2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学检测试题(含解析)

注意事项：
1.全卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定位置上贴好条形码.
3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
4.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液、不按以上要求作答无效.
5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只将答题卡交回.
一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学
检测试题)
1. 角25π
12终边所在的象限是（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A 【解析】
【分析】找到(0,2π)内和25π
12
终边相同的角，即可判断.【详解】因为25ππ
2π1212
=+，且角
π
12
是第一象限角，所以角
25π
12
的终边所在的象限是第一象限.故选：A.
2. PM PN MN -+u u u u r u u u r u u u u r
等于（ ）
A. MP
B. NP
C. 0
D. MN
【答案】C 【解析】
【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果.【详解】0PM PN MN NM MN -+=+=
,故选：C
3. 平面向量,a b 满足1b a b =⋅= ，则a
在b 方向上的投影向量为（ ）
A. 12
b
-
B. 12
b r C. b
-
D. b
【答案】D 【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】依题意，a
在b 方向上的投影向量为2||
a b b b b ⋅=
.
故选：D
4. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，则“π
2
ϕ=是函数()f x 为偶函数”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合余弦函数的奇偶性即可得解.【详解】当π2ϕ=
时，()()πsin cos 2f x x x ωω⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭，故函数()f x 为偶函数，即充分性成立；
当()()sin f x x ωϕ=+为偶函数时，ππ,Z 2k k ϕ∈=+，此时π
2
ϕ=不一定成立，即必要性不成立；所以“π
2
ϕ=是函数()f x 为偶函数”的充分不必要条件.故选：A.
5. 已知a
和b 的夹角为150︒
()
2a b b +⋅= （ ）
A. 9-
B. 3-
C. 3
D. 9
【答案】C 【解析】
【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】()
222a b b a b b +⋅=⋅+
2cos1502a b b
=⋅⋅︒+
2
223
⎛=+⋅
= ⎝故选：C 6. 已知π12sin 313α⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则πcos 6α⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ）A.
5
12 B.
1213
C. 513
-
D. 1213
-
【答案】B 【解析】
【详解】因为π12sin 313
α⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，所以ππππ12cos sin sin 626
313ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=--=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选B ．7. 已知ππ1,,sin cos 225ααα⎡⎤
∈-+=-⎢⎥⎣⎦
，则tan α=（ ）
A. 4
3-
B. 34
-
C.
34
D.
43
【答案】A 【解析】
【分析】通过求出sin ,cos αα的值，即可得出结论.【详解】由题意，
ππ1
,,sin cos 225ααα⎡⎤∈-+=-⎢⎥⎣⎦
，
∴cos 0,sin 0αα><，
()
2
221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 25
αααααααα+=++=+=
，解得：242sin cos 25
αα=-
，
∴
7
sin cos
5
αα
-===-，
∴解得：
4
sin
5
3
cos
5
α
α
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴
sin
tan
s
4
3
co
α
α
α
==-，
故选：A.
8. 将函数3sin
6
y x
π
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
的图象向右平移(0)
ϕϕπ
<<个单位长度后得到()
f x的图象.若()
f x在
5
,
66
ππ
⎛⎫
⎪
⎝⎭
上单调递增，则ϕ的取值范围为（）
A. ,
32
ππ
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
B. ,
62
ππ
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C.
2
,
33
ππ
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
D.
23
2
,
ππ
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移法则写出f(x)的函数解析式，根据单调性，结合正弦函数的性质写出关于ϕ的不等式组，求解即得.
【详解】()3sin
6
f x x
π
ϕ
⎛⎫
=--
⎪
⎝⎭
，
当
5
66
x
ππ
<<时，
2
63
x
ππ
ϕϕϕ
-<--<-，
由0ϕπ
<<，有(,0)
ϕπ
-∈-，
22
,
333
πππ
ϕ⎛⎫
-∈- ⎪
⎝⎭
，
有
2
2
32
π
ϕ
ππ
ϕ
⎧
-≥-
⎪⎪
⎨
⎪-≤
⎪⎩
，得
62
ππ
ϕ
≤≤.
故选：B
二、多项选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9. 下列关于函数sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的说法正确的是（ ）A. 在区间5,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增B. 最小正周期是πC. 图象关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称D. 图象关于直线512
x π
=-对称【答案】ABD 【解析】【分析】将23
x π
+看成一个整体，直接代入sin y x =的单调区间和对称轴方程来求解.最小正周期则根据
定义求即可.
【详解】由sin y x =的递增区间可知，sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的递增区间为222,232k x k k πππ
-
+π≤+≤+π∈Z ，则522,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又 5,1212ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
在此区间上，所以A 对.
222
T w ππ
π=
==，B 对.由sin y x =关于垂直于x 轴的直线对称可知，sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭关于2,32πππ+=+∈x k k Z 对称，
,12
x k k Z π
π=
+∈，12
x π
=
、512
x π
=-
在此集合里，故C 错、D 对.故选：ABD.
10. [多项选择题]函数1sin y x =+,,26x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
的图像与直线y t =(t 为常数)的交点可能有
A 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【答案】ABC 【解析】
【分析】作出函数1sin y x =+,,26x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
的图像和直线y t =,观察交点即可..
【详解】解析:在同一平面直角坐标系中,作出函数1sin y x =+,,26x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
的图像和直线y t =,如图所示.
由图可知,当2t >或0t <时,交点个数0;当01t <<或
3
22t <<时,交点个数为2;当0t =或312
t ≤≤或2t =时,交点个数为1.
综上,交点个数可能为0,1,2.故选：ABC.
【点睛】本题考查正弦函数的图像，是基础题.
11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）
A. OA OD ⋅=
B. OA OE
=
C. OA OH OD OE
⋅=⋅
D. OG OB
= 【答案】ACD 【解析】
【分析】根据平面向量数量积的定义求解.【详解】由正八边形几何性质知：每个中心角为
2ππ84
=，1OA OB OC OD OE OF OG OH ========，D
正确；
为的
πcos 34OA OD OA OD ⎛⎫
∴=⨯= ⎪⎝⎭ A 正确；OA 与OE
是方向相反的向量，B 错误；
ππππcos cos ,cos cos ,4444
OA OH OA OH OD OE OD OE OA OH OD OE =====
，C 正确；
故选：ACD.
三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上)
12. 已知角α
的终边上一点P x （
，且cos α=，则x =___________.
【答案】【解析】
【分析】根据任意角的三角函数的定义求解.
【详解】因为cos α=
=，所以25x =
，解得x =，
又因为cos 0α=<，所以0x <，
所以x =故答案为
: .
13. 函数π
sin()(0,0,||2
y A x A ωϕωϕ=+>><
的部分图象如图所示，则y =________．【答案】πsin(2)3
x +【解析】
【分析】首先得1A =，πT =，2ω=，进一步结合函数的对称中心即可列方程求得ϕ，由此即可得解.【详解】由图象可得1A =，37ππ9π3π4126124
T =
+==，πT =，2ω=，则()sin 2y x ϕ=+
，
当π6x =-时，0y =，所以ππ,Z 3
k k ϕ-+=∈，且π||2ϕ<，
∴π3
ϕ=
，π
sin(23y x =+．
故答案为：π
sin(23
x +.
14. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以C 为圆心，1为半径的圆分别交,CD BC 于点,E F ．当点P
在圆C 上运动时，⋅
BP DP 的最大值为______．
【答案】1+
##1+【解析】
【分析】以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P
θθ，利用向量数量积坐标运算和三角恒等
变换知识可化简得到π14BP DP θ⎛
⎫⋅=++ ⎪⎝
⎭ ，结合正弦型函数最值可求得结果.
【详解】以点C 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，
则()0,2B -，()2,0D -，
设()cos ,sin P θθ，θ∈R ，则()cos 2,sin DP θθ=+ ，()cos ,sin 2BP θθ=+
，
则()(
)πcos cos 2sin sin 214BP DP θθθθθ⎛
⎫⋅=+++=++ ⎪⎝⎭ ，
则当πsin 14θ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时，即
π2π,Z 4k k θ=+∈，⋅ BP DP
取得最大值1+.
故答案为：1+
.
四、解答题：(本题共5小题，共77分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 已知,αβ都是锐角，33
cos ,sin()54
ααβ=
-=，求cos β的值.
【答案】35+【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系可得4sin 5α=
，(
)cos αβ-=再由()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦，利用两角差的余弦公式展开即可求解.
【详解】因为α、β都是锐角，3cos ,5α=
所以4
sin 5
α=，3sin()4αβ-=
，且ππ22αβ-<-<，所以(
)cos αβ-=，所以()()()
cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣
⎦34335545=+⨯=+
.16. 已知3
sin 5
α=
，且α为第二象限角.（1）求cos α，tan α的值；
（2）求()()()sin 2πcos 3ππsin sin π2αααα-++⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
的值.【答案】（1）4cos 5
α=-；3
tan 4α=-
（2）1
7
-
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，求cos α和tan α的值；（2）用诱导公式化简原式，再利用（1）中的三角函数值计算.【小问1详解】
因3
sin 5
α=
，且α为第二象限角，所以4cos 5α==-，sin 3tan cos 4
ααα=
=-.为
【小问2详解】
()()()
34sin 2πcos 3πsin cos 15543πcos sin 7sin sin π552αααααααα⎛⎫--- ⎪
-++--⎝⎭
===--⎛⎫----- ⎪⎝⎭.
17. 设,a b
是不共线的两个非零向量．
（1）若42,62,26OA a b OB a b OC a b =-=+=-
，求证：,,A B C 三点共线；
（2）已知||5,||4,,a b a b ==
的夹角为3
π
，问当k 为何值时，向量ka b -
与3a b +r
r
垂直？
【答案】（1）证明见解析 （2）58
55
k =【解析】
【分析】（1）根据已知条件结合向量加减法求出AB 、BC
，进而得出//AB BC 即可得证.
（2）先求出a b
，根据向量垂直得()(3)0ka b a b -+= ，再结合向量运算法则计算即可得解.
【小问1详解】
因为42,62,26OA a b OB a b OC a b =-=+=-
，
所以62(42)24AB OB OA a b a b a b =-=+--=+
，
26(62)482(24)2,
BC OC OB a b a b a b a b AB =-=--+=--=-+=-
所以//AB BC ，又AB 与BC
有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线.【小问2详解】
由||5,||4,,3a b a b π=== 得1cos ,54102a b a b a b ==⨯⨯=
，
因为向量ka b - 与3a b +r r 垂直，
所以22()(3)330ka b a b ka a b ka b b -+=-+-=
，即22510310340k k -+⨯-⨯=，整理得55580k -=⇒5855
k =
.18. 已知向量(cos sin ),(cos sin ,2cos )m x x x n x x x =+=- ，函数()g x m n =⋅
.
（1）求()g x 的单调递增区间；
（2）若函数()()f x g x a =-在区间π
[0,]2
上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）ππ[π,πZ)36
k k k -+∈ （2）[1,2)
a ∈【解析】
【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求单调区间；
（2）由题意转化为y a =与函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.
【小问1
详解】
22()cos sin cos g x m n x x x x =⋅=-+
πcos 222sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，令πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，得ππππ36
k x k -+≤≤+，()g x ∴的单调递增区间为ππ[π,πZ)36
k k k -+∈；小问2详解】
由题知()g x a =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恰有两个不同的实数根，即函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的图象与直线y a =恰有两个交点， 令πππ7π2,0,,,6266u x x u ⎡⎤⎡⎤=+∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，作出π7π2sin ,66y u u ⎛
⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的图象与直线y a =，如图.由图知，当12a ≤<时，π7π2sin ,66y u u ⎛
⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的图象与直线y a =有两个交点，∴实数a 的取值范围为[1,2).
19. 如图，已知直线//m n ．ED 垂直于直线m 、n ，4ED =．点A 是ED 的中点，B 是n 上一动点，作AC AB ⊥，且使AC 与直线m 交于C ，设ABD α∠=．
【
（1）写出ABC V 的周长l 关于角α的函数解析式()l α；
（2）求()l α的最小值．
【答案】（1）()()2sin cos 2sin cos l ααααα++=
，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）)
41+.【解析】
【分析】（1）将AB 、AC 用α的代数式加以表示，利用勾股定理求得BC ，进而可得出()l α，并求出该函数的定义域；
（2）设(
sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，化简得出()41l t α=-，结合t 的取值范围可得出函数()l α的最小值.
【详解】（1）因为2BAC π
∠=，故2CAE BAD π
α∠=-∠=，
A 为DE 的中点，则2AD AE ==，所以，2cos cos AE AC αα==，2sin sin AD A
B αα==，
所以，2sin cos BC αα
===，所以，()()2sin cos 2222sin cos sin cos sin cos l ααααααααα++=++=，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
；
（2）设sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，
0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，则3444πππα<+<，所以，(
4t πα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且有()22sin cos 12sin cos t αααα=+=+，则21sin cos 2
t αα-=，
所以，()(
))221441112t l t t α+==≥=--，当且仅当4πα=时，()l α
取得最小值)41+.。