2019版同步优化探究文数练习：第八章 第五节 椭 圆 Word版含解析

课时作业 A 组——基础对点练 1．已知椭圆x225＋y2
m2
＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
解析：由4＝
25－m2(m >0)⇒m ＝3，故选B.
答案：B
2．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )
A ．k >4
B ．k ＝4
C ．k <4
D ．0<k <4
解析：方程kx 2
＋4y 2
＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x24＋y2
k
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，可得0<k <4，
故选D. 答案：D
3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝
12
，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程
为( )
A.x24＋y23＝1
B.x28＋y2
6＝1
C.x2
2
＋y 2＝1
D.x2
4
＋y 2＝1 解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x2
a2＋y2
b2
＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，
又离心率e ＝c a ＝1
2，解得a ＝2，b 2
＝a 2
－c 2
＝3，所以椭圆方程为x24＋y2
3
＝1，故选A.
答案：A
4．椭圆
x2a2
＋
y2b2
＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则
此椭圆的离心率为( )
A.1
2
B.
55
C.14
D.5－2
解析：由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c
a ＝1
2
.
答案：A
5．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且
∠
F 1PF 2＝π
4
，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )
A.12
B.
22 C ．1 D.
2
假设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的点，设解析：如图，轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|椭圆的长半2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又＋|PF 2|＝π
4
，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋∠F 1PF 2＝
a 2)( a 1－a 2)cos π
4
，化简得，(2－
2)a 21＋(2＋
2)a 2＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，
∴
2－
2e21＋2＋2e22＝4，又2－2e21＋2＋2e22
≥2 2－
2e21·2＋2e22＝22
e1·e2
， ∴
22
e1·e2≤4，即e 1·e 2≥2
2，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为2
2
.故选B.
答案：B
6．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．
解析：将椭圆的方程化为标准形式得y22k
＋x22＝1，因为x 2＋ky 2
＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2
k
>2，解
得0<k <1. 答案：(0,1)
7．若椭圆的方程为x2
10－a ＋y2
a －2
＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.
解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －
2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10
－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8.
答案：4或8
8．已知椭圆
x2a2
＋
y2b2
＝1(a >b >0)的离心率等于13
，其焦点分别为A ，B .C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△
ABC 中，sin A ＋sin B
sin C
的值等于________．
解析：在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB|＋|CA|
|AB|
，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |
＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1
e
＝3.
答案：3
9．已知椭圆C ：
x2a2
＋
y2b2
＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，过F 2作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|A
F 2|＝
36c .
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)M ，N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和x 轴相
交于R ，Q 两点，O 为坐标原点．若|OR →|·|OQ →
|＝4，求椭圆C 的方程．
解析：(1)∵点A 的横坐标为c ，
代入椭圆，得c2
a2＋y2
b2
＝1.
解得|y |＝b2a ＝|AF 2|，即b2a ＝3
6
c ，
∴a 2－c 2
＝
36
ac .
∴e 2
＋
36
e －1＝0，解得e ＝
32
.
(2)设M (0，b )，N (0，－b )，P (x 0，y 0)，
则直线MP 的方程为y ＝y0－b
x0
x ＋b .
令y ＝0，得点R 的横坐标为bx0
b －y0.
直线NP 的方程为y ＝y0＋b
x0
x －b .
令y ＝0，得点Q 的横坐标为bx0
b ＋y0
.
∴|OR →|·|OQ →
|＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪b2x20b2－y2
0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2b2－a2y20b2－y20＝a 2＝4，∴c 2＝3，b 2＝1，
∴椭圆C 的方程为x2
4
＋y 2＝1.
10．(2018·沈阳模拟)椭圆C ：x2a2
＋
y2b2
＝1(a >b >0)，其中e ＝1
2
，焦距为2，过点M (4,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在A ，M 之间．又线段AB
的中点的横坐标为47
，且AM →＝λMB →
.
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)求实数λ的值．
解析：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2
＝a 2
－c 2
＝3，椭圆的标准方程为x24＋y2
3
＝1.
(2)由题意可知A ，B ，M 三点共线，
设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．
若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝4，不合题意．
则AB 所在直线l 的斜率存在，设为k ，
则直线l 的方程为y ＝k (x －4)．
由错误!
消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①
由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0，
解得k 2
<1
4，且⎩⎪⎨⎪⎧
x1＋x2＝32k2
4k2＋3，x1x2＝64k2－12
4k2＋3.
由x1＋x22＝16k23＋4k2＝47，可得k 2
＝1
8，
将k 2
＝1
8
代入方程①，得7x 2－8x －8＝0.
则x 1＝
4－6
27，x 2＝
4＋627
.
又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →
＝(x 2－4，y 2)，
AM →＝λMB →
，所以λ＝4－x1x2－4，所以λ＝
－9－42
7
.
B 组——能力提升练
1．(2018·
合
肥
市
质
检
)已知椭圆M ：
x2a2
＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的
切线斜率为k 2，则k1
k2
的取值范围为( )
A ．(1,6)
B ．(1,5)
C ．(3,6)
D ．(3,5)
解析：由于椭圆M ：x2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2
在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a2>6－a2，6－a2>1，
解得3<a 2<5.
设椭圆M ：x2
a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方
程为x0x a2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2
，所以k 1＝－x0y0，k 2＝－x0a2y0，k1
k2
＝a 2，所以
k1
k2
∈(3,5)，故选D.
答案：D
2．已知椭圆x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得sin∠MF1F2
a
＝sin∠MF2F1
c
，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，2－1)
B．(
2
2
，1)
C．(0，
2
2
)
D．(2－1,1)
解析：在△MF1F2中，|MF2|
sin∠MF1F2＝
|MF1|
sin∠MF2F1
，
而sin∠MF1F2
a
＝
sin∠MF2F1
c
，
∴|MF2|
|MF1|
＝
sin∠MF1F2
sin∠MF2F1
＝
a
c
.①
又M是椭圆x2
a2＋
y2
b2
＝1上一点，
F1，F2是该椭圆的焦点，∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②
由①②得，|MF1|＝2ac
a＋c
，|MF2|＝
2a2
a＋c
.
显然，|MF2|>|MF1|，
∴a－c<|MF2|<a＋c，即a－c<2a2
a＋c
<a＋c，整理得c2＋2ac－a2>0，∴e2＋2e－1>0，解得e>2－1，又e<1，∴2－1<e<1，故选D.
答案：D
3．已知P(1,1)为椭圆x2
4
＋
y2
2
＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________． 解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
则x214＋y21
2＝1，①
x224＋y22
2
＝1，②
①－②得错误!＋错误!＝0，
∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，
∴x1－x22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y1－y2x1－x2＝－12.
∴此弦所在的直线方程为y －1＝－1
2
(x －1)，
即x ＋2y －3＝0.
答案：x ＋2y －3＝0
4．已知椭圆C ：
x22
＋y 2
＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<
x202
＋y
20
<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．
解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x20
2＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝
2，b ＝1，所
以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝2
2，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又| PF 1|＋
|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,2
2)．
答案：[2,22)
5．(2018·保定模拟)椭圆C ：x2
a2＋y2
b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝3
2
，a ＋b ＝3.
(1)求椭圆C 的方程．
(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交B
P 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．
解析：(1)因为e ＝
32
＝c
a ，所以a ＝
23c ，b ＝
13c .
代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1.
故椭圆C 的方程为x2
4
＋y 2＝1.
(2)因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝
⎛⎭⎪⎫
k≠0，k≠±12，①
把①代入x2
4＋y 2
＝1，解得P ⎝
⎛⎭
⎪⎫8k2－24k2＋1，－4k 4k2＋1.
直线AD 的方程为y ＝1
2
x ＋1.②
①与②联立解得M ⎝
⎛⎭⎪⎫
4k ＋22k －1，4k 2k －1.
由D (0,1)，P ⎝
⎛⎭
⎪⎫
8k2－24k2＋1，－4k 4k2＋1，
N (x,0)三点共线知
－4k
4k2＋1
－1
8k2－2
4k2＋1
－0
＝0－1
x －0，得N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k －22k ＋1，0.
所以MN 的斜率为m ＝
4k
2k －1－04k ＋22k －1－
4k －2
2k ＋1
＝错误!＝错误!，
则2m －k ＝2k ＋12－k ＝1
2
(定值)．。