苏教版数学高二 选修2-1测评1.3.12 量词 含有一个量词的命题的否定

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列命题：
①所有的菱形都是平行四边形；
②每一个三角形的内角和都是180°；
③有些偶数不能被5整除；
④一切平行四边形的对边都平行且相等；
⑤至少有一个x，使得2x＞1.
其中是存在性命题的为________(填序号)．
【解析】①②④是全称命题，③⑤是存在性命题．
【答案】③⑤
2．下列全称命题中真命题的个数为________个．
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
【解析】容易判断①②③正确，④中，当x＝y＝0时不成立．
【答案】①②③
3．用符号“∀”或“∃”表示下面含有量词的命题．
(1)实数的平方大于或等于0：_______________________________________；
(2)存在一对实数，使3x－2y＋1≥0成立：_____________________________.
【答案】(1)∀x∈R，x2≥0(2)∃x0，y0∈R,3x0－2y0＋1≥0
4．(2016·扬州高二检测)命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是________．
【解析】因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x＞0，x2＋x ＞0”的否定是“∃x＞0，x2＋x≤0”．
【答案】∃x＞0，x2＋x≤0
5．(2016·威海高二检测)已知命题p：∃x∈R，x＞sin x，则p的否定形式为________．
【解析】因为存在性命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈R，x＞sin x的否定形式为：∀x∈R，x≤sin x.
【答案】∀x∈R，x≤sin x
6．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3.
【答案】(－∞，3]
7．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________. 【导学号：09390015】
【解析】由条件知，“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1<a<3.
【答案】－1<a<3
8．对下列命题的否定说法错误的是________．
①p：能被2整除的数是偶数，非p：存在一个能被2整除的数不是偶数；
②p：有些矩形是正方形，非p：所有的矩形都不是正方形；
③p：有的三角形为正三角形，非p：所有的三角形不都是正三角形；
④p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0，非p：∀x∈R，x2＋x＋2>0.
【解析】根据含有一个量词的命题的否定知③错误．
【答案】③
二、解答题
9．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(2)p：每一个非负数的平方都是正数；
(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；
(4)p：有的四边形没有外接圆；
(5)p ：某些梯形的对角线互相平分．
【解】 (1)非p ：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．
(2)非p ：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．
(3)非p ：任意三角形的内角和都等于180°，真命题．
(4)非p ：所有的四边形都有外接圆，假命题．
(5)非p ：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．
10．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a ＞0成立”为真，试求参数a 的取值范围．
【解】 法一 由题意知，x 2＋2ax ＋2－a ＞0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)＞0或f (2)＞0，即1＋2a ＋2－a ＞0或4＋4a ＋2－a ＞0.
整理得a ＞－3或a ＞－2，
即a ＞－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．
法二 非p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ＞0无解，
令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧
1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，
解得a ≤－3. 故命题p 中，a ＞－3.
即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．
[能力提升]
1．已知命题p ：“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x ≥2”的充要条件，命题q ：∃x
∈R ，x 2＋x －1>0.则下列结论中正确的是________．
①命题“且q ”是真命题；②命题“且非q ”是真命题；③命题“非且q ”是真命题；④命题“非p 或非q ”是假命题．
【解析】 当a ＝1时，x >0有x ＋1x ≥2成立，取a ＝2时x >0有x ＋2x ≥22>2，
故p 是假命题；q 是真命题，故①错误，②错误，③正确，④错误．
【答案】 ③
2．(2015·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．
【解析】 由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.
【答案】 1
3．给出下列三个结论：
①若命题p 为真命题，命题非q 为真命题，则命题“p 且q ”为真命题； ②命题“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若xy ≠0，则x ≠0或y ≠0”；
③命题“∀x ∈R,2x ＞0”的否定是“∃x ∈R,2x ≤0”．
则以上结论正确的命题为________(填序号)．
【解析】 非q 为真，则q 为假，所以p 且q 为假命题，所以①错误；“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0”，所以②错误；③正确．
【答案】 ③
4．(2016·武汉高二检测)设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＞a ；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，如果命题p 真且命题q 假，求a 的取值范围．
【解】 ∵命题p 为真命题，
∴∀x ∈R ，x 2＋x ＞a ；
∵(x 2＋x )min ＝－14，∴a ＜－14.
∵命题q 为假命题，∴∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ≠0， ∴Δ＝4a 2－4×(2－a )＜0⇒a 2＋a －2＜0⇒－2＜a ＜1.
综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2，－14.。