《金版学案》数学理一轮练习：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件含解析.doc

第二节命题及其
关系、充分条件与必要条件
【最新考纲】1 •理解命题的概念，了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系2 理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
自实夏基1
©|基础梳理
1・命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题, 其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.
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3.充分条件与必要条件
(1)如果p=>q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)如果pOq,那么p与q互为充要条件.
(3)如果p=>/ q,且q今/ p,则p是q的既不充分也不必要条件.
4.集合与充要条件
设集合A={x|x满足条件p}, B={x|x满足条件q},则有
(1)若AUB,则p是q的充分条件，若A^B,则p是q的充分不必要条件.
(2)若BCA,则p是q的必要条件，若B2A,则p是q的必要不充分条件.
(3)若A=B,则p是q的充要条件；
(4)若A広B,且B@A,则p是q的既不充分也不必要条件.
©I学情自测
1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“厂，错误的
打“X”)
(1)语句X2-3X+2=0是命题.( )
(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,贝「q”・()
(3)命题“如果p不成立，则q不成立”等价于“如果q成立, 则p 成立”・()
⑷“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q” 表达的意义相同.()
解析：⑴变量x没有赋值，无法判断语句的真假，故不是命题•⑵
若“p,则q”的否命题是“若「p,则「q”・(3)—个命题与其逆否命题同真假.(4)p是q的充分不必要条件是指p=>q且q =>/ p； p的充分不必要条件是q,是指q今p且pO/ q,因此它们表达的意义不同.
答案：⑴X (2)X⑶丁⑷X
2.命题“若a=y,则tan a =1”的逆否命题是()
A.若a工才，则tan a HI
JI
B・若a=才，则tan a Hl
C・若tan a工1,则a工才
兀
D・若tan a Hl,贝!)a=〒~
解析：命题的条件是p: a=^-,结论是q: tan a =1.由命题的四种形式，可知命题“若p,贝Uq”的逆否命题是“若"，则S” , 显然=q: tan a #=1,
n p: aH等，所以该命题的逆否命题是“若tan . n a #=1,则(1工/”・
答案:C
3・(2015 重庆卷)a x>r是“log丄(x+2)V0” 的( )
2
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C・必要而不充分条件D・既不充分也不必要条件
解析:Vx>l^logl(x+2)<0, logl(x+2)<0^x+2>l^x>-
2 2
1,・•• “x>l”是“lo史（x+2）V0”的充分而不必要条件.
2
答案：B
4.命题“若a>-3,则a>-6"以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（）
A・1 B・2 C・3 D・4
解析：原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a > —6,则a>—3”是假命题，从而其否命题也是假命题.所以假命题的个数为2个.
答案：B
5.（2014-广东卷）^AABC中，角A, B, C所对应的边分别为a, b, c,贝！J “aWb” 是“sin AWsin B” 的（）
A・充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.非充分非必要条件
解析：由正弦定理an A = §in B =2R（R为三角形外接圆半径）得, a = 2Rsin A, b=2Rsin B,故aWb02Rsin AW2Rsin BOsin AWsin B. 答
案:A
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一个区别
在“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A
的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论.在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别.
两条规律
1.逆命题与否命题互为逆否命题；
2.互为逆否命题的两个命题同真假.
三种方法
充分条件、必要条件的判断方法有以下三种：
1.定义法.直接判断“若p,则q”、“若q,则p”的真假.并注意和图
示相结合，例如为真，则p是q的充分条件.
2.等价法.利用p今q与S今S，qOp与S今「q, pOq与「q
的等价关系.对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.
3.集合法.设集合A={x|x满足p}, B = {x|x满足q},若AUB, 则p 是q的充分条件或q是p的必要条件；若A=B,则p是q的充要条件.
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一、选择题
1・（2015安徽卷）设p： l<x<2, q： 2X>1,则p是q成立的（）A・充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：由2X>1,得x>0,所以pOq,但qO/p, 所以p是q的充分不必要条件.
答案:A
2.（2015-山东卷）设meR,命题“若m>0,则方程x+—m= 0有实根”的逆否命题是（）
A.若方程x2+x—m = 0有实根，则m>0
B・若方程x2+x—m = 0有实根，则mWO
C・若方程x2+x-m = 0没有实根，则m>0
D・若方程x2+x—m = 0没有实根，则mWO
解析：分别否定命题的条件和结论，并互换位置可得逆否命题。

根据逆否命题的定义，命题“若m>0,则方程亡+x—m = 0有实根” 的逆否命题是“若方程x2+x-m = 0没有实根，则mWO”・
答案:D
3.已知条件p： xWl,条件q： X2—x>0,则p是成立的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C・充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由X2—x>0得xVO或x>l,所以「q: OWxWl,由
{x|0WxWl} {x|xWl}知，p是的必要不充分条件.
答案：B
4.已知集合A={1, m2+l}, B={2, 4},则羽”是“AAB
={4}” 的()
A・充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：AA B={4}=>m2 + l=4=>m=i^/3,
故是“AQB={4}”的充分不必要条件.
答案:A
5・已知p： x^k, q： (x+l)(2—x)<0,如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是()
A. [2, +8) B・(2, +8)
C・[1, +8) D・(一8, -1]
解析：由q： (x+l)(2—x)<0,得xV —1 或x>2, 又p是q的充分不必要条件，
所以k>2,即实数k的取值范围是(2, +8).
答案：B
6. (2015-陕西卷)“sin a =cos a ” 是“cos 2 a =0” 的( )
A.充分不必要条件
B・必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：先将cos 2 a = 0等价转化，再利用充分条件、必要条件
的定义进行判断.
cos 2 a =0 等价于cos2 a —sin2 a =0,即cos a =±sin a ・由cos a =sin a可得到cos 2 a =0,反之不成立.
答案：A 二、填空题
7.已知a, b, c都是实数,则在命题“若a>b,则ac2>bc2w 与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是
解析：由a>b^/ ac2>bc2,但ac2>bc2=>a>b,故原命题是假命题，逆命题是真命题，从而逆否命题是假命题，否命题是真命题.
答案：2
8・“mV”'是“一元二次方程x2 + x + m = 0有实数解”的条件.
解析：x2+x+m=0有实数解等价于A=l—4m20,
即mw£因为mV缶今mW*,反之不成立.
故“mvf”是“一元二次方程x2+x+m = 0有实数解”的充分
不必要条件.
答案：充分不必要
是“xGB”的充分不必要条件, 则实数a的取值范围是
9.已知集合A={x|y=lg(4—x),集合B={x|x<a},若“xWA”
解析：A={x|x<4},由题意知A£B,所以a>4・
答案：(4, +8)
三、解答题
10.已知函数f(x)是(一8, +8)上的增函数，a, bWR,对命题“若a+b^0,则f(a)+f(b)^f(-a)+f(-b)w・
写出否命题，判断其真假，并证明你的结论.
解：否命题：已知函数f(x)在(―°°, +8)上是增函数，a, bW
R,若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)・
该命题是真命题，证明如下：
V a+b<0, A a< — b, bV —a. 又V f(X)在(一8, +8)上是增函数.
Af(a)<f(-b), f(b)<f(-a),
因此f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),
•I否命题为真命题.
11 •若x<m—1或x>m+l是X2—2x—3>0的必要不充分条件,
求实数m的取值范围
解：由已知易得
{x|x2—2x—3>0}^{x|x<m—1 或x>m+l}, 又{x|x2-2x-3>0} = {x|x<-1 或x>3},
—1 Wm_1
m+l<3
故实数m的取值范围是[0, 2]・。