29数学分析104二元函数的泰勒公式PPT课件
二元泰勒展开
同号,因此f 与 A同号,当 A 0时 f ( x0 , y0 )为极 小值,当 A 0时 f ( x0 , y0 )为极大值.
(2) 设 AC B2 0,即
f xx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 ) f xy ( x0 , y0 ) 2 0. (9)
h
x
k
y
f
(
x0
ht
,
y0
kt
),
(t ) h2 f xx ( x0 ht , y0 kt ) 2hkf xy ( x0 ht , y0 kt ) k 2 f yy ( x0 ht , y0 kt )
(t ) C h k xy p (n1)
h x
k
y
2
f
( x0 ,
y0 )
表示 h2 fx x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
一般地,记号
h x
k
y
m
f
(
x0 ,
y0
)表示
C m
p0
p p p m p h k x y . m
又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0， 令 f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ，
f yy ( x0 , y0 ) C ，
多元函数的Taylor公式与极值问题课件
实际应用中的考虑因素
实际问题的背景
在应用极值理论时，需要考虑实际问题的背景和限制条件，如物 理定律、约束条件等。
数据的不确定性
在实际问题中，数据往往存在不确定性，需要考虑这些不确定性 对极值分析的影响。
模型的适用性
在应用极值理论时，需要考虑模型的适用性，确保模型能够准确 地反映实际情况。
07
与望
05
利用Taylor公式求解极
方法概述
定义
Taylor公式是用于近似表达一 个多元函数在某点附近的行 为
的公式。
形式
Taylor公式的一般形式为 f(x)≈f(a)+f'(a)(x−a)+12f''(a) (x−a)2+…+1n!f(n)(a)(x−a)n
+…。
应用
利用Taylor公式，我们可以找 到函数在某点的极值。
06
极求解的注事与 技巧
常见错误分析
忽视函数的定义域
在求解极值问题时，必须先确定函数的定义域，否 则可能导致错误的结论。
对导数的理解不足
导数描述了函数在某一点的切线斜率，若对导数的 理解不准确，可能导致错误的极值点判断。
未考虑多极值点的情况
在某些情况下，函数可能有多个极值点，需要全面 考虑，避免遗漏。
定义
一元函数在某点的Taylor公式是 该函数在该点附近的一个多项式 近似表示。
形式
一元函数的Taylor公式的一般形 式为 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x -a)^n/n! + Rn(x)
8-09二元函数的泰勒公式-PPT精选文档
R 由 二 元 函 数 的 泰 勒 公 式 知 , 绝 对 值 在 n 的 ( x ,y ) M 点 的 某 一 邻 域 内 都 不 超 过 某 一 正 常 数 . 0 0
于 是 , 有 下 面 的 误 差 估 计 式 :
h k f(x ,y ) 表示 一般地,记号 0 0 x y
p h k . C x ,y ) p m p( 0 0 x y p 0
m p p m p m m
m
证
引入函数
( t ) f ( x ht , y kt ), ( 0 t 1 ). 0 0
( 0 )f(x ( 1 )f(x h ,y k )及 将 , 0, y 0) 0 0
( t)直 t 0的 n 上 面 求 得 的 到 阶 导 数 在 值 , 以 及
(n 1 ) t 的 ( t) 在 值 代 入 上 式 . 即 得
f (x0 h , y0 k) f (x0, y0 ) h k f (x0, y0 ) y x 1 h k f (x0, y0 ) 2 ! x y 1 h k f (x0, y0 ) R , n n ! x y
n f ( x ) 意 义 ： 可 用 次 多 项 式 来 近 似 表 达 函 数 ， 且 x x ( x x ) 阶 误 差 是 当 时 比 的 无 穷 小 ． 0 0 高
n
问题： 能否用多个变量的多项式来近似表达一个 给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.
即 设z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内连续 且有直到n 1 阶的连续偏导数, ( x0 h, y0 h) 为此邻域内任一点, 能否把函数 f ( x0 h, y0 k )
数学分析-Taylor公式与科学计算PPT课件
03 Taylor公式在科学计算中 的应用
多项式逼近
多项式逼近
利用Taylor公式，可以将复杂的函数展开 为多项式形式，从而实现对复杂函数的 近似计算。这种多项式逼近方法在数值 分析和科学计算中具有广泛的应用。
VS
逼近精度
通过选择合适的阶数和节点，可以控制多 项式逼近的精度。高阶多项式逼近能够更 好地逼近函数，但同时也需要更多的计算 资源和时间。
总结词
通过Taylor展开，可以将微分方程转化为差分方程，从 而简化求解过程。
详细描述
在求解微分方程时，有时可以利用Taylor展开将微分方 程转化为差分方程，从而简化求解过程。这种方法在数 值分析中有着广泛的应用，尤其在处理偏微分方程时非 常有效。
05 结论
Taylor公式的意义与价值
1 2
精确近似
数学分析-Taylor公式与科学计算 PPT课件
目录
• 引言 • Taylor公式简介 • Taylor公式在科学计算中的应用 • 实例演示 • 结论
01 引言
主题简介
数学分析
数学分析是研究函数的极限、连 续性、可微性、可积性和实数完 备性的学科，是数学专业的重要
基础课程之一。
Taylor公式
算过程。
求解微分方程
要点一
初值问题
在求解微分方程时，可以利用Taylor公式对微分方程进行 离散化，从而转化为数值求解问题。通过选择合适的步长 和阶数，可以控制数值解的精度和稳定性。
要点二
边值问题
对于微分方程的边值问题，可以利用Taylor公式将问题转 化为有限元方法或边界元方法等数值方法进行求解。这种 方法在科学计算和工程领域中具有广泛的应用。
02 Taylor公式简介
9.二元函数泰勒公式
二元函数的泰勒公式
型余项. 根据定理的条件假设知道, Rn 的绝对值
f ( x 0 , y0 ) h k f ( x 0 , y0 ) y x n 1 h k f ( x 0 , y0 ) n! x y
1 h k ( n 1)! x y
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
当A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;
(2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则
2 2 2 Q(h, k ) 1 [( A h B k ) k ] ( AC B ) A
当 ( x, y ) 沿直线 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 接近( x0 , y0 )
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 ,
显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ).
二元函数的泰勒公式 显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ). 利用一元函数的麦克劳林公式, 得
泰勒公式ppt课件精选全文完整版
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
精选编辑ppt
18
机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
精选编辑ppt
10
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
精选编辑ppt
16
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
10.4二元的泰勒公式
由ϕ(t) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 说明 在泰勒公式⑷中， 1)令a=0,b=0,就得到二元 函数f(x,y) 麦克劳林公式 的麦克劳林公式 (将h与k分别用x与y表示):
∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ f (x, y) = f (0,0) + x + y f (0,0) + x + y f (0,0) 1 ∂x ! ∂y 2! ∂x ∂y
因 fx′′ x, y） f y′′x x, y） (x0 ，0 )连续,故令∆x → 0, （ , （ 在点 y 连续, y ″ ∆y → 0得 f x y (x0 , y0 ) = f y′′ (x0 , y0 ) x
推广:定理1对 元函数的高阶混合偏导数也成立. 推广 定理 对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立 例如, 例如 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 连续时, 在点 (x , y , z) 连续时 有
二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 高阶偏导数
例1. 求函数 z = ex+2y 的二阶偏导数及 ∂ z . 2 ∂y∂x ∂z ∂z 解: = 2ex+2y = ex+2y ∂y ∂x
3
∂ z x+2y =e 2 ∂x 2 2 ∂ z ∂ z x+2y = 4ex+2y 2e = 2 ∂y∂x ∂y 3 2 ∂ z ∂ ∂ z = ( ) = 2 e x +2 y ∂y∂x2 ∂x ∂y∂x ∂2z ∂2z = , 但这一结论并不总成立. 注意: 但这一结论并不总成立. 注意:此处 ∂x∂y ∂y∂x
10.4 二元函数的泰勒公式2
解得两个稳定点（0，0）与（1，1）. ( x, y) 6x, ( x, y) 3, ( x, y) 6 y. f xx f xy f yy
( x, y)]2 f xx ( x, y) f yy ( x, y) 9 36xy. [ f xy
在点
在点
(0, 0), 9 0, (0, 0) (1,1), 27 0, 且A 6 0,(1,1)
( x3 y 3 3xy )
(1,1)
是函数的极小点，极小值是
1
要设计一个容量为 V0的长方体开口水箱, 试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
例7
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例如
函数 z x 2 y 2 在 (0,0) 处有极大值．
例如
函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
z
o x
y
二元函数取得极值的条件
定理（必要条件） 设函数 z f ( x , y )在点 (a, b) 具有偏导数， 且在点 (a, b) 处有极值，则它在该点的偏导数 必然为零： f x (a, b) 0 ， f y (a, b) 0 .
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时 为零的点，均称为函数的驻点. 注意： 驻点 极值点
例如, 点 ( 0,0) 是函数 z xy 的驻点， 但不是极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理（充分条件） 设函数 z f ( x , y )在点 (a, b) 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， 又f x (a, b) 0，f y (a, b) 0， (a, b)是驻点 令f xx (a, b) A，f xy (a, b) B，f yy (a, b) C，
《函数的Taylor公式》课件
分段的taylor公式
分段的taylor公式定义
01
对于分段定义的函数，其taylor公式是在每个分段内展开函数的
一种方法，需要考虑分段点处的连续性和导数。
分段的taylor公式的收敛性
02
taylor公式的推导
一次taylor公式
总结词：线性逼近
详细描述：一次taylor公式可以将一个函数在某一点的值近似为其在该点处的导 数值与自变量增量的线性组合，即 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)。
二次taylor公式
总结词
二次多项式逼近
详细描述
二次taylor公式在某一点的值近似为该点处的二阶导数与自变量增量的二次多项 式，即 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)+12!f″(a)(x−a)2。
近似计算误差估计
taylor公式还可以提供近似计算的误 差估计，帮助我们了解近似值的精度 。
函数性质的研究
研究函数的局部行为
taylor公式可以用来研究函数在某一 点的局部行为，例如求函数的极值点 或拐点。
函数展开与收敛性
taylor公式可以用来研究函数的展开 和收敛性，从而深入了解函数的性质 。
函数的分析和计算非常有用。
适用范围广：Taylor公式适用于各种 类型的函数，包括连续可导的函数。
局限性
收敛性：Taylor公式的收敛速度可能 很慢，需要足够多的项才能达到所需 的精度。
区间限制：Taylor公式只在一定区间 内收敛，超出这个区间公式就不再成 立。
taylor公式的进一步研究
二元函数的泰勒公式
二元函数的泰勒公式二元函数是数学中非常重要的一类函数，它的式子是一元多项式的幂函数形式。
它具有很高的数学意义和应用价值，所以学习它是有必要的。
在二元函数中，泰勒公式是最重要的一种，也是最有用的一种。
泰勒公式有多种形式，可以应用于许多领域，其中最重要的是无穷级数法、复变函数法以及数值计算法。
泰勒公式是事实上经常使用的一种关于函数表达式的展开式。
它是一种描述函数的技巧，可以用来测量函数的性质，也可以用来估计函数的值。
在求解函数的过程中，它可以帮助我们更加准确、有效地求解问题，用以解决各种实际应用中的问题。
泰勒公式常用来研究一般连续函数f(x)，它被定义为连续函数f(x)在x=a处的泰勒展开式，其形式为：f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)(x-a)2/2!+f(a)(x-a)3/3!+…+f^(n)(a)(x-a)n/n!由此可见，泰勒公式的每一项都有着与它相关的求导数次数，所以二元函数的泰勒公式可以把连续函数f(x)表示为一个无穷级数，由此可以理解为一个与实际应用所属的某一领域有关的特殊函数。
泰勒公式实际上是一个重要的逐步近似技术，它可以用来计算函数f(x)在x=a附近的局部变化。
比如，当函数f(x)在x=a处求导结果为f′(a)，进一步求出f″(a)，以及更高阶的求导数，那么泰勒公式就可以利用它们来得到函数f(x)在x=a处的局部变化。
由于函数f(x)每一项都相互独立，在每一项求导数的次数均较少，因而可以节省计算量，这也是使用泰勒公式的原因之一。
而在应用中，泰勒公式可以用于数值计算、插值计算、积分运算等，还可以用于研究复变函数、无穷级数的收敛性等。
特别是在无穷级数的研究中，使用它就可以快速进行研究，大大减少了计算量。
综上所述，泰勒公式是一种用于研究特殊函数和无穷级数的重要方法。
从学习、研究上来说，了解泰勒公式对于更好地理解函数有着重要的意义，因此，认真学习泰勒公式是很有必要的。
数学分析报告10.4--二元函数地泰勒公式
§10.4 二元函数的泰勒公式一.高阶偏导数二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数x z ∂∂，yz ∂∂ 仍是x 与y 的二元函数。
若他们存在关于x 和y 的偏导数，即 x ∂∂（x z ∂∂）， y ∂∂（x z ∂∂）， x ∂∂（y z ∂∂）， y ∂∂（yz ∂∂）. 称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个。
通常将 x ∂∂（x z ∂∂）记为22xz ∂∂或''xx f ),(y x . y ∂∂（x z ∂∂）记为yx z ∂∂∂2或''xy f ),(y x . (混合偏导数) x ∂∂（y z ∂∂）记为xy x ∂∂∂2或''yx f ),(y x . (混合偏导数) y ∂∂（y z ∂∂）记为22yz ∂∂或''yy f ),(y x . 一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有2n 个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号k k n n yx z ∂∂∂-或 )(n y x k k n f -),(y x 表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1 求函数332233++-=xy y x y x z 的二阶偏导数.解 x z ∂∂=23263y xy y x +-， yz ∂∂=xy x y x 233223+-. 22xz ∂∂=y xy 663-.yx z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. x y z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. (y x z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2) 22yz ∂∂=x y x 263+. 例2 证明：若u=r1,r=222)()()(c z b y a x -+-+-,则 22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂=0. 证明 由§10.3例2，有x u ∂∂=3r a x --，yu ∂∂=3r b y --，z u ∂∂=3r c z --. 22x u ∂∂=6233)(r x r r a x r ∂∂---(x r ∂∂=r a x -) =6233)(r r a x r a x r ---- =31r -+53r 2)(a x -. 同样，可得22yu ∂∂=31r -+53r 2)(b y -, 22z u ∂∂=31r -+53r 2)(c z - 于是，22x u ∂∂+22y u ∂∂+22zu ∂∂=31r -53r +])()()[(222c z b y a x -+-+- =33r -+33r=0. 由例1看到，y x z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2，即二阶混合偏导数（先对x 后对y 和先对y 后对x ）与求导的顺序无关。
数学分析10.4--二元函数的泰勒公式
§10.4 二元函数的泰勒公式一.高阶偏导数二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数xz ∂∂，yz ∂∂ 仍是x 与y 的二元函数。
若他们存在关于x 和y 的偏导数，即x∂∂（xz ∂∂），y∂∂（xz ∂∂），x∂∂（yz ∂∂），y∂∂（yz ∂∂）.称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个。
通常将x∂∂（xz ∂∂）记为22xz ∂∂或''xx f ),(y x .y∂∂（x z ∂∂）记为y x z ∂∂∂2或''xy f ),(y x . (混合偏导数)x ∂∂（y z ∂∂）记为x y x ∂∂∂2或''yx f ),(y x . (混合偏导数)y∂∂（yz ∂∂）记为22yz ∂∂或''yy f ),(y x .一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有2n个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号kk n nyxz ∂∂∂-或 )(n yxkkn f -),(y x表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1 求函数332233++-=xyy x y x z 的二阶偏导数.解 xz ∂∂=23263y xy y x +-，yz ∂∂=xy x y x 233223+-.22xz ∂∂=y xy663-.y x z ∂∂∂2=y x y x 26922+-.x y z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. (yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2)22yz ∂∂=x y x 263+.例2 证明：若u=r1,r=222)()()(c z b y a x -+-+-,则22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=0.证明 由§10.3例2，有xu ∂∂=3ra x --，yu ∂∂=3rb y --，zu ∂∂=3rc z --.22xu ∂∂=6233)(rxr ra x r∂∂---(xr ∂∂=ra x -)=6233)(rra x ra x r----=31r-+53r2)(a x -.同样，可得22yu ∂∂=31r-+53r2)(b y -,22zu ∂∂=31r-+53r2)(c z -于是，22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=31r-53r+])()()[(222c z b y a x -+-+-=33r-+33r=0.由例1看到，yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2，即二阶混合偏导数（先对x 后对y 和先对y 后对x ）与求导的顺序无关。
【2019年整理】泰勒公式的讲解60页PPT
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
【2019年整理】泰勒公式的讲解
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10
. 证明： 若 z f( x ,y )x , co ,y ssi,则n
2f 2f 2f 12f 1f
x2
y2
222.
f
证明： f f xf y
x y
f cosf sin.
x
y
xy
f f x f y
x y
f sinf cos.
x
y
11
2 f
2
f
f
f fxcosfysin
2f
co2s2f
sincos
x2
xy
2f sincos2fsi2n.
yx
y2
f f ,f
x y
xy
2f2 f f f fxsin fyc o s
2f2si2 n2f2sin c o s fc os
x2
x y
x
2f2sin co s2f2co 2 s fsi.n
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y); y
(z) x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
) 2z yx
fyx(x,
(混合偏导数)
y);y(yz)y2z2 fyy(x,y)
在点 (x , y , z) 连续时, 有
fx y z ( x ,y ,z ) fy z x ( x ,y ,z ) fz x y ( x ,y ,z )
f x z y ( x ,y ,z ) f y x z ( x ,y ,z ) f z y x ( x ,y ,z )
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶偏导
数可以选择方便的求导顺序.
9
例3. 设 w f( x y z ,x y z ) ,f 具有二阶连续偏导数,
求 w , 2w . x xz
w, f1, f2
解: 令 u x y z , v x y z , 则
§10.4 二元函数的泰勒公式
就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似 计算外, 又为建立极值判别准则作好了准 备.
一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式 三、极值问题
1
一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在区域 D 内存在连续的偏导数
x zfx(x,y), y zfy(x,y)
limfx(0,y)fx(0,0)
y0
y
lim y 1 y0 y
fyx(0,0) lx i0m fy(x,0 )x fy(0,0)
lim
x0
x x证明函数 u1,r x2y2z2满足拉普拉斯 r
方程 u x2u2 y2u2 z2u2 0
证： u x
1 r2
r x
1 r2
15
定理2. 若函 f(x,数 y)在P 点 (a,b)的某一邻域G内存在
n + 1 阶连续的偏导数 , (ah,bk)为此邻域G内任
一点, 则有
f(a h ,b k ) f(a ,b )(h xk y)f(a,b)
3
例1. 解:
求函数zex2y的二阶偏导数及
z ex2y x
z y
2ex2y
3 y
z x
2
.
2z x2
ex2y
2 z 2ex2y x y
2 z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
( 2z ) x yx
2ex2y
注意:此处 2z 2z , 但这一结论并不总成立. xy yx
x r
r2
2u x2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
r13
3ry52
,
2u z2
r13
3rz52
x2u2 y2u2 z2u2 r333(x2ry52z2)0
6
推广:定理1对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
• (hxky)2f(x0,y0)表示
h 2 f x x ( x 0 ,y 0 ) 2 h k f x y ( x 0 ,y 0 ) k 2 f y y ( x 0 ,y 0 )
• 一般地, (hxky)mf(x0,y0)表示
pm 0C m phpkm pxp m yfm p(x0,y0)
(混合偏导数)
2
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
x
(x22z)
3z x3
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
y
(
n
x
1 n
z
1
)
nz x n1 y
(n阶偏导数)
二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
uv
wf(u,v)
w x
f11f2yz
x y zx y z
f1 (x y z ,x y z ) y z f2 ( x y z ,x y z )
2w xz
f111f12xyy f2 yz[f211f22xy]
为简便 起f 1 见 ,y 1 引( x 入 z 记) f 号1 f1x 2 y 2 z uff ,2 f 12y 2 f 2 u2fv,
y x
y2
y
12
于是， 2f 1 2f 1f 2 2 2
2f(c2os si2n )2f(s2i n co 2 )s
x2
y2
fxco s fysin fxco s fysin
2 f 2 f . x2 y2
即
2f x2
2f y2
2f212 2f2 1 f.
13
二、二元函数的泰勒公式
一元函数 f (x) 的泰勒公式: f(x 0 h )f(x 0 )f(x 0 )h f2 (x !0 )h 2
f (n) (x0 ) hn f(n1)(x0x)hn1
n!
(n1)!
(01)
推广
多元函数泰勒公式
14
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (hxky)f(x0,y0)表 hf示 x (x 0 ,y 0) kfy (x 0 ,y 0)
4
例如, f(x,y)
xyxx22 yy22, x2y20
0 ,
x2 y2 0
fx(x,y) yx4(x4 2x2y y2 2) 2y4, x2y20
0 ,
x 2 y 2 0
fy(x, y)
xx4( x4 2x2y y2 2) 2y4, x2y20
0 ,
x 2 y 2 0
fxy(0,0)