2018-2019学年江西省九江市修水县高二(下)期末数学试卷(理科)(附答案详解)

2018-2019学年江西省九江市修水县高二（下）期末数学
试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数2
1−i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )
A. 1+i
B. 1−i
C. −1+i
D. −1−i
2. 一个口袋内有5张券，其中三张有奖，甲先抽一张没有中奖的条件下乙抽一张中奖
的概率( )
A. 0.75
B. 0.5
C. 0.3
D. 0.2
3. 函数f(x)=2x 2−lnx 的递增区间是( )
A. (0,1
2) B. (−12,0)和(1
2,+∞) C. (1
2,+∞)
D. (−∞,−1
2)和(0,1
2)
4. 小明在鞋柜里放了三双鞋，若随机从中拿出两只鞋，则恰好成双的概率是( )
A. 1
5
B. 2
5
C. 3
5
D. 4
5
5. 随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n,p)，且Eξ=30，Dξ=20，则p 等于( )
A. 2
3
B. 1
3
C. 1
D. 0
6. 停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空
车位连在一起，则不同的停车方法有( )
A. A 95种
B. 2A 55A 44
种 C. 5A 55种 D. A 66种
7. 若(2x −1√x
23
)n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1
x
3的系数是( ) A. 14 B. −14 C. 7 D. −7
8. 已知过点P 作曲线y =x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( )
A. (0,1)
B. (0,0)
C. (1,1)
D. (−2,−1)
9. 某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布N(84,σ2)，
且P(78<X ≤84)=0.3.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为( )
A. 60
B. 80
C. 100
D. 120
10. 已知定义在[m,n]上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大
致图象如图所示，则下列叙述正确的是个数为( )
①函数f(x)的值域为[f(d),f(n)]；
②函数f(x)在[a,b]上递增，在[b,d]上递减；
③f(x)的极大值点为x=c，极小值点为x=e；
④f(x)有两个零点．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
11.甲、乙、丙、丁四名同学在回忆同一个函数，甲说：“我记得该函数定义域为R，
还是奇函数”.乙说：“我记得该函数为偶函数，值域不是R”.丙说：“我记得该函数定义域为R，还是单调函数”.丁说：“我记得该函数的图象有对称轴，值域是R”.若每个人的话都只对了一半，则下列函数中不可能是该函数的是()
) B. f(x)=(x−1)2
A. f(x)=sin(2x+π
6
) D. f(x)=2x
C. f(x)=cos(2x+π
6
12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x)，若对任意的正实数x，都
有xf′(x)+2f(x)>0恒成立，且f(√3)=1，则使x2f(x)<3成立的实数x的集合为()
A. (−∞,−√3)∪(√3,+∞)
B. (−√3,√3)
C. (−∞,−√3)
D. (√3,+∞)
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
)8的展开式中常数项为______．
13.(√x+1
2√x
14.曲线y=ae x+2的切线方程为2x−y+6=0，则实数a的值为______．
15.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点
P恰好取自阴影部分(由对角线OB及函数y=x3围成)的概率
为______ ．
16.已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个
数中取两个较大的数，按上述规则再扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，若p>q>0，对数p和数q经过10次操作后，扩充所得的数为(p+1)m(q+1)n−1，其中m，n是正整数，则m+n的值是______
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾
中学任教．
(1)若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？
(2)一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？
18. 某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2018年上半年每个月的20日的昼夜温差(x°C,x ≥
3)和患感冒的小朋友人数(y/人)的数据如下：
其中∑x i 6i=1=54.9，∑(6i=1x i −x −
)(y i −y −
)=94，√∑(6i=1x i −x −
)2=6，
(Ⅰ)请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；
(Ⅱ)建立y 关于x 的回归方程(精确到0.01)，预测当昼夜温差升高4°C 时患感冒的小朋友的人数会有什么变化？(人数精确到整数) 参考数据：√7≈2.646． 参考公式：相关系数：r =
n i=1i −i −
√∑(i=1x i −x −
)2∑(i=1y i −y −
)
2，回归直线方程是y
̂=a +bx ，b =∑(n i=1x i −x −
)(y i −y −
)
∑(n i=1x i −x −)
2,a ̂=y −−b ̂⋅x −
19.已知函数f(x)=x+axlnx
，x>1．
lnx
(1)若a=2，求函数f(x)的极小值；
(2)若f(x)在(1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
20.某学校为了推进素质教育，因材施教，提高课堂教学及学生学习效率，特将高一入
学的前80名均分设立第一层次的两个零级班零甲班和零乙班，现以一次考试的数学成绩为样本，并规定成绩数据落在[120,150]之内的数据为优秀，否则为不够优秀，考试成绩数据如表所示：
(1)若从零甲的数学考试成绩中，依次有放回的随机抽查5个数据，设抽到优秀成
绩的次数为ξ，求ξ的分布列与数学期望及方差；(以频率作为概率)
(2)由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为抽取的数据为
优秀成绩与对两个班级的选择有关？
附：K 2
=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．
21. 已知函数f(x)=e x −ax ，(a ∈R)，g(x)=sinx
2+cosx ．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若g(x)≤kx 在x ∈[0,+∞)恒成立，求k 的取值范围； (Ⅲ)当a =1，x ≥0时，证明：(2+cosx)f′(x)≥3sinx ．
22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+√2
2t
y =2+√2
2t
(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，
圆C的方程为ρ=6sinθ．
(Ⅰ)求直角坐标下圆C的标准方程；
(Ⅱ)若点P(1,2)，设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的值．
23.已知函数f(x)=|x−1|−2|x+1|的最大值为m．
(1)求m；
(2)若a，b，c∈(0,+∞)，a2+2b2+c2=2m，求ab+bc的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．
化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．
【解答】
解：化简可得z=2
1−i
=2(1+i)
(1−i)(1+i)
=1+i，
∴z的共轭复数z−=1−i，
故选：B．
2.【答案】A
【解析】解：由题意，甲先抽一张没有中奖，则口袋内剩余4张券，其中三张有奖，
则乙中奖的概率为3
4
=0.75．
故选：A．
甲先抽一张没有中奖，则口袋内剩余4张券，其中三张有奖，再根据概率公式求解即可．本题考查了概率的计算，解题的关键是掌握古典概型的概率公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：函数的定义域为(0,+∞)，
∴f′(x)=4x−1
x =4x2−1
x
=(2x+1)(2x−1)
x
，
由f′(x)=(2x+1)(2x−1)
x
>0，
解得x>1
2
，
故函数f(x)=2x2−lnx的递增区间是(1
2
,+∞)故选：C．
利用导数判断函数的单调性求得单调区间即可． 本题考查利用导数求函数的单调区间知识，属基础题．
4.【答案】A
【解析】解：鞋柜里有3双不同的鞋，
基本事件总数n =C 62
=15，
恰好成双包含的基本事件个数m =C 32=3，
∴恰好成双的概率为P =m n
=
315=1
5
．
故选：A ．
先求出基本事件总数和恰好成双包含的基本事件个数，由此能求出恰好成双的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n,p)，且Eξ=30，Dξ=20， 所以{Eξ=np =30Dξ=np(1−p)=20，解得p =1
3．
故选：B ．
利用二项分布的期望和方差的计算公式列出方程组，求解即可．
本题考查了二项分布的理解应用，解题的关键是掌握二项分布的期望和方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意知有5辆汽车需要停放，若要使4个空位连在一起 则可以把4个空车位看成是一个元素，
这个元素与另外5辆车共有6个元素进行全排列，共有A 66种结果， 故选：D ．
有5辆汽车需要停放，根据题意可以把4个空车位看成是一个元素，即可得到结果 本题考查排列数的实际应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为(2x √x 2
3)n 的展开式中二项式系数之和为128，
所以2n =128， 所以n =7， 则二项式(2x √x 2
37的展开式的通项为T r+1=C 7r (2x)7−r √x
23r =(−1)r 27−r C 7r x 21−5r
3
，
令
21−5r 3
=−3，
解得r =6，
即则展开式中1
x 3的系数是2C 76
=14，
故选：A ．
由二项式定理及展开式通项公式得：因为2n =128，所以n =7，则展开式的通项为T r+1=
C 7r
(2x)7−r √x
23)r
=
(−1)r 27−r C 7r
x
21−5r
3
，令
21−5r 3
=−3，解得r =6，即则展开
式中1
x 3的系数是2C 76
=14，得解．
本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由y =x 3，得y′=3x 2， 设切点为(m,m 3)，得切线的斜率为3m 2， 切线的方程为y −m 3=3m 2(x −m)，
若P(0,0)，则−m 3=3m 2(0−m)，解得m =0，只有一解； 若P(0,1)，则1−m 3=3m 2(0−m)，可得m 3=−1
2，只有一解； 若P(1,1)，则1−m 3=3m 2(1−m)，可得2m 3−3m 2+1=0， 即为(m −1)2(2m +1)=0，解得m =1或m =−12，有两解；
若P(−2,−1)，则−1−m 3=3m 2(−2−m)，可得2m 3+6m 2−1=0， 由f(m)=2m 3+6m 2−1，得f′(m)=6m 2+12m ，
当−2<m <0时，f(m)递减；当m >0或m <−2时，f(m)递增． 可得f(0)=−1为极小值，f(−2)=7为极大值， 则2m 3+6m 2−1=0有3个不等实数解．
∴点P的坐标可能是P(1,1)．
故选：C．
求出函数的导数，设切点为(m,m3)，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义，正确求导是关键，注意运用排除法，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的性质，属于基础题．
根据正态分布的对称性求出P(X≥90)，乘以400得答案．
【解答】
解：∵X近似服从正态分布N(84,σ2)，P(78<X≤84)=0.3，
(1−2×0.3)=0.2，
∴P(X≥90)=1
2
∴该校数学成绩不低于90分的人数为400×0.2=80．
故选B．
10.【答案】B
【解析】解：定义在[m,n]上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，
则x∈(m,c)时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；x∈(c,e)时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减；x∈(e,n)时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．
可得：c是函数f(x)的极大值点；e是函数f(x)的极小值点．
∴①函数f(x)的值域为[f(d),f(n)]，不正确，无法比较f(m)与f(e)哪一个小；f(c)与f(n)哪一个大．
②函数f(x)在[a,b]上递增，正确；但是在[b,d]上不具有单调性，因此不正确；
③f(x)的极大值点为x=c，极小值点为x=e，正确；
④无法确定f(x)零点的个数．
综上只有一个正确．
故选：B．
定义在[m,n]上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，可得x∈(m,c)时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；x∈(c,e)时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减；x∈(e,n)时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．可得：c是函数f(x)的极大值点；e 是函数f(x)的极小值点．进而判断出正误．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】D
)定义域是R，是非奇非偶函数，值域不是R，【解析】解：在A中，f(x)=sin(2x+π
6
不是单调函数，图象有对称轴，满足条件；
在B中，f(x)=(x−1)2定义域是R，是非奇非偶函数，值域是[0,+∞)，不是单调函数，图象有对称轴，满足条件；
)定义域是R，是非奇非偶函数，值域不是R，不是单调函数，在C中，f(x)=cos(2x+π
6
图象有对称轴，满足条件；
在D中，f(x)=2x定义域是R，是非奇非偶函数，值域是(0,+∞)，是单调递增函数，没有对称轴，不满足条件．
故选：D．
利用函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、对称轴直接求解．
本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．
12.【答案】B
【解析】解：令ℎ(x)=x2f(x)，
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以ℎ(−x)=x2f(−x)=x2f(x)，
所以函数ℎ(x)为偶函数，
当x>0时，ℎ′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x(2f(x)+xf′(x))>0，
所以ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，
则ℎ(x)在(−∞,0)上为减函数．
因为f(√3)=1，所以ℎ(√3)=3f(√3)=3，
所以x2f(x)<3等价于ℎ(x)<ℎ(√3)，
所以|x|<√3，解得−√3<x<√3，
即使x2f(x)<3成立的实数x的集合为(−√3,√3).
故选：B．
构造函数ℎ(x)=x2f(x)，利用函数ℎ(x)的奇偶性、单调性来解不等式．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造函数ℎ(x)=x2f(x)是解题的关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】35
8
【解析】解：展开式的通项为T r+1=C8r(√x)8−r(
2√x )r=C8r×(1
2
)r×x4−r
令4−r=0，则r=4，
∴(√x
2√x )8的展开式中常数项为C84×(1
2
)4=35
8
故答案为：35
8
先求出展开式的通项，令x的指数为0，即可求得展开式中常数项．
本题考查二项展开式，考查展开式中的特殊项，考查学生的计算那可，属于基础题．14.【答案】2
【解析】解：根据题意，曲线y=ae x+2，设曲线y=ae x+2与2x−y+6=0的切点的坐标为(m,ae m+2)，
曲线y=ae x+2，其导数y′=ae x+2，则切线的斜率k=ae m+2，
又由切线方程为2x−y+6=0，即y=2x+6，则k=ae m+2=2，
则切线的方程为y−ae m+2=ae m+2(x−m)，
又由ae m+2=2，则切线方程为y−2=2(x−m)，即y=2x−2m+2，
则有−2m+2=6，解可得：m=−2，
则切点的坐标为(−2,2)，
则有2=a×e(−2)+2，
则有a=2；
故答案为：2．
根据题意，设直线与曲线的切点坐标为(m,ae m+2)，利用导数求出切线的方程，与2x−y+6=0比较分析可得ae m+2=2且−2m+2=6，解可得：m=−2，即可得切点的坐标，将切点坐标代入曲线方程，分析可得答案．
本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是求出切点的坐标．
15.【答案】1
4
【解析】解：根据题意，正方形OABC的边长为1，则其面积S=1，
阴影部分的面积S′=∫(1
0x−x3)dx=(1
2
x2−1
4
x4)|01=1
4
，
则点P恰好取自阴影部分的概率P=1
4
，
故答案为：1
4
．
根据题意，先求出正方形OABC的面积，再利用定积分求出阴影部分的面积，由几何概型公式计算可得答案．
本题考查几何概型，涉及定积分的应用，属于基础题．
16.【答案】144
【解析】解：根据题意，因为p>q>0，所以第一次得：c1=pq+p+q=(q+1)(p+ 1)−1，
因为c>p>q，所以第二次得：c2=(c1+1)(p+1)−1=(pq+p+q)p+p+(pq+ p+q)=(p+1)2(q+1)−1，
所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=(c2+1)(c1+1)−1=(p+1)3(q+ 1)2−1，
第四次可得：c4=(c3+1)(c2+1)−1=(p+1)5(q+1)3−1，
……
故经过10次扩充，所得数为：(q+1)55(p+1)89−1，
又由经过10次操作后扩充所得的数为(q+1)m(p+1)n−1(m,n为正整数)，
所以m=55，n=89，
所以m+n=144；
故答案为：144．
根据题意，依此类推前几次得到的新数，归纳可得经过10次扩充后所得数为：(q +1)55(p +1)89−1，故可得结论．
本题考查归纳推理的应用，关键是归纳得到的新数的规律，属于基础题．
17.【答案】解：(1)根据题意，分3步进行分析：
①在7人中选出4人，将其分到育才中学，有C 7
4
=35种选法； ②在剩余3人中选出2人，将其分到星云中学，有C 3
2
=3种选法； ③将剩下的1人分到明月湾中学，有1种情况， 则一共有35×3=105种分配方案； (2)根据题意，分2步进行分析：
①将7人分成3组，人数依次为4、2、1，有C 7
4×C 32×C 11
=105种分组方法， ②将分好的三组全排列，对应3个学校，有A 33=6种情况， 则一共有105×6=630种分配方案．
【解析】(1)根据题意，分3步进行：①在7人中选出4人，将其分到甲学校，②在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，③将剩下的1人分到丙学校，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
(2)分2步进行：①将7人分成3组，人数依次为4、2、1，②将分好的三组全排列，对应3个学校，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合和计数原理的综合问题，考查了分类讨论思想，属基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)y −
=1
6(8+11+14+20+23+26)=17，
∑(6i=1y i −y −
)2=(8−17)2+(11−17)2+(14−17)2+(20−17)2+(23−17)2+
(26−17)2=252． 故r =
n i=1i −
i −
√∑(i=1x i −x −
)2∑(i=1y i −y −
)
2=
6×6√7
≈0.99．
∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系； (Ⅱ)x −
=1
6×
∑x i
6i=1=
54.96
=9.15，b
̂=∑(6i=1x i −x −)(y i −y −
)
∑(6i=1x i −x −
)
2=94
36=2.61，
a
̂=17−2.61×9.15≈−6.88， ∴y 关于x 的回归方程为y
̂=2.61x −6.88． 当x =4时，△y =2.61×4≈10．
预测当昼夜温差升高4°C时患感冒的小朋友的人数会增加10人．
【解析】(Ⅰ)利用已知数据结合相关系数公式求得r，由r值接近1可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系；
(Ⅱ)利用已知数据结合公式求得b̂与â的最值，可得线性回归直线方程，取x=4，可预测当昼夜温差升高4°C时患感冒的小朋友的人数．
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x
lnx +2x，则f′(x)=lnx−1+2ln2x
ln2x
=(lnx+1)(2lnx−1)
ln2x
，
当1<x<√e时，f′(x)<0，当x>√e时，f′(x)>0，∴f(x)的极小值为f(√e)=4√e．
(2)函数f(x)=x
lnx
+ax，x>1，
则f′(x)=lnx−1
ln2x
+a，
由题意可得f′(x)≤0在(1,+∞)上恒成立，
∴a≤1
ln2x −1
lnx
=(1
lnx
−1
2
)2−1
4
，x∈(1,+∞)，
∴a≤−1
4
．
【解析】(1)当a=2时，f(x)=x
lnx
+2x，利用导数研究函数的单调性即可得出极小值点，进而得出极小值．
(2)函数f(x)=x
lnx
+ax，x>1，由题意可得f′(x)≤0在(1,+∞)上恒成立，分离参数，利用二次函数的单调性即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意可得，零甲班的优秀成绩数据为16+8+4=28，
故零甲班中优秀成绩数据的频率为28
40=7
10
；
由题意知，ξ～B(5,7
10
)，所以ξ的分布列为：
则ξ的数学期望为Eξ=5×7
10=7
2， ξ的方差为Dξ=5×7
10×1
10=7
20；
(2)零甲班的优秀成绩数据为28，零乙班的优秀成绩数据为26，2×2列联表如下：
所以由表中数据得K 2的观测值K 2=80×(28×14−26×12)2
40×40×54×26
≈0.228≪2.706，
故无法认定学生成绩是否优秀与班级的选择有关．
【解析】(1)求出零甲班中优秀成绩数据的频率，然后由ξ～B(5,7
10)，得到分布列，求解数学期望和方差即可；
(2)列出2×2列联表，然后求出K 2的预测值，对照临界值表求解即可．
本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，独立性检验的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(I)由函数f(x)=e x −ax ，知：f′(x)=e x −a ．
(1)当a ≤0时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在定义域R 上单调递增． (2)当a >0时，令f′(x)=0，解得x =lna ， 则x ，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
∴f(x)的单调减区间为(−∞,lna)，单调增区间为(lna,+∞)． (II)(1)当x =0时，原不等式化为0≤0恒成立，可知k ∈R ． (2)当x >0时，则k ≥g(x)x
，令ℎ(x)=
g(x)x
=sinx
x(2+cosx)， 则ℎ′(x)=
cosx⋅x(2+cosx)−sinx(2+cosx+x(−sinx))
x 2(2+cosx)2
=
2xcosx−2sinx−sinxcosx+x
x 2(2+cosx)2
，
令φ(x)=2xcosx −2sinx −sinxcosx +x ，则φ(x)=2sinx(sinx −x)， 当x ∈(0,π)时，0<sinx <x ，则φ′(x)<0， ∴φ(x)在(0,π)上单调递减，∴φ(x)<φ(0)=0， 即ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(0,π)上单调递减，
∵x →0lim
ℎ(x)=x →0lim
sinx
x(2+cosx)=x →0lim
cosx
2+cosx−xsinx =1
3， ∴ℎ(x)≤1
3，∴k ≥1
3， 当x ∈[π,+∞)时，ℎ(x)=g(x)x
=sinx x(2+cosx)≤1x ≤1π<13，∴k ≥1
3
，
综上所述：k ≥1
3．
证明：(III)(1)当a =1时，f(x)=e x −x ，则f′(x)=e x −1， 由(II)可得x ≥0时，sinx
2+cosx ≤1
3x ，∴3sinx
2+cosx ≤x ， 则只需证明：f′(x)=e x −1>x 成立， 令F(x)=e x −x −1，
当x >0时，F′(x)=e x −1>0，
∴F(x)在[0,+∞)上单调递增，∴F(x)≥F(0)=0， ∴e x −1≥x ，∴3sinx
2+cosx ≤x ≤e x −1， ∴(2+cosx)f′(x)≥3sinx ．
【解析】(I)求导后，当a ≤0时，f′(x)≥0恒成立，可知f(x)单调递增；当a >0时，求出f′(x)=0的解，从而可判断出f′(x)的符号，从而得到f(x)的单调区间； (II)当x =0时，可知k ∈R ；当x >0时，k ≥g(x)x
，利用导数求解出x ∈(0,π)，使
g(x)x
的
最大值，从而k ≥[
g(x)x
]max =1
3；当x ∈[π,+∞)时，g(x)
x =sinx
x(2+cosx)≤1
x ≤1
π<1
3，可得k ≥1
3，
综合上述结果，可求得k ≥1
3；
(III)由(II)可知只需证得e x −1>x 在[0,+∞)上恒成立即可；构造函数F(x)=e x −x −1，利用导数可证得结果，从而原不等式成立．
本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数解决恒成立问题、不等式证明问题．解决恒成立问题的常用方法为分离变量的方式，通过参数与新函数的最值之间的关系求得结果．证明不等式时，通常将所证不等式进行转化，通过构造函数变成函数单调性和最值的求解问题．
22.【答案】解：(Ⅰ)圆C 的方程为
，即，
利用互化公式可得直角坐标方程：x 2+y 2=6y ， 配方得圆C 的标准方程为x 2+(y −3)2=9； (Ⅱ)直线l 的参数方程为{x =1+√2
2
t
y =2+√2
2t
(t 为参数)，
代入圆的方程可得：t 2−7=0，解得t 1=√7，t 2=−√7， ∴|PA|+|PB|=|t 1−t 2|=2√7．
【解析】本题考查了直线的参数方程及其应用、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (Ⅰ)圆C 的方程为，即，利用互化公式可得直角坐标方程，配方
可得标准方程；
(Ⅱ)直线l 的参数方程为{x =1+√2
2
t
y =2+√2
2t (t 为参数)，代入圆的方程可得：t 2−7=0，解得
t 1，t 2，利用|PA|+|PB|=|t 1−t 2|，即可得出．
23.【答案】解：(1)当x ≤−1时，f(x)=3+x ≤2；
当−1<x <1时，f(x)=−1−3x <2； 当x ≥1时，f(x)=−x −3≤−4．
故当x =−1时，f(x)取得最大值2，即m =2.-------------(5分)
(2)因为a 2+2b 2+c 2=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)≥2ab +2bc =2(ab +bc)， 当且仅当a =b =c =1时取等号， 所以ab +bc ≤
a 2+2
b 2+
c 2
2
=2，即ab +bc 的最大值为2.-------------(10分)
【解析】(1)去掉绝对值符号，求出函数的最大值，即可得到m ． (2)利用重要不等式求解ab +bc 的最大值．
本题考查绝对值函数的最值的求法，基本不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．。