2018-2019学年高一数学人教A版必修4课件：1.4.2.1 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
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答案：C
2．函数
y＝sin2
0211π－2
010x是(
)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：y＝sin2
0211π－2
010x＝sinπ2－2sinπ2－2
010x＝－cos2
010x，
|巩固提升| 1．下列函数中，最小正周期为 4π 的是( ) A．y＝sinx B．y＝cosx
C．y＝sin2x D．y＝cos2x
解析：A 项，y＝sinx 的最小正周期为 2π，故 A 项不符合题意； B 项，y＝cosx 的最小正周期为 2π，故 B 项不符合题意；C 项，y ＝sin2x的最小正周期为 T＝2ωπ＝4π，故 C 项符合题意；D 项，y＝cos2x 的最小正周期为 T＝2ωπ＝π，故 D 项不符合题意．故选 C.
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
[化解疑难] 正确理解函数的周期性
(1)关于函数周期性的理解，应注意以下三点： ①存在一个不等于零的常数 T； ②对于定义域内的每一个值，都有 x＋T 属于这个定义域； ③满足 f(x＋T)＝f(x)． (2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其 周期也不一定唯一． (3)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 f(x) 的周期．
(2)法一：因为 f(x)＝|sinx|， 所以 f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，所以 f(x)的周期为 π. 法二：因为函数 y＝|sinx|的图象如图所示． 由图象可知 T＝π.
方法归纳
求函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f(x ＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A， ω，φ 是常数，且 A≠0，ω>0)，可利用 T＝2ωπ来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期， 特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
跟踪训练 1 求下列函数的周期． (1)y＝2sin2x；(2)y＝cos12x＋π6.
解：(1)因为 2sin(2x＋2π)＝2sin2π， 即 2sin2(x＋π)＝2sin2x. 由周期函数的定义，可知原函数的周期为 π. (2)因为 cos21x＋π6＋2π＝cos12x＋π6， 即 cos12x＋4π＋π6＝cos12x＋π6. 由周期函数的定义，可知原函数的周期为 4π.
|自我尝试|
1．下列函数中，周期为π2的是( )
A．y＝sin2x
B．y＝sin2x
C．y＝cos4x
D．y＝cos4x
解析：对于 A，T＝21π＝4π，对于 B，T＝22π＝π，
2
对于 C，T＝21π＝8π，对于 D，T＝24π＝π2.
4
答案：D
2．函数 f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
方法归纳 利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
[注意] 若函数 f(x)的定义域不关于原点对称，无论 f(－x)与 f(x) 有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数．
跟踪训练 2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sinx|＋cosx； (2)f(x)＝ 1－cosx＋ cosx－1.
解：(1)函数的定义域为 R， 又 f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以 f(x)是 偶函数． (2)由 1－cosx≥0 且 cosx－1≥0，得 cosx＝1，从而 x＝2kπ，k∈Z， 此时 f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
【课标要求】 1.了解周期函数与最小正周期的意义. 2.理解三角函数的周期性和奇偶性. 3.会求函数的周期和判断三角函数的奇偶性.
自主学习 基础认识
|新知预习| 1．周期函数
(1)周期函数.
条件
①对于函数 f(x)，存在一个非零常数 T ②当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)
3 2.
答案：
3 2
结论 函数 f(x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期
(2)最小正周期.
条件 周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sinx
y＝cosx
周期 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
【解】 (1)法一：因为 f(x)＝cos2x＋π3 ＝cos2x＋π3＋2π＝cos2x＋π＋π3＝f(x＋π)，即 f(x＋π)＝f(x)， 所以函数 f(x)＝cos2x＋π3的周期 T＝π. 法二：因为 f(x)＝cos2x＋π3，所以 ω＝2.又 T＝|2ωπ|＝22π＝π， 所以函数 f(x)＝cos2x＋π3的周期 T＝π.
f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
3 2.
【答案】 D
方法归纳
三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y ＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶 性，关键是看它能否通过诱导公式转化为 y＝Asinωx(Aω≠0)或 y＝ Acosωx(Aω≠0)其中的一个．
类型二 正、余弦函数的奇偶性问题 [例 2] 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝cos2x＋52π；(2)f(x)＝sin(cosx)．
【解】 (1)函数的定义域为 R. 且 f(x)＝cosπ2＋2x＝－sin2x. 因为 f(－x)＝－sin(－2x)＝sin2x＝－f(x)， 所以函数 f(x)＝cos2x＋52π是奇函数． (2)函数的定义域为 R. 且 f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin(cosx)是偶函数．
解析：由于 x∈R，且 f(－x)＝sinx＝－sin(－x)＝－f(x)，所以 f(x) 为奇函数，故选 A.
答案：A
3．下列函数中是偶函数的是( ) A．y＝sin2x B．y＝－sinx C．y＝sin|x| D．y＝sinx＋1
解析：A、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合 f(－x)＝sin| －x|＝sin|x|＝f(x)，∴y＝sin|x|是偶函数．
答案：C
4．函数 f(x)是以 2 为周期的函数，且 f(2)＝3，则 f(8)＝________.
解析：∵f(x)的周期为 2，∴f(x＋2)＝f(x)， ∴f(8)＝f(2＋3×2)＝f(2)＝3. 答案：3
课堂探究 互动讲练 类型一 正弦、余弦函数的周期问题 [例 1] 求下列函数的周期． (1)f(x)＝cos2x＋π3；(2)f(x)＝|sinx|.
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 [例 3] 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若
f(x)的最小正周期为 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则 f53π等于
()
A．－12
B.12
C．－
3 2
D.
3 2
【解析】 f53π＝f53π－π＝f23π＝
所以为偶函数．
答案：B
3．已知定义在 R 上的偶函数 f(x)是最小正周期为 π 的周期函数， 且当 x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则 f53π的值是________．
解析：由已知，得
f53π＝f53π－2π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
跟踪训练 3 若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不 变，求 f－167π的值．
解析：因为 f(x)的最小正周期是π2， 所以 f－167π＝f－3π＋π6 ＝f－6×π2＋π6＝fπ6＝12
|素养提升| 1．正弦函数、余弦函数周期性的两点释疑 (1)由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期 函数，2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期，最小正周期为 2π. (2)余弦函数也是周期函数，2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期， 最小正周期为 2π. 2．正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正 弦曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称． (2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
2．函数
y＝sin2
0211π－2
010x是(
)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：y＝sin2
0211π－2
010x＝sinπ2－2sinπ2－2
010x＝－cos2
010x，
|巩固提升| 1．下列函数中，最小正周期为 4π 的是( ) A．y＝sinx B．y＝cosx
C．y＝sin2x D．y＝cos2x
解析：A 项，y＝sinx 的最小正周期为 2π，故 A 项不符合题意； B 项，y＝cosx 的最小正周期为 2π，故 B 项不符合题意；C 项，y ＝sin2x的最小正周期为 T＝2ωπ＝4π，故 C 项符合题意；D 项，y＝cos2x 的最小正周期为 T＝2ωπ＝π，故 D 项不符合题意．故选 C.
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
[化解疑难] 正确理解函数的周期性
(1)关于函数周期性的理解，应注意以下三点： ①存在一个不等于零的常数 T； ②对于定义域内的每一个值，都有 x＋T 属于这个定义域； ③满足 f(x＋T)＝f(x)． (2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其 周期也不一定唯一． (3)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 f(x) 的周期．
(2)法一：因为 f(x)＝|sinx|， 所以 f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，所以 f(x)的周期为 π. 法二：因为函数 y＝|sinx|的图象如图所示． 由图象可知 T＝π.
方法归纳
求函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f(x ＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A， ω，φ 是常数，且 A≠0，ω>0)，可利用 T＝2ωπ来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期， 特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
跟踪训练 1 求下列函数的周期． (1)y＝2sin2x；(2)y＝cos12x＋π6.
解：(1)因为 2sin(2x＋2π)＝2sin2π， 即 2sin2(x＋π)＝2sin2x. 由周期函数的定义，可知原函数的周期为 π. (2)因为 cos21x＋π6＋2π＝cos12x＋π6， 即 cos12x＋4π＋π6＝cos12x＋π6. 由周期函数的定义，可知原函数的周期为 4π.
|自我尝试|
1．下列函数中，周期为π2的是( )
A．y＝sin2x
B．y＝sin2x
C．y＝cos4x
D．y＝cos4x
解析：对于 A，T＝21π＝4π，对于 B，T＝22π＝π，
2
对于 C，T＝21π＝8π，对于 D，T＝24π＝π2.
4
答案：D
2．函数 f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
方法归纳 利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
[注意] 若函数 f(x)的定义域不关于原点对称，无论 f(－x)与 f(x) 有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数．
跟踪训练 2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sinx|＋cosx； (2)f(x)＝ 1－cosx＋ cosx－1.
解：(1)函数的定义域为 R， 又 f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以 f(x)是 偶函数． (2)由 1－cosx≥0 且 cosx－1≥0，得 cosx＝1，从而 x＝2kπ，k∈Z， 此时 f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
【课标要求】 1.了解周期函数与最小正周期的意义. 2.理解三角函数的周期性和奇偶性. 3.会求函数的周期和判断三角函数的奇偶性.
自主学习 基础认识
|新知预习| 1．周期函数
(1)周期函数.
条件
①对于函数 f(x)，存在一个非零常数 T ②当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)
3 2.
答案：
3 2
结论 函数 f(x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期
(2)最小正周期.
条件 周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sinx
y＝cosx
周期 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
【解】 (1)法一：因为 f(x)＝cos2x＋π3 ＝cos2x＋π3＋2π＝cos2x＋π＋π3＝f(x＋π)，即 f(x＋π)＝f(x)， 所以函数 f(x)＝cos2x＋π3的周期 T＝π. 法二：因为 f(x)＝cos2x＋π3，所以 ω＝2.又 T＝|2ωπ|＝22π＝π， 所以函数 f(x)＝cos2x＋π3的周期 T＝π.
f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
3 2.
【答案】 D
方法归纳
三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y ＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶 性，关键是看它能否通过诱导公式转化为 y＝Asinωx(Aω≠0)或 y＝ Acosωx(Aω≠0)其中的一个．
类型二 正、余弦函数的奇偶性问题 [例 2] 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝cos2x＋52π；(2)f(x)＝sin(cosx)．
【解】 (1)函数的定义域为 R. 且 f(x)＝cosπ2＋2x＝－sin2x. 因为 f(－x)＝－sin(－2x)＝sin2x＝－f(x)， 所以函数 f(x)＝cos2x＋52π是奇函数． (2)函数的定义域为 R. 且 f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin(cosx)是偶函数．
解析：由于 x∈R，且 f(－x)＝sinx＝－sin(－x)＝－f(x)，所以 f(x) 为奇函数，故选 A.
答案：A
3．下列函数中是偶函数的是( ) A．y＝sin2x B．y＝－sinx C．y＝sin|x| D．y＝sinx＋1
解析：A、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合 f(－x)＝sin| －x|＝sin|x|＝f(x)，∴y＝sin|x|是偶函数．
答案：C
4．函数 f(x)是以 2 为周期的函数，且 f(2)＝3，则 f(8)＝________.
解析：∵f(x)的周期为 2，∴f(x＋2)＝f(x)， ∴f(8)＝f(2＋3×2)＝f(2)＝3. 答案：3
课堂探究 互动讲练 类型一 正弦、余弦函数的周期问题 [例 1] 求下列函数的周期． (1)f(x)＝cos2x＋π3；(2)f(x)＝|sinx|.
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 [例 3] 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若
f(x)的最小正周期为 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则 f53π等于
()
A．－12
B.12
C．－
3 2
D.
3 2
【解析】 f53π＝f53π－π＝f23π＝
所以为偶函数．
答案：B
3．已知定义在 R 上的偶函数 f(x)是最小正周期为 π 的周期函数， 且当 x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则 f53π的值是________．
解析：由已知，得
f53π＝f53π－2π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
跟踪训练 3 若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不 变，求 f－167π的值．
解析：因为 f(x)的最小正周期是π2， 所以 f－167π＝f－3π＋π6 ＝f－6×π2＋π6＝fπ6＝12
|素养提升| 1．正弦函数、余弦函数周期性的两点释疑 (1)由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期 函数，2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期，最小正周期为 2π. (2)余弦函数也是周期函数，2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期， 最小正周期为 2π. 2．正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正 弦曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称． (2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．