高考模拟复习试卷试题模拟卷0086

高考模拟复习试卷试题模拟卷
一．基础题组
1.（北京市朝阳区高三第一次综合练习文6）函数ππ
()2sin()cos()66f x x x =--图象的一条对称轴方程是
（ ） A ．π6x =
B.π3x =
C.5π12x =
D.2π
3
x = 【答案】C
考点：二倍角公式变形正弦型曲线的性质
2.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）文6）将函数cos y x =的图象向右平移
6
π
个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A ．1cos()2
6y x π
=- B ．1cos()23y x π=- C ．cos(2)6y x π=- D ．cos(2)3
y x π
=- 【答案】A 【解析】
试题分析：函数cos y x =的图象向右平移
6π个单位长度，所得函数解析式为cos 6y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，再把图象
上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为1cos()2
6
y x π
=-.
考点：三角函数图象平移.
3.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）文3）已知函数()sin f x x =，[2,2]x ππ∈-，则方程
1
()2
f x =
的所有根的和等于（ ） (A)0(B) π(C) –π(D) 2π 【答案】A 【解析】
试题分析：由题根据所给函数为偶函数不难得到1
()2
f x =的所有根的和为0，故选A. 考点：函数奇偶性、函数零点
4.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）文2）函数sin()1y x π=--的图象（ ） A ．关于2
x π
=对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x π=对称
【答案】A
考点：1.三角函数的诱导公式；2.三角函数的图象和性质.
5.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试文9）把函数sin y x =(x R ∈)的图象上所有点向左平行移动
3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A.sin(2)3y x π
=+
，x R ∈ B.sin()26x y π
=+，x R ∈ C.sin(2)3y x π=-，x R ∈ D.sin(2)3
2y x π
=+，x R ∈
【答案】A 【解析】
试题分析：根据图像的变换的原则，可知把函数sin y x =(x R ∈)的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度，得到函数sin()3
y x π
=+
的图像，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍（纵坐标不
变），得到函数sin(2)3
y x π
=+（x R ∈）的图像，所以选A.
考点：函数图像的变换.
6.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试文11）=+ 75sin 15sin . 【答案】2
6
【解析】
试题分析：=+ 75sin 15sin sin15cos152sin(1545)2sin 60+=+==
2
6. 考点：诱导公式，辅助角公式.
7.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）文9）已知角α的终边经过点(,6)P x -，且3tan 5
α=-
,则x 的值为．
【答案】10
考点：任意角的三角函数.
8.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）文11）在锐角△ABC 中，AB=25，AC=2，△ABC 的面积是4，则sinA=，BC=． 【答案】
25
,45
【解析】
试题分析：由题根据三角形面积公式可得
1125
sin ,252sin 4sin 22ABC S AB AC A A A ∆=⨯⨯⨯∴⨯⨯=∴=，,
()()22
5
2cos 204225245
BC AC AB AC AB A ∴=
+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯
考点：三角形面积公式、余弦定理
9.（北京市东城区高三5月综合练习（二）文10）在△ABC 中，已知2,3a b ==， 那么
sin sin()
A
A C =+.
【答案】
3
2 【解析】
试题分析：在ABC ，知三角形内角和为π，可知()()sin sin sin A C B B π+=-=，根据正弦定理知：
()sin sin 2sin sin 3A A a A C B b ===+，所以答案为：3
2
.
考点：1.诱导公式；2.正弦定理.
10.（北京市西城区高三二模文12）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若7a =
3b =，2c =，则A =____；ABC ∆的面积为____.
【答案】
3
π，33.
考点：1.余弦定理；2.三角形的面积公式.
11.（北京市西城区高三一模考试文10）函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是____. 【答案】π 【解析】
试题分析：因为22()sin cos cos 2f x x x x =-=-，所以其最小正周期是2=π.2
π
考点：三角函数周期
12.（北京市朝阳区高三第一次综合练习文15）在ABC ∆中，π3A =，6cos 3
B =，6B
C =． （Ⅰ）求AC 的长；
（Ⅱ）求ABC ∆的面积．
【答案】（1）4；（2）3226+； 【解析】
试题分析：（1）由题可知，由1cos sin 2
2
=+B B 可求出33sin =
B ，由正弦定理可得sin sin A
C BC
B A
=，
代入具体数值，即可得到4AC =；（2）对于本题求三角形的面积，我们采用公式
C BC AC S sin 2
1
⋅=
，因此只需求出C sin 的值即可，通过和差化积公式得出6
2
3360sin cos 60cos sin sin +=
︒+︒=B B C ，代入到面积公式求解即可； 试题解析：（Ⅰ）因为6cos 3
B =
，(0,)
B ∈π，又22sin cos 1B B +=，所以3sin B =.
由正弦定理得，
sin sin AC BC
B A =
.所以63
3
32
AC =.所以4AC =………6分 （Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin(60)C B =+
sin cos60cos sin 60B B =+ 13
sin cos 22
B B =+ =
1336+2323
⨯⨯ =3+326.
所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=
⋅=1
462⨯⨯⨯
3+32
6
=23+62. ……13分 考点：正弦定理的应用三角函数和差化积公式三角形的面积公式
13.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）文15）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，
b ，
c ，已知52=b ，4
B π
=
，5
5
2cos =
C ． （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．
【答案】（Ⅰ）22c =；（Ⅱ）6.
考点：平方关系、正弦定理、余弦定理、三角形面积.
14.（北京市西城区高三一模考试文15）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =. （Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求sin CBD ∠的值.
【答案】（Ⅰ）5104=BD （Ⅱ）10
sin CDB ∠=【解析】
试题分析：（Ⅰ）在直角三角形ABC 中，易得5=AC ，从而有1=DC ，在BCD ∆中，由余弦定理，可得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅2
2
3323123155=+-⨯⨯⨯
=，即5
10
4=BD B C
A
D
（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得
sin sin CD BD
CBD C
=∠，
所以410
1
54sin 5
CBD
=∠， ………………… 12分
所以10
sin 10
CDB ∠=
. ………………… 13分 考点：正余弦定理 二．能力题组
1.（北京市房山区高三第一次模拟文5）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
且1a =，45B =︒， 2ABC S =△，则b 等于（ ）
A ．42
B ．5
C ．41
D ．25 【答案】B 【解析】
试题分析：由题可知，由2ABC S =△，可得出︒⋅⋅=
45sin 2
1
2c ，解得24=c ，在△ABC 中，由余弦定理可得2
833245cos 2
222b ac b c a -=-+=︒，解得5=b ；
考点：三角形的面积公式
余弦定理
2.（北京市延庆县高三3月模拟文3）设sin 393,cos55,tan50a b c =︒=︒=︒，则,,a b c 的大小
关系为（ ）
A. a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b << 【答案】1 【解析】
试题分析：由题根据所学诱导公式化简所给角，然后根据函数单调性比较大小即可；
sin393sin33,cos55sin35,1a b a b c =︒=︒=︒=︒∴<<<，故选A
考点：诱导公式
3.（北京市延庆县高三3月模拟文11）在
中，
,则
的面积等于_______.
【答案】
32
考点：正弦定理
4.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试文13）已知)0,(π-∈x 且5
3
cos -=x ，则=x 2sin . 【答案】
25
24 【解析】
试题分析：根据题意可知，4sin 5x =-
，=x 2sin 34242sin cos 2()()5525
x x =⨯-⨯-=. 考点：同角三角函数关系式，倍角公式.
5.（北京市朝阳区高三第二次综合练习文12）已知在
ABC 中，4
C
，3
cos 5
B
，5AB ，则
sin A
；
ABC 的面积为．
72
.
考点：1.正弦定理；2.三角变换；3.三角形面积公式.
6.（北京市昌平区高三二模文15）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的三边分别为c b a ,,，3
B π
=
，且33, 2.b a ==
（Ⅰ）求sin 2A ； （Ⅱ）求ABC ∆的面积. 【答案】（I ）42sin 29A =；(II)362
2
ABC S ∆+=. 【解析】
试题分析：（I ）由正弦定理得
,sin sin B b A a =将条件代入即可求得3
1
sin sin =⋅=b B a A .再用二倍角公式即可求出sin 2A .(II)由于已知边33, 2.b a ==故只需求出角sin C ，即可求出面积.sin sin()C A B =+，将条件代入即可. 试题解析：（I ） 由
,sin sin B b A a =得3
1sin sin =⋅=b B a A . 因为a b <，所以A B <，则22
cos A =
2
sin 22sin cos 9
A A A ==
. ……………7分 (II)由B ac c a b cos 22
2
2
-+=,
c c 24272-+=，解得,621+=c 126c =-
故1362sin 2ABC S a c B ∆+=
⋅⋅⋅=分 法二：因为a b <，所以A B <，则22
cos A =
,sin 3
2cos cos 32sin )32sin()sin(sin A A A B A C ππππ-=-=--= 6
1
62312132223sin +=
⋅+⋅=
C ， 由
sin sin c a
C A
=
，得,621+=c 1362
sin 2ABC S a c B ∆+∴=⋅⋅⋅=
. ……………13分 考点：1、三角恒等变换；2、解三角形.
7.（北京市朝阳区高三第二次综合练习文15）已知函数x x x x x f 2
sin )cos sin 32(cos )(-+⋅=．
（Ⅰ）求函数)(x f 在区间π[,π]2
上的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若0()2,f x =且0
(0,2π)x ，求0x 的值．
【答案】(I)当x π=时，()f x 有最大值1；(II)
6
π或76π
考点：三角变换、三角函数图象与性质.
8.（北京市东城区高三5月综合练习（二）文16）已知函数)π3
2
2cos()3π2cos()(+++
=x x x f ，()cos 2g x x =.
（Ⅰ）若)2π,4π(∈α，且35
3
)(-=αf ，求()g α的值； （Ⅱ）若x ]3
π
,6π[-
∈，求)()(x g x f +的最大值. 【答案】（Ⅰ）
54
)(-
=αg ；（Ⅱ）2.
又因为
)
2π,4π(∈α，所以)
π,2π
(2∈α.
故
542cos -
=α，即54
)(-=αg . …………………………7分
（Ⅱ）)()(x g x f +x x 2cos 2sin 3+-=)
3π
2cos(2+=x . 因为x ]3π,6π[-∈，所以]
π,0[3π
2∈+x .
所以当
03π2=+
x ，即
6π-=x 时，)()(x g x f +有最大值，最大值为2. ……13分 考点：1.和角公式；2.三角函数的最值.
9.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）文15）已知函数2
()2cos ()12
f x x ωπ
=+
（其中0>ω，∈x R ）的最小正周期为2π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果[0,]2απ
∈，且5
8)(=αf ，求αcos 的值．
【答案】（Ⅰ）2
1
=
ω；（Ⅱ）334cos α+=
（Ⅱ）由（1）可知5
81)6cos()(=++=π
ααf ， 所以53
)6cos(=+π
α， 因为[0,
]2
π
α∈，所以2[,]663
π
ππα+∈， 所以5
4
)6
sin(=+
π
α． 因为cos cos[()]66
π
παα=+
-cos()cos sin()sin 6666ππππ
αα=+++
33415252=⨯+⨯334
10
+=．……………………13分 所以334
cos α+=
． 考点：三角函数图像和性质、三角函数化简求值
10.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）文17）在ABC ∆中，2
sin sin sin A B C =. （Ⅰ）若π
3
A ∠=
，求B ∠的大小； （Ⅱ）若1bc =,求ABC ∆的面积的最大值.
【答案】（1）π3
B ∠=
，（2）43．
试题解析：（Ⅰ）方法一：因为 2
sin sin sin ,A B C =且C
c
B b A a sin sin sin ==， 所以 2
a bc =. ………………2分 又因为 ,cos 22
22A bc c b a -+=π
3
A ∠=， ………………4分 所以 222
221
22
a b c bc b c bc =+-⨯=+-. 所以 2
()0b c -=.
所以 b c =. ………………6分
因为 π3
A ∠=
， 所以 ABC ∆为等边三角形.
所以 π
3
B ∠=. ………………7分
方法二： 因为 πA B C ++=，
所以 sin sin()C A B =+. ………………1分 因为 2
sin sin sin B C A =，π3
A ∠=
，
因为 (0,π)B ∈，
所以 ππ112(,π)666B -
∈-. 所以 ππ262B -=，即π
3
B ∠=. ………………7分
（Ⅱ）因为 2
sin sin sin ,A B C =1bc =，且C
c B b A a sin sin sin ==， 所以 2
1a bc ==.
所以 222221
cos 22
b c a b c A bc +-+-==………………9分
211
22
bc -≥
=（当且仅当1==c b 时，等号成立）. ………………11分 因为 (0,π)A ∈， 所以 π(0,]3
A ∈.
所以 3sin (0,
2
A ∈. 所以 113sin sin 22ABC S bc A A ∆=
=≤. 所以 当ABC ∆是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值4
3
.………………13分 考点：三角函数的性质与解三角形
11.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）文16）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c ．已知
23
3
b c =
，3A C π+=． （Ⅰ）求cos C 的值； （Ⅱ）求sin B 的值；
（Ⅲ）若33b =，求△ABC 的面积． 【答案】(Ⅰ)3cos C =
．(Ⅱ)22sin B =．（Ⅲ）92
S =．
(Ⅱ)因为()0,C π∈，所以216
sin 1cos 13C C -=-． 所以6322
sin sin 22sin cos 2B C C C ===． ………………………7分 （Ⅲ）因为2B C =，
所以211
cos cos22cos 12133
B C C ==-=⨯-=-． ……………………9分
所以22sin sin()3166
()3A B C =++-=
． ……………………11分 因为
23
b c ， 33b =，所以92
c =． ……………………12分 所以△ABC 的面积119692sin 332224
S bc A ==⨯=
． ………………………13分 考点：1.和差倍半的三角函数；2.正弦定理的应用；3.三角形面积. 12.（北京市西城区高三二模文15）已知函数cos 2(sin cos )
()cos sin x x x f x x x
+=-.
（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的单调增区间.
【答案】（1）},4
|{Z k k x x ∈+≠
ππ
；（2）)4
,
4
(ππ
ππ
k k ++-
，Z k ∈（或写成
)4
,
4
[ππ
ππ
k k ++-
）.
考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的性质.
13.（北京市房山区高三第一次模拟文16）已知函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象
的一部分如图所示．
（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；
（Ⅱ）当1[6,]3
x ∈--时，求函数()y f x =的最大值与最小值及相应的x 的值． 【答案】(1))4
4sin(2)(π
π
+=x x f ；（2）6x =-时(x)f 23x =-时(x)f 取得最小值为2- ；
(II))4
4sin(
2)(π
π
+=x x f ∵x ∈1[6,]3
--，∴5[,]4
4
46
x π
π
ππ+
∈-
， ∴当54
4
4
x π
π
π
+
=-
，即6x =-时(x)f 取得最大值为2 当
4
4
2
x π
π
π
+
=-
，即3x =-时(x)f 取得最小值为2-……………13分
考点：正弦型曲线的图像及性质
14.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试文19）设平面向量)sin ,(cos x x a =，31
(,)22
b =，函数()1f x a b =⋅+．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）2π （Ⅱ）5[2,2]()66
k k k Z ππ
ππ-
++∈ 【解析】
考点：向量的数量积的坐标运算式，三角函数的和角公式，辅助角公式，单调区间的求解方法.
15.（北京市延庆县高三3月模拟文16）直角坐标系xoy 中，锐角α的终边与单位圆的交点为P ，将OP 绕O 逆时针旋转到OQ ，使α=∠POQ ，其中Q 是OQ 与单位圆的交点，设Q 的坐标为),(y x . （Ⅰ）若P 的横坐标为
53，求x
y ； （Ⅱ）求y x +的取值范围.
【答案】（Ⅰ）24
7
-；（Ⅱ）(
2-
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用三角函数的定义，求出sin α，转化y
x
为正切函数的形式，求解即可；（Ⅱ）表示出x+y 的三角函数的形式，然后求解取值范围．
α
o
P
x
y 1
考点：任意角三角函数、二倍角的正切 三．拔高题组
1.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试文21）已知函数2sin()2
4()sin x f x x
π
++=. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；
（Ⅱ）若()2f x =，求x 的取值集合及sin 2x 的值. 【答案】（Ⅰ）{|,}()x x R x k k Z π∈≠∈ （Ⅱ）{|2}()4
x x n n Z π
π=-+∈
【解析】
由sin 21x =-，得22()2
x k k Z π
π=-+∈，
则()4
x k k Z π
π=-+∈，
……10分
当21()k n n Z =-∈时，代入（*），矛盾，舍去； 当2()k n n Z =∈时，代入（*），成立. 所以，x 的取值集合是{|2}()4
x x n n Z π
π=-
+∈.
……13分
考点：函数的定义域，正弦和角公式，三角方程.
2.（北京市朝阳区高三第二次综合练习文20）已知函数()sin cos f x a x x ，其中0a ．
（Ⅰ）当1a 时，判断()f x 在区间π
[0,]4
上的单调性；
（Ⅱ）当0
1a 22
()21
f x t at
a 对于x ∈π
[0,]4
恒成立，求实数t 的取值范
围．
【答案】(I)单调递增；(II)1t ≤-或0t ≥. 【解析】
因为[](0,1),tan 0,1a x ∈∈，且函数tan y x =在区间0,
4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是单调递增，所以方程tan a x =在区间0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上必有一根，记为0x ，则00()cos sin 0f x a x x '=-=，因为00()cos sin f x a x x '=-在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是单调递减，所以当0(0,)x x ∈，0()()0f x f x ''>=，当0(,)4x x π∈，0()()0f x f x ''<=， 所以()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,
)4
x π
上单调递减，所以
max 000()()sin cos f x f x a x x ==+，又因为00cos sin a x x =，且22sin cos 1x x +=，所以
()222002
11cos 1,cos 1
a x x a +==
+，故()22
max 00()()1cos 1f x f x a x a ==+=+ 依题意(0,1)a ∈2222121
a a t at a +<+++恒成立，即(0,1)a ∈时2(2)20t a t -++>恒成立，
令2
()(2)2h a t a t =-++，则(0)0(1)0h h ≥⎧⎨≥⎩即22200
t t t ⎧+≥⎪⎨+≥⎪⎩
解得1t ≤-或0t ≥ 13分
考点：1.导数与函数单调性；2.导数与函数最值；3.构造函数解决不等式恒成立问题.
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.判断函数的奇偶性；
2.利用函数的奇偶性求参数；
3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．
【重点知识梳理】
一、函数的奇偶性
奇偶性定义图象特点
偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，
那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－
f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
二、周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【高频考点突破】
考点一判断函数的奇偶性
例1、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝9－x2＋x2－9；
(2)f(x)＝(x＋1) 1－x 1＋x；
(3)f(x)＝4－x2
|x＋3|－3.
【拓展提高】
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
【变式探究】下列函数：
①f(x)＝1－x2＋x2－1；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋x2＋1)；④f(x)＝3x－3－x
2；⑤f(x)＝lg
1－x
1＋x.
其中奇函数的个数是
()
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
考点二函数的奇偶性与周期性
例2、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x －x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)．
【拓展提高】
判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x) (T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．
【变式探究】已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1
f x，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.
【答案】2.5
考点三函数性质的综合应用
例3设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．
【拓展提高】
函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象，充分利用已知区间上函数的性质，体现了转化思想．
【变式探究】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则 () A．f(－25)<f(11)<f(80)
B．f(80)<f(11)<f(－25)
C．f(11)<f(80)<f(－25)
D．f(－25)<f(80)<f(11)
【答案】D
(2)函数y ＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x －1
2)]<0的解集．
【真题感悟】
1.【高考四川，文5】下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) (A)y ＝sin(2x ＋
2π) (B)y ＝cos(2x ＋2
π) (C)y ＝sin2x ＋cos2x (D)y ＝sinx ＋cosx 【答案】B
2.【高考天津，文7】已知定义在R 上的函数||
()
21()x
m f x m 为实数为偶函数,记
0.5(log 3),a
f 2b
(log 5),c
(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（）
(A) b c a
(B) b c a (C) b a c (D) b c a
【答案】B
3.【高考陕西，文9】 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ） A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 【答案】B
4.【高考山东，文8】若函数21
()2x x f x a
+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( )
（A ）( ) (B)(
) （C ）0,1（）（D ）1,+∞（）
【答案】C
5.【高考广东，文3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A ．2sin y x x =+
B ．2
cos y x x =-C ．1
22
x
x y =+
D ．sin 2y x x =+ 【答案】A
6.【高考北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ）
A ．2
sin y x x =B ．2
cos y x x =C ．ln y x =D ．2x
y -= 【答案】B
7.【高考福建，文3】下列函数为奇函数的是( )
A ．y x =
B ．x y e =
C ．cos y x =
D ．x x y e e -=-
【答案】D
8.【高考安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y=lnx （B ）2
1y x =+ （C ）y=sinx （D ）y=cosx 【答案】D
9.【高考上海，文20】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数x
ax x f 1
)(2
+
=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增.
1．（·重庆卷） 下列函数为偶函数的是( )
A ．f(x)＝x －1
B ．f(x)＝x2＋x
C ．f(x)＝2x －2－x
D ．f(x)＝2x ＋2－x 【答案】D
2．（·安徽卷） 若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝
⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x≤1，sin πx ，1<x≤2，
则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______．
【答案】5
16
3．（·广东卷） 下列函数为奇函数的是( ) A ．2x －1
2x B ．x3sin x C ．2cos x ＋1 D ．x2＋2x 【答案】A
4．（·湖北卷） 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x ，则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为( )
A ．{1，3}
B ．{－3，－1，1，3}
C ．{2－7，1，3}
D ．{－2－7，1，3} 【答案】D
5．（·湖南卷） 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f(x)＝1
x2 B ．f(x)＝x2＋1 C ．f(x)＝x3 D ．f(x)＝2－x 【答案】A
6．（·湖南卷） 若f(x)＝ln(e3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________． 【答案】－32
7．（·江苏卷） 已知函数f(x)＝ex ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f(x)是R 上的偶函数．
(2)若关于x 的不等式mf(x)≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．
(3)已知正数a 满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x30＋3x0)成立．试比较ea －1与ae －1的大小，并证明你的结论．
8．（·全国卷）奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝() A．－2 B．－1
C．0 D．1
【答案】
D
9．（·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
【答案】3
10．（·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f(x)g(x)是偶函数
B ．|f(x)|g(x)是奇函数
C ．f(x )|g(x)|是奇函数
D ．|f(x)g(x)|是奇函数 【答案】C
11．（·四川卷） 设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f(x)＝
⎩
⎪⎨⎪⎧－4x2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．
【答案】1
【押题专练】
1．满足f(π＋x)＝－f(x)且为奇函数的函数f(x)可能是() A ．co s2x B ．si nx C ．sin x
2 D ．cosx
【答案】B.
2．设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x ，则f(1)＝() A ．－3 B ．－1 C ．1
D ．3
【答案】A
3．若函数f(x)＝ax ＋1
x (a ∈R)，则下列结论正确的是() A ．∀a ∈R ，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀a ∈R ，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C ．∃a ∈R ，函数f(x)为奇函数 D ．∃a ∈R ，函数f(x)为偶函数 【答案】C
4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()
A ．y ＝ln 1
|x| B ．y ＝x3 C ．y ＝2|x| D ．y ＝cos x
【答案】A.
5．对于定义在R 上的任何奇函数，均有()
A ．f(x)·f(－x)≤0
B ．f(x)－f(－x)≤0
C ．f(x)·f(－x)＞0
D ．f(x)－f(－x)＞0 【答案】A.
6．设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是() A ．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B ．f(x)－|g(x)|是奇函数 C ．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D ．|f(x)|－g(x)是奇函数 【答案】A.
7.
定义在R 上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是() A ．y ＝x2＋1 B ．y ＝|x|＋1
C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x≥0x3＋1，x ＜0
D ．y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ex ，x≥0e －x ，x ＜0
【答案】C.
8．f(x)＝1
x －x 的图象关于()
A ．y 轴对称
B ．直线y ＝－x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝x 对称 【答案】C.
9．若函数f(x)＝2x ＋2－x 与g(x)＝2x －2－x 的定义域为R ，则() A ．f(x)与g(x)均为偶函数 B ．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C ．f(x)与g(x)均为奇函数 D ．f(x )为偶函数，g(x)为奇函数
【答案】D.
10．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f ⎝⎛⎭
⎫－52＝() A ．－12B ．－14 C.14D.12
【答案】A.∵f(x)是周期为2的奇函数，
∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭
⎫12[来源:Z|xx|] ＝－2×12×⎝⎛⎭
⎫1－12＝－12.
11．设函数f(x)＝x(ex ＋ae －x)(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．
【答案】－1
12．函数f(x)在R 上为奇函数，且x ＞0时，f(x)＝x ＋1，则当x ＜0时，f(x)＝________.
【答案】－－x －1
13．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x ＋3)·f (x)＝－1，f(－1)＝2，则f()＝________.
【答案】－2
14．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2－1＋1－x2； (2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x2－2x ＋3x>0，0 x ＝0，－x2－2x －3 x<0.
15．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x2＋2x ，x>00，x ＝0x2＋mxx<0是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．
16．定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．②当x>0时，f(x)<0.
(1)求证：f(0)＝0；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)判断函数f(x)的单调性．
高考模拟复习试卷试题模拟卷
高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要
求
的。

1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的
S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．32
B ．155
C ．105
D ．33
12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽
到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4
f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是． 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
2.
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
）
0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所
成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值
20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计
22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，
3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
2211
π310π3663π
22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =
，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，
= 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知112MN AB =
，1122
NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，=AC
则MQ =
MQP △
中，MP = 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
222
+-=
= 又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝⎦
，
．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，
则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，
要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
23PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
24PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤， 则min 332242
PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点，
P
D C
B
A
∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ⋅+=-+
2
2
3324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
则其最小值为33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡
⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
()231cos 3cos 4
f x x x =-+-
令cos x t =且[]01t ∈， 21
34y t t =-++
2
31t ⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+= 414610S a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
()()
1
1
2222
1223
11n
k k
S
n n n n ==
+++
+⨯⨯-+∑
111
111121223
11n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭
122111n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15
cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22
ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， l F
N M C B A
O
y
x
∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯
0.66=
()()()0.4092P A P B P C ==
（2）
由计算可得2K 的观测值为
()2
22006266383415.705
10010096104
k ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．。