黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学(理)试题

黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次月考
数学试卷（理）
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

1．已知位学生的某次数学测试成绩茎叶图如图，则下列说法正确的是( )
A．众数为7 B．极差为19 C．中位数为64.5 D．平均数为64
2．为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了次试验，得到组数据：，由最小二乘法求得回归直线方程为
．若已知，则
（）
A．B．C．D．
3．观察如图所示的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量x，y之间有关系的是( )
A． B．C．
D．
4．图1和图2中所有的正方形都全等，图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（）
A． B． C． D．1
5．已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683．该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：（）
A． B． C． D．
6．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）
A．B．C．D．
7．已知函数在处的导数为，则等于（）A．B．C．D．
8．一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（）A．B．C．D．
9．书架上有三本数学书和两本语文书，某同学一共取了两次书，每次取一本，取后不放回，若第一次从书架取出一本语文书记为事件A，第二次从书架取出一本数学书记为事件B，那么第一次取得语文书的条件下第二次取得数学书的概率的值是（）
A． B． C． D．
10．设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．
11．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（）
A． B． C． D．
12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有
，则不等式的解集为（）A． B． C． D．
二、填空题：
13．已知函数.若曲线在点处的切线方程为，则 ___________.
14．某地区高二女生的体重X(单位:kg)服从正态分布N(50,25),若该地区共有高二女生2 000人,则体重在区间(50,65)内的女生人数约为
15．如图是函数的导函数的图像，给出下列命题：
① -2是函数的极值点；
②函数在处取最小值；
③函数在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增.
则正确命题的序号是__________．
16．设函数，则
__________．
三、解答题： 17．已知函数在
处的切线方程为
.
（1）求，的值； （2）求的单调区间与极值.
18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
参考公式：x b y a x x y y
x x x
n x
y x n y
x b n
i i
n
i i
i
n
i i
n
i i
i ∧
∧====∧
-=---=
--=
∑∑∑∑,)
()
)((1
2
1
1
2
2
1
,参考数据：
14151
=∑=i
n
i i y
x .
19．鹤岗市教育局为调查在校中学生每天放学后的自学时间情况，在本市的所有中学生中随机抽取了120名学生进行调查，现将日均自学时间小于1小时的学生称为“自学不足”者根据调查结果统计后，得到如下列联表，已知在调查对象中随机抽取1人，为“自学不足”
的概率为．
请完成上面的列联表；
根据列联表的数据，能否有的把握认为“自学不足”与“配在智能手机”有关？
附表及公式: ，其中
20．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：
方案一：交纳延保金7000元，在延保两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；
方案二：交纳延保金10000元，在延保两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.
某医院准备一次性购买2台这种机器.为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）以方案一与方案二所需费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更加合算.
21．如图，在四面体中，分别是线段的中点，，
，，直线与平面所成的角等于．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
22.设函数.
（1）讨论的单调区间；
（2）若，求证：.
13．3 14．997 15．①④ 16．2017
17．（1），
根据题设得方程组，解得 .
（2）由(1)可知，
令，（舍去），
当时，，当时，，
的单增区间为，的单减区间为，
，无极大值.
18．（1）由表中数据知，，
∴，，
∴所求回归直线方程为.
（2）令，则人.
19．（I）由题意可得，自学不足的认识为，非自学不足的人数80人，结合已知可得下表，
根据上表可得
有的把握认为“自学不足”与“配在智能手机”有关．
20．解：（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，
，，，
，，
，，
∴的分布列为
（Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为：
（元）. 选择延保二，所需费用元的分布列为：
（元）.
∵，∴该医院选择延保方案二较合算.
21．（Ⅰ）在中，是斜边的中点，
所以.
因为是的中点，
所以，且，
所以，
所以.
又因为，
所以，
又，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）方法一：取中点，连，则，
因为，
所以.
又因为，，
所以平面，
所以平面．
因此是直线与平面所成的角．
故，
所以.
过点作于，则平面，
且．
过点作于，连接，
则为二面角的平面角．
因为，
所以，
所以，
因此二面角的余弦值为．
方法二：
如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因为 (同方法一,过程略)
则，,．
所以,,，
设平面的法向量，
则，即，取,得．
设平面的法向量
则，即，取,得．
所以，
由图形得二面角为锐角，
因此二面角的余弦值为．
22（1）依题意定义域为，，
令，则，
①当时，当时，，在单调递减，当时，，
在单调递增；
②当时，当时，，在单调递增，当时，，
在单调递减；
综上，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）①当时，设，
；
②当时，设
则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以；
设，则，所以单调递增，所以，所以即单调递增，故；
因为，所以
即，所以，
即.
解法二：
（1）同解法一；
（2）设，则，
设，则，
设，则，所以在上单调递增，
所以，，所以在上单调递增，
又因为，，即，所以恰有一个零点；
即，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
设，因为，
所以，
所以在上单调递增，所以，所以，即.
解法三：
（1）同解法一；
（2）同解法二得，设，因为，所以
设则
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，则，所以，即.。