）
某车库出口处设置有“两段式栏杆” ，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）。

其中AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，EF ∥BC ，∠EAB ＝150°，AB ＝AE ＝1.2 m ，BC ＝2.4m 。

（1）求图2中点E 到地面的高度（即EH 的长。

73.13 ，结果精确到0.01 m ，栏
杆宽度忽略不计）；
（2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2 m ，这辆车能否驶入该车库？请说明理由。

22．（本小题满分12分）
清明节期间，两位同学到某超市调查一种进价为2元／只的粽子的情况。

请根据对话提供的信息，解答以下问题：
（1）当销售单价是多少元时，每天的销售利润可达到800元？ （2）当销售单价是多少元时，每天的销售利润可达到最大？
注：销售利润＝销售量×（销售单价－进价）
23．（本小题满分12分）
若一条直线将一个平面图形分成面积相等的两部分，则该直线被平面图形截得的线段叫做该图形的面径。

例如圆的直径就是它的面径。

（1）已知等边三角形的边长为2，则它的面径长可以是_________（写出2个）； （2）如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，M 是AD 的中点，射线CM 交射线BA 于
点E 。

取EB 的中点F ，连接CF 。

求证：CF 是梯形ABCD 的面径；
（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝Rt ∠，D ，E 分别是线段BC ，AC 上的点，EF
是四边形ABDE 的一条面径。

若AB ＝CB ＝CE ＝2，∠BED ＝45°，求DF 。

24．（本小题满分14分）
如下图，点A 是抛物线C 1：
12212
++=
x x y 的顶点，点B 是抛物线C 2：
c bx x y ++=
2
21的顶点，并且OB ⊥OA 。

（1）求点A 的坐标；
（2）若OB ＝52，求抛物线C 2的函数解析式；
（3）在（2）条件下，设P 为x 轴上的一个动点，探究：在抛物线C 1或C 2上是否存在
点Q ，使以点O ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

2019年山东省滕州市卓楼中学九年级中考第四次模拟
数学试题参考答案
1．D 2．A 3．C 4．B
5．C 6．A 7．B 8．C 9．B 10．C 11．)5(-m m
12．－6
13．3：4
14．4
15．12
16．5
17．解：（1）
141
1411613202=-+=-
+-；
※第一步3分，第二步1分，共4分。

（2）2
222222)2()(a ab b b ab a a b b b a =+-+-=---
※第一步2分，第二步2分，共4分。

18．解：（1）由02>+x 得2->x ，
（1分） 由x x -≤-24得3≤x ，
（2分） ∴原不等式组的解是32≤<-x
（4分）
（2）去分母，得
1)1(3)1(2
-=--+x x x x ， （1分） 去括号，得1332
2-=+-+x x x x
（2分）
整理得42=x ， 解得2=x ，
（3分） 经检验，2=x 是原方程的解。

（4分）
19．解：（1）证明：∵正方形ABCD ，
∴AB ＝CB ，∠ABC ＝90°
（1分）
∵AE l ⊥于点E ，
∴∠ABE ＋∠BAE ＝90°， （2分） ∴∠BAE ＝∠CBF
（3分） 又∵∠AEB ＝∠BFC ＝90°， （4分） ∴△ABE ≌△BCF （AAS ）
（5分）
（2）∵△ABE ≌△BCF ，∠CBF ＝65°，
∴∠BAE ＝65°，
（6分） 又由正方形ABCD 得AB ∥DC ， （7分） ∴∠AGC ＝115°
（8分） 20．解：（1）得5分的10人，画图略。

（2分）
（2）平均分＝7.3)10525435210(501
=⨯+⨯+⨯+⨯ （4分）
（3）设得4分的有x 人，则得5分的有（x -45）人，得3分的有5人，
由题意得5
.4)]45(5453[501
=-++⨯x x ， （6分）
解得15=x ，∴3045=-x
（7分）
答：得4分的有15人，得5分的有30人。

（8分）
21．解：（1）如图，作AM ⊥EH 于点M ，交CD 于点N ，
则四边形ABHM 和MHCN 都是矩形， ∵∠EAB ＝150°，∴∠EAM ＝60°，
（1分）
又∵AB ＝AE ＝1.2米，
∴EM ＝04.1038.173.16.036.0≈=⨯≈米， （3分） ∴EH≈2.24米
（2）如图，在AE 上取一点P ，过点P 分别作BC ，CD 的垂线，
垂足分别是Q ，R ，PR 交EH 于点K ，不妨设PQ ＝2米， 下面计算PR 是否小于2米；
由上述条件可得EK ＝EH －PQ ＝0.24米，AM ＝0.6米， （5分）
∵PK ∥AM ，∴△EPK ∽△EAM
（6分）
∴EM EK AM PK =
，即
36.024.00.6PK = （7分） ∴308.0PK =米
（8分）
∴PR ＝PK ＋MN ＝PK ＋BC －AM ＝6.0-4.2308.0+
94.1308.08.1≈+=米，
（9分） ∵PR ＜2米，∴这辆车不能驶入该车库。

（10分）
22．解：（1）设销售单价是x 元，
由题意，得800)1.03
10500)(2(=-⨯
--x x ， （3分）
解得4=x 或6
（5分）
又∵售价不能超过进价的240%，即不能超过4.8元，
∴4=x
（6分）
答：当销售单价是4元时，每天的销售利润可达到800元。

（7分） （2）设每天的销售利润为y 元，
由题意得，
)1.03
10500)(2(-⨯
--=x x y ，
即
160010001002
-+-=x x y ， ∴
900)5(1002+--=x y （9分）
∵5＞4.8，而当5<x 时，y 随x 的增大而增大， （10分）
∴当8.4=x 时，销售利润有最大值，此时利润额等于896元。

（11分） 答：当销售单价是4.8元时，销售利润有最大值。

（12分）
23．解：（1）2，3
（2分）
（2）以下为解题思路表述：
由条件可推得
CEF CBF ∆∆=S S ，
（3分）
再由条件可推得△CDM ≌△EAM ，
（4分） ∴
CEF AFCD ∆=S S 四边形，CBF AFCD ∆=S S 四边形
（5分） ∴CF 是梯形ABCD 的面径。

（6分）
（3）如图，作AG ∥EB ，交直线BC 于点G ，连接GE ，GE 交AB 于点H ，
则易得，GBH AEH ∆∆=S S
（7分）
∴
EGF ABFE ∆=S S 四边形
又∵EF 是四边形ABDE 的一条面径， ∴F 是GD 的中点，
（8分）
由AB ＝CB ＝CE ＝2，∠BED ＝45°， 可推得△CDE ≌△AEB ， （9分） ∴CD ＝AE ＝222-
（10分） 又由条件可推得GC ＝AC ＝22， （11分） ∴DF ＝1
（12分） 24．解：（1）A （－2，－1）
（2分）
（2）以下为解题思路表述：
如图，作AD x ⊥轴于点D ，BC x ⊥轴于点C ，
由（1）得AD ＝1，OD ＝2，OA ＝5， 又由条件可推得△AOD ∽△OBC ，
（证明相似，5分）
∴OA OB OD BC =
，即
5522BC = ∴BC ＝4，同理可得OC ＝2， （7分） ∴B （2，－4），
（8分）
∴抛物线C 2：
4)2(21
2--=
x y
即
22212
--=
x x y
（10分）
（3）设Q （n m ，），
如题图和备用图，在平行四边形中，
由于对角线平分平行四边形，
∴4=n ，可得412212=++m m 或4
22212
=--m m ，
∴102±-=m 或－2或6，
∴Q 1（102--，4），Q 2（102+-，4），Q 3（－2，4），Q 4（6，4）， 共四种情况
（14分）
注：第（3）小题每个答案1分，共4分。