29数学分析104二元函数的泰勒公式PPT课件

co2s2f
sincos
x2
xy
2f sincos2fsi2n.
yx
y2
f f ,f
x y
xy
2f2 f f f fxsin fyc o s
2f2si2 n2f2sin c o s fc os
x2
x y
x
2f2sin co s2f2co 2 s fsi.n
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶偏导
数可以选择方便的求导顺序.
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例3. 设 w f( x y z ,x y z ) ,f 具有二阶连续偏导数,
求 w , 2w . x xz
w, f1, f2
解: 令 u x y z , v x y z , 则
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二、二元函数的泰勒公式
一元函数 f (x) 的泰勒公式: f(x 0 h )f(x 0 )f(x 0 )h f2 (x !0 )h 2
f (n) (x0 ) hn f(n1)(x0x)hn1
n!
(n1)!
(01)
推广
多元函数泰勒公式
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记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (hxky)f(x0,y0)表 hf示 x (x 0 ,y 0) kfy (x 0 ,y 0)
§10.4 二元函数的泰勒公式
就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似 计算外, 又为建立极值判别准则作好了准 备.
一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式 三、极值问题
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一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在区域 D 内存在连续的偏导数
x zfx(x,y), y zfy(x,y)
x r
r2
2u x2
wk.baidu.com
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
r13
3ry52
,
2u z2
r13
3rz52
x2u2 y2u2 z2u2 r333(x2ry52z2)0
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推广:定理1对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
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. 证明： 若 z f( x ,y )x , co ,y ssi,则n
2f 2f 2f 12f 1f
x2
y2
222.
f
证明： f f xf y
x y
f cosf sin.
x
y
xy
f f x f y
x y
f sinf cos.
x
y
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2 f
2
f
f
f fxcosfysin
2f
(混合偏导数)
2
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
x
(x22z)
3z x3
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
y
(
n
x
1 n
z
1
)
nz x n1 y
(n阶偏导数)
二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
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例1. 解:
求函数zex2y的二阶偏导数及
z ex2y x
z y
2ex2y
3 y
z x
2
.
2z x2
ex2y
2 z 2ex2y x y
2 z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
( 2z ) x yx
2ex2y
注意:此处 2z 2z , 但这一结论并不总成立. xy yx
uv
wf(u,v)
w x
f11f2yz
x y zx y z
f1 (x y z ,x y z ) y z f2 ( x y z ,x y z )
2w xz
f111f12xyy f2 yz[f211f22xy]
为简便 起f 1 见 ,y 1 引( x 入 z 记) f 号1 f1x 2 y 2 z uff ,2 f 12y 2 f 2 u2fv,
• (hxky)2f(x0,y0)表示
h 2 f x x ( x 0 ,y 0 ) 2 h k f x y ( x 0 ,y 0 ) k 2 f y y ( x 0 ,y 0 )
• 一般地, (hxky)mf(x0,y0)表示
pm 0C m phpkm pxp m yfm p(x0,y0)
y x
y2
y
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于是， 2f 1 2f 1f 2 2 2
2f(c2os si2n )2f(s2i n co 2 )s
x2
y2
fxco s fysin fxco s fysin
2 f 2 f . x2 y2
即
2f x2
2f y2
2f212 2f2 1 f.
limfx(0,y)fx(0,0)
y0
y
lim y 1 y0 y
fyx(0,0) lx i0m fy(x,0 )x fy(0,0)
lim
x0
x x
1
二 者 不 等
5
例2. 证明函数 u1,r x2y2z2满足拉普拉斯 r
方程 u x2u2 y2u2 z2u2 0
证： u x
1 r2
r x
1 r2
4
例如, f(x,y)
xyxx22 yy22, x2y20
0 ,
x2 y2 0
fx(x,y) yx4(x4 2x2y y2 2) 2y4, x2y20
0 ,
x 2 y 2 0
fy(x, y)
xx4( x4 2x2y y2 2) 2y4, x2y20
0 ,
x 2 y 2 0
fxy(0,0)
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定理2. 若函 f(x,数 y)在P 点 (a,b)的某一邻域G内存在
n + 1 阶连续的偏导数 , (ah,bk)为此邻域G内任
一点, 则有
f(a h ,b k ) f(a ,b )(h xk y)f(a,b)
在点 (x , y , z) 连续时, 有
fx y z ( x ,y ,z ) fy z x ( x ,y ,z ) fz x y ( x ,y ,z )
f x z y ( x ,y ,z ) f y x z ( x ,y ,z ) f z y x ( x ,y ,z )
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y); y
(z) x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
) 2z yx
fyx(x,
(混合偏导数)
y);y(yz)y2z2 fyy(x,y)