3a4 第4讲 测量
三年级奥数第4讲：错中求解(二)-教案
二、探索发现授课（42分）（一）例题3：（10分）欧拉在做一道乘法题时，把一个乘数个位上的1看成了7，乘积结果是231，实际应为213，这两个乘数各是多少？讲解重点：理解一个乘数个位数字增加几，积就增加另一个乘数的几倍。
师：先请全班同学齐读题目，我希望能听到每个同学的声音。
（生齐读题目）师：你们看这个题目跟我们上节课的题目有什么不一样呢？生：这道题两个乘数都不知道。
师：那我们知道哪些信息呢？（给学生几分钟小组讨论，老师下去互动）生：我们知道错误的乘积是231，正确的乘积是213。
师：还知道些什么呢？生：还知道一个乘数个位上的1被看成了7。
师：那么这个乘数增加了几？生：7-1=6，增加了6。
师: 这个乘数增加了6，对积会有什么影响呢？生：不知道。
师：我们举个例子，11×10=110，当11变成17时，积是多少？生：17×10=170。
师：那积是怎么变化的呢？生：积增加了170-110=60。
师：我们仔细观察一下，这个增加的60，跟不变的那个乘数，也就是10之间有什么倍数关系？生：60是10的6倍。
师：也就是11变成17，增加了6，它们的积就增加了另一个乘数的6倍，对吗？生：对！师：那我们回到这个题目中，把一个乘数个位上的1看成了7，乘积从213变成了231，这说明什么？生：一个乘数增加了6，积增加了231-213=18，也就是另一个乘数的6倍是18。
师：很好，这位同学说到重点了，我们知道了另一个乘数的6倍是18 ，是不是就能求出另一个乘数是多少了？生：是，18÷6=3。
师：那现在知道一个乘数是3，另一个乘数怎么求呢？生：乘数×乘数=积，所以另一个乘数=213÷3=71。
师：太好了，这下我们是不是做完了？大家都理解了吗？生：理解。
板书：。
上海七年级数学秋季 第4讲：整式的乘法
七年级数学04整式的乘法内容分析：本节课能够需要同学理解整式乘法的法则，能够熟练地进行单项式，多项式之间的乘法计算．通过与有理数乘法的分配律进行类比，加深对这些法则的理解．重点是熟练掌握单项式、多项式之间的乘法法则以及推导，并能够灵活应用．难点是分清单项式与单项式相乘中，幂的运算法则，单项式与多项式相乘时结果的符号的确定。
知识结构：模块一：单项式与单项式相乘知识精讲：1、单项式与单项式相乘的运算法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．2、单项式与单项式相乘的运算步骤（1）系数相乘的结果作为积的因数；（2）相同字母运用同底数幂的乘法法则计算；（3）把只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式．3、单项式与单项式相乘，积还是单项式．例题解析：【例1】计算：232(3)x x ⋅-的结果是（）．A .56x -B .56x C .62x -D .62x 【答案】【解析】【例2】()22123_________6xyz xy z xyz ⎛⎫-⋅-⋅= ⎪⎝⎭．【答案】【解析】【例3】计算：（1）()()523x xy x y -⋅⋅；（2）()2231(2)64p q pq pq ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭；（3）()()()3323222a b b a ab ⎡⎤-⋅-⋅-⋅⎣⎦．【答案】【解析】【例4】先化简，后求值：23332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0.4x =， 2.5y =-．【答案】【解析】【例5】若230x y <，化简：()75122xy x y -⋅--．【答案】【解析】模块二：单项式与多项式相乘知识精讲：1、单项式与多项式相乘法则用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相乘．2、单项式与多项式相乘的注意事项：（1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同（2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号的确定：同号相乘得正，异号相乘得负．例题解析：【例6】下列计算中，正确的是（）．A .()23236x x y x xy x-=-+B .232(283)4166m m m m m m-+-=-+-C .()2276176y x x x y xy y-+-=--+D .22(1)n n n a a a a -=-【答案】【解析】【例7】解方程：2(1)(25)12x x x x ---=，x 的值是（）．A ．2B ．1C ．4D ．0【答案】【解析】【例8】计算：（1）212516362x x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）321123123a a a a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】【解析】【例9】要使()()2356ax x x ++-的展开式中不含4x 项，则_____a =．【答案】【解析】【例10】设P 是一个多项式，且22453232P x y x y x ÷=-+，求P ．【答案】【解析】【例11】已知单项式M N 、满足222(3)6x M x x y N +=+，求M N 、．【答案】【解析】【例12】已知210a a --=，求代数式322016a a -+的值．【答案】【解析】【例13】已知()()2()56m x x n x m x x -⋅-++=+-对于任意数x 都成立，求(1)(1)m n n m -++的值．【答案】【解析】【例14】已知20a b +=，求332()48a ab a b b +++-的值．【答案】【解析】模块三：多项式与多项式相乘知识精讲：1、多项式与多项式相乘法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．例题解析：【例15】关于x 的二次三项式()()7x m x -+中的常数项为14，则m 的值是（）．A .2B .2-C .7D .7-【答案】【解析】【例16】()()2345_______n n n n x y x y -+=．【答案】【解析】【例17】多项式321x x -+与2357x x +-的乘积中含3x 的系数是（）．A .13-B .13C .11-D .11【答案】【解析】【例18】若()()275x x x Ax B +-=++，则_____A =，_____B =．【答案】【解析】【例19】已知()()2283x px x x q ++-+的展开式中不含23x x 、项，则_____p =，_____q =．【答案】【解析】【例20】先化简，再求值：232(1)(2)3(2)(3)x x x x x -+--++-，其中2016x =．【答案】【解析】【例21】解方程：()()()()()()221111432x x x x x x x x +++---+=+-．【答案】【解析】【例22】已知a b m 、、均是整数，且()2(12x a x b x mx ++=++），求m 的所有可能值．【答案】【解析】【例23】如果p q a 、、均为整数，p q >且()()28x p x q x ax ++=--，求所有可能的a 值及对应的p q 、的值．【答案】【解析】【例24】阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若123456789123456786x =⨯，123456788123456787y =⨯，试比较x y 、的大小．设123456788a =，那么()21(2)2x a a a a =+-=--，2(1)y a a a a =-=-．因为()()22220x y a a a a -=----=-<，所以x y <．看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧！若20072007200720112007200820072010x =⨯-⨯，2007200820072012y =⨯-2007200920072011⨯，试比较x y 、的大小．【答案】【解析】随堂检测：【习题1】下列式子计算结果是256x x --的是（）．A .()()61x x -+B ．()()23x x -+C .()()61x x +-D .()()23x x +-【答案】【解析】【习题2】()222212________2x y xy ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【答案】【解析】【习题3】一个三项式与一个二项式相乘，在合并同类项之前，积的项数是（）．A ．五项B ．六项C ．三项D ．四项【答案】【解析】【习题4】若212n n ++=，则()()56_______n n -+=．【答案】【解析】【习题5】若()()2242y my y y n ++-+的乘积中不含2y 和3y 项，则____m =，____n =．【答案】【解析】【习题6】计算：（1）()222114323ab ab ab b ⎛⎫-⋅-⋅ ⎪⎝⎭；（2）()()2221121(36)3x x x x x x x --++-+；（3）()()()()3223334x y x y x y x y ++--+．【答案】【解析】【习题7】先化简，再求值：()()33242212312a ab a b a b ab ⎛⎫-⋅--+- ⎪⎝⎭，其中1a =-，2b =．【答案】【解析】【习题8】试证明代数式()()()233263516x x x x x ++-+++的值与x 的值无关．【答案】【解析】【习题9】计算：32003200220032004-⨯⨯．【答案】【解析】【习题10】已知()()2246x ay x by x xy y ++=--，求代数式()32a b ab +-的值．【答案】【解析】【习题11】一个长方形的长增加4厘米，宽减少1厘米。
牛津苏教版英语三年级上册3AUnit4Goodbye重难点讲解素材(2020年最新)
Unit 4 Goodbye
一、ABC≠Ａ、B、C
同学们都知道A、B和C是英语字母表中排列在最前面的三个大写字母。
但你们知道
吗，ABC却不等于A、B、C。
这是怎么回事呢?原来，在英语中，ABC是一个词，意思是“字母”或“字母表”；而A、B、C则表示的是三个不同的字母。
例如：
I can saymyABC．我会念字母。
另外，ABC作名词用的时候，还可以用来表示“初步”、“入门”、“基础”。
例如：
ABC of English 英语基础知识
ABC还可以用来修饰其他的名词。
例如：
ABC book 入门书
的区别吗?
二、你知道“Goodbye．”“Bye-bye．”“Bye．”“See you
．”和“Good night!”
同学们，我们在这一单元中学习了好几句关于道别的用语，那么你们还知道哪些其他的
道别用语?并且，你们知道它们之间的区别吗?
在这一单元中我们已经学习了“Goodbye．”这句话。
但你们知道吗，“Goodbye．”还可以说成“Bye-bye．”或“Bye．”。
在英语中它们都表示“再见”的意思，但它们之间在语气上有
一些细微的差别。
“Goodbye．”在语气上较正式一些；“Bye-bye．／Bye．”在语气上较随便一些；“See you．”的意思是“再见”，后面可以接一个表示再次见面的时间。
如：See you later．一会儿见。
Sec you tomorrow．明天见。
意思是“晚安”，用于晚上分别时或就寝前的相互道别。
而“Good night! ”。
第四讲：司线员工作程序
二、司线员执法技术
2、手势 （1）好球手势： 在活球期间或者在一分的最后一击时，司线员 应该对较近的球做出好球手势。双臂伸直，五指 紧闭，两手并拢指向下方，手背朝向主裁。 （2）出界/发球出界手势： 先呼报后手势，手臂充分伸直外展指向球出界 的方向，五指紧闭，手心对着主裁。如果发球线 和端线司线员坐在主裁判的同侧，为了主裁判能 清晰地看到手势，司线员应当将同侧手臂向前伸 出，手心朝向主裁。
二、司线员执法技术
（3）脚误/擦网/更正手势： 一只手臂伸直上举，手心朝向主裁同时 呼报“footfault”或“net”或“correction”。 （4）没看见手势： 双手置于面前，五指紧闭，手背朝向主 裁，高度不超过双眼。
二、司线员执法技术
3、发球线的观察 在运动员挥拍发球时，发球司线员应把视线迅速地集中 在发球线上。发球线是在短时间内需要注意力集中的一条 线。要注意的是不要把视野聚焦于太远的地方以至于当球 在离发球线司线员较近的区域是发生看不见球的情况。 4、端线的观察 端线司线员应该调整座椅的角度，（直对发球线和远边 线的交叉点）。 端线司线员在看完脚误后眼睛应该跟球；但是在预判球 将可能落到端线附近时，司线员要在球落地之前把视线集 中在端线上。所以在一分当中需要注意力高度集中。
第四讲竞赛裁判委员会主任
2009.6.29
一、司线员职责
1、在他（她）所负责的线上做出准确的呼 报，比赛当中始终保持注意力的高度集中 和警觉性。 2、当球出界时立刻大声呼报“out”或“fault”。 3、做出正确的手势。 4、在不干扰运动员的情况下，找到最佳看球 的位置。 5、在被运动员遮挡无法做出呼报时，立刻做 出“没看见”手势。
一、司线员职责
• 6、在做出错误呼报时，立刻做出更正。 （correction） • 7、正确对待主裁判的改判，运动员的任何 询问和质疑交由主裁判处理。 • 8、在做端线和边线时需检查并呼报脚误。 （footfaut） • 9、当运动员违反行为准则而主裁判未能发 现时，司线员应立即向主裁判报告。
第四讲：主理想整环上的模及其分解
數學傳播32卷1期,pp.25-47線性代數五講一一第四講主理想整環上的模及其分解龔昇·張德健4.1.環上的模的基本概念A.在第二講及第三講中,我們討論了向量空間及其上線性變換,在這一講及下一講中將從模的觀點來重新認識之,這是本書的主要部份,在這一講中,將介紹模的定義和基本性質,尤其是在主理想整環上的模及其分解。
若V體F上的一個向量空間,T∈L(V)。
對F[x]中任一多項式p(x),對任意 v∈V,可定義p(x) v=p(T)( v),這就是我們要討論作用在V上的線性算子。
顯然對任意r(x),s(x)∈F[x], u, v∈V有r(x)( u+ v)=r(x) u+r(x) v,(r(x)+s(x)) u=r(x) u+s(x) u,(r(x)s(x)) u=r(x)(s(x) u),1 u= u,等等。
但是F[x]不是體而是環,所以F[x]中元素對V作純量乘積,V不能成為一個向量空間。
於是引入了比向量空間更為一般的概念:模。
定義4.1.1:若R是有單位元的交換環,其元素稱為純量(scalar)。
一個R−模(R−module),或R上的一個模(a module over R)是一個非空集合M,有運算加法,記作+,對( u, v)∈M×M,有 u+ v∈M;另一個是R與M的運算是純量乘積,用毗連來表示,對(r, v)∈R×M,有r v∈M,而且有1.M對加法而言是Abel群;2.對所有r,s∈R, u, v∈M有2526數學傳播32卷1期民97年3月a.(分配律):r( u+ v)=r u+r v,(r+s) u=r u+s v;b.(結合律):(r s) u=r(s u),c.1 u= u.顯然當R為體,則模為向量空間,即體上的模就是向量空間。
當R=Z(整數環),則Z−模就是Abel群,故模也是Abel群的概念之擴充。
特別重要的是在第一講開始就說到的R=F[x],若F是體,則由定理1.2.1,F[x]是主理想整環,於是可以定義F[x]−模,這是我們今後要主要討論的對象。
第4讲整式的乘法(3个知识点+3种题型+过关检测)(教师版) 24-25学年七年级数学上册(沪教版)
第04讲 整式的乘法（3个知识点+3种题型+过关检测）知识点1：单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.【要点归纳】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.知识点2：单项式与整式相乘单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.【要点归纳】（1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.知识点3：整式与整式相乘整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.【要点归纳】整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积.整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.题型一：单项式乘单项式（共9小题）1．（2022秋•嘉定区校级期末）计算221(6)3a b ab ×-= 332a b - ．【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算．【解答】解：221(6)3a b ab ×-221(6)())3a ab b =-´××××332a b =-，故答案为：332a b -．【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2．（2023秋•静安区校级月考）计算，结果用科学记数法表示：53(310)(510)-´´´= 91.510-´ ．【分析】运用整式乘法的运算法则和科学记数法知识进行运算．【解答】解：53(310)(510)-´´´53[(3)5](1010)=-´´´81510=-´91.510=-´故答案为：91.510-´．【点评】此题考查了整式乘法和科学记数法的混合运算能力，关键是能准确确定运算方法，并能进行正确的计算．3．（2023秋•闵行区校级月考）674(310)(510)(410)´´´= 18610´ ．【分析】根据单项式乘单项式法则计算后利用科学记数法表示出结果即可．【解答】解：原式1735410=´´´176010=´18610=´，故答案为：18610´．【点评】本题考查单项式乘单项式及科学记数法表示较大的数，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．4．（2022秋•杨浦区期中）计算：32347(2)()x x x x x -×-×+-．【分析】直接利用积的乘方运算法则、单项式乘单项式分别化简，进而合并同类项得出答案．【解答】解：原式6774x x x x =×--7774x x x =--72x =．【点评】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（2023秋•闵行区期中）计算：522312()(2)()2x x x x ×---×-．【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．【解答】解：原式526128()2x x x x =×-×7724x x =-72x =-．【点评】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．（2023秋•奉贤区期中）计算：37423256(2)5()x x x x x ×-×--．【分析】先根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方进行化简，再运用同类项法则进行合并，即可作答．【解答】解：原式3742325685x x x ++´´=+-101010685x x x =+-109x =．【点评】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．7．（2023秋•奉贤区期中）计算：423223()()(3)2a a a a a a -×---××．【分析】根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则、合并同类项法则计算即可．【解答】解：原式4266()92a a a a =×---66692a a a =---612a =-．【点评】本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．8．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：2232(3)(2)a b ab ab ×-+．【分析】利用单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：2232(3)(2)a b ab ab ×-+333368a b a b =-+332a b =．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．9．（2023秋•闵行区校级期中）计算：37423253(2)3()x x x x x ×-×--．【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，进行计算即可求解．【解答】解：37423253(2)3()x x x x x ×-×--1046103(8)3x x x x =-´--101010383x x x =+-108x =．【点评】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算法则是解题的关键．题型二：单项式乘整式（共11小题）10．（2023秋•奉贤区期中）计算：23(2)x x x ---= 32336x x x -++ ．【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出答案．【解答】解：23(2)x x x ---23(3)(3)2x x x x x =-×--×--´32336x x x =-++．故答案为：32336x x x -++．【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．11．（2023秋•松江区期末）计算：2(23)x y -= 46x xy - ．【分析】根据单项式乘多项式的法则计算即可．【解答】解：2(23)46x y x xy -=-，故答案为：46x xy -．【点评】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．12．（2023秋•浦东新区期中）计算：21(1)(3)3x x x +-×-= 3233x x x --+ ．【分析】直接利用单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算得出答案．【解答】解：原式3233x x x =--+．故答案为：3233x x x --+．【点评】此题主要考查了单项式与多项式相乘的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．13．（2023秋•奉贤区期中）计算：223(2)a a ab b -×-+．【分析】利用单项式乘多项式法则计算即可得到结果．【解答】解：原式322336a a b ab =-+-．【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2023秋•宝山区校级月考）计算：32212(2)(3)23x x x x --+×-．【分析】先计算积的乘法，再利用单项式乘以多项式的乘法法则计算即可．【解答】解：32212(2)(3)23x x x x --+×-32212(2923x x x x =--+×33292(2)23x x x =--+6539932x x x =-+-．【点评】本题考查单项式的乘法，熟练掌握积的乘方和单项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键．15．（2023秋•青浦区校级期中）计算：2221(23)52x x x xy y xy --++．【分析】根据单项式乘多项式的计算方法进行计算即可．【解答】解：原式2222212352x x x y xy xy =-+-+222322x x y xy =-++．【点评】本题考查单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的计算方法以及合并同类项法则是正确解答的前提．16．（2023秋•浦东新区期中）计算：23[2(2)2(2)]2x x x y y x y x -+--+．【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项，进而得出答案．【解答】解：原式2223(2442)2x x xy xy y x =-+-++222324422x x xy xy y x =--+-+232x y =-．【点评】此题主要考查了单项式乘多项式运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．17．（2023秋•松江区月考）计算：32222442(3)()3()(3)3xy x y x x y xy x ×-+-×--．【分析】先根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可．【解答】解：32222442(3)()3()(3)3xy x y x x y xy x ×-+-×--33244544227()333x y x y x x y x y xy =×-+×++54545441833x y x y x y xy =-+++544143x y xy =-+．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘[()m n mn a a =，m ，n 为正整数]．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘[()n n n ab a b =，n 为正整数]．18．（2023秋•松江区月考）计算：2432216(2)()32xy y xy xy -+-．【分析】先算单项式乘多项式，积的乘方，再合并同类项即可．【解答】解：2432216(2)()32xy y xy xy -+-3262611244xy x y x y =-+32615124xy x y =-．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．19．（2023秋•闵行区校级月考）计算：229(2)()x x xy y xy --+-．【分析】先计算单项式乘单项式，再根据单项式乘多项式运算法则进行运算即可．【解答】解：229(2)()x x xy y xy --+-2229(2)x y x xy y =---+432231899x y x y x y =+-．【点评】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握幂的运算是关键．20．（2022秋•青浦区期中）试用整式的运算说明：当10y z +=时，我们计算xy xz ´可以将十位数字与十位数字加一相乘的结果顺次写在千位和百位，将两个数个位数字的乘积顺次写在十位和个位，如果乘积不足两位数可以用0补齐十位．（例：计算3139´时，可以口算3412´=，199´=，则最终结果为1209)【分析】根据10,10xy x y xz x z =+=+，转换成多项式乘以多项式计算说明即可．【解答】解：因为10xy x y =+，10xz x z =+，10y z +=，所以(10)(10)xy xz x y x z ´=++，22100100101010x x xy xy y y =+-++-100(1)(10)100(1)x x y y x x yz =++-=++．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握两位数的表示法，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．题型三：整式乘整式（共10小题）21．（2023秋•静安区校级月考）如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(23)a b +，宽为()a b +的大长方形，则需要C 类卡片( )A ．2张B ．3张C ．4张D ．5张【分析】由22(23)()253a b a b a ab b ++=++，得A 类卡片的面积为2a ，B 类卡片的面积为2b ，C 类卡片的面积为ab ，因此需要A 类卡片2张，B 类卡片3张，C 类卡片5张．【解答】解：长为(23)a b +，宽为()a b +的大长方形的面积为：22(23)()253a b a b a ab b ++=++，A Q 类卡片的面积为2a ，B 类卡片的面积为2b ，C 类卡片的面积为ab ，\需要A 类卡片2张，B 类卡片3张，C 类卡片5张．故选：D ．【点评】本题考查了多项式乘法，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．22．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(3)a b +，宽为(2)a b +的大长方形，则需要A 类、B 类和C 类卡片的张数分别为( )A ．2，5，3B ．3，7，2C ．2，3，7D ．2，5，7【分析】根据多项式乘多项式的运算法则可求出长方形的面积．【解答】解：长方形的面积为22(3)(2)273a b a b a ab b ++=++，A Q 类卡片的面积为2a ，B 类卡片的面积为2b ，C 类卡片的面积为ab ，\需要A 类卡片2张，B 类卡片3张，C 类卡片7张．故选：C ．【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是正确求出长方形的面积，本题属于基础题型．23．（2023秋•浦东新区期末）若2(2)(3)x x x px q +-=++，则p 的值为( )A ．5-B ．1-C ．5D ．1【分析】先根据多项式乘多项式法则，计算出(2)(3)x x +-的结果，然后求出p 的值即可．【解答】解：(2)(3)x x +-Q 2326x x x =-+-26x x =--，2(2)(3)x x x px q +-=++，1p \=-，故选：B ．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．24．（2023秋•浦东新区期末）计算：(21)(32)x x -+= 262x x +- ．【分析】直接利用多项式乘法运算法则去括号， 进而合并同类项得出即可 ．【解答】解： 原式22643262x x x x x =+--=+-．故答案为：262x x +-．【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式， 正确掌握运算法则是解题关键 ．25．（2023秋•普陀区校级期末）计算：1(3)(912)2x x +-= 2921362x x +- ．【分析】根据多项式乘多项式运算法则，准确计算．【解答】解：1(3)(912)2x x +-1(912)3(912)2x x x =-+-29627362x x x =-+-2921362x x =+-．故答案为：2921362x x +-．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是关键．26．（2023秋•崇明区期末）计算：(32)(2)a b a b +-= 22344a ab b -- ．【分析】利用多项式乘多项式的乘法展开计算，进一步合并即可．【解答】解：原式223624a ab ab b =-+-22344a ab b =--．故答案为：22344a ab b --．【点评】此题考查多项式乘多项式，掌握计算方法是解决问题的关键．27．（2023秋•青浦区期末）如图，现有边长为a 的正方形A 、边长为b 的正方形B 和长为2b 宽为a 的长方形C 的三类纸片（其中)a b >．用这三类纸片拼一个长为26a b +、宽为3a b +的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C 类纸片 10 张．【分析】根据长方形的面积=长´宽，求出长为26a b +、宽为3a b +的长方形的面积是多少，判断出需要C 类卡片多少张即可．【解答】解：长为26a b +、宽为3a b +的长方形的面积为：22(26)(3)6206a b a b a ab b ++=++，Q 正方形A 的面积为2a ，正方形B 的面积为2b ，长方形C 的面积为2ab ，\需要A 类卡片6张，B 类卡片6张，C 类卡片10张，故答案为：10．【点评】本题考查了多项式乘以多项式的运算方法，解题关键是熟练掌握运算法则．28．（2022秋•青浦区期中）已知222(2)(235)x ax bx x x -++-+的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为 2- ．【分析】利用多项式乘多项式法则将原式展开，根据题意展开式中不含三次项和四次项，可得220a -=，3320a b -++=，求解即可得a ，b 的值，然后代入求值可确定展开式中二次项和一次项的系数，求和即可得答案．【解答】解：222(2)(235)x ax bx x x -++-+4324323222352352354610x x x ax ax ax bx bx bx x x =-+-+-+-++-+432(22)(332)(5534)(56)10a x a b x a b x b x =-+-+++--++-+，根据题意，展开式中不含三次项和四次项，220a \-=，3320a b -++=，解得1a =，0b =，55345513044a b \--+=-´-´+=，565066b -=´-=-，即展开式中二次项系数为4，一次项的系数为6-，\展开式中二次项和一次项的系数之和为4(6)2+-=-．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式运算、多项式相关概念、代数式求值等知识，熟练掌握多项式乘多项式运算法则，正确展开原式是解题关键．29．（2022秋•青浦区期中）计算：232(1)(1)n n n n x x x x ++-+．【分析】根据多项式乘以多项式的法则，即可得出结论．【解答】解：232(1)(1)n n n n x x x x ++-+54243321n n n n n n n n x x x x x x x x =-++-++-+51n n x x =++．【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确运用同底数幂的乘法是解题的关键．30．（2022秋•长宁区校级月考）计算：(2)(31)3(1)(25)x x x x -+-+-．【分析】根据整式的混合运算法则先算乘法，然后计算加减即可求解．【解答】解：(2)(31)3(1)(25)x x x x -+-+-223623(2525)x x x x x x =+----+-223526915x x x x =---++23413x x =-++．【点评】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则和顺序．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•浦东新区校级期中）下列运算中，正确的是( )A ．236()x x -=B ．236236m m m ×=C ．333()xy x y -=-D ．22244(3)6a b a b =【分析】根据单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A 、236()x x -=-，故本选项错误，不符合题意；B 、235236m m m ×=，故本选项错误，不符合题意；C 、333()xy x y -=-，故本选项正确，符合题意；D 、22244(3)9a b a b =，故本选项错误，不符合题意；故选：C ．【点评】此题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．2．（2023秋•浦东新区校级期末）53(410)(2510)´´´的计算结果是( )A ．810010´B ．17110´C ．10110´D ．1510010´【分析】运用单项式乘单项式和科学记数法知识进行求解、辨别．【解答】解：53(410)(2510)´´´53(425)(1010)=´´´810010=´10110=´，故选：C ．【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．3．（2023秋•松江区月考）2123(2)(0.5)()4m n n m x y x y x y --×-×的结果是( )A ．2122m n x y +-B ．22234m n x y -C ．21234m nx y +D ．212234m n x y ++【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．【解答】解：2123(2)(0.5)()4m n n m x y x y x y --×-×21232(0.5)4m m n n x y ++-++=-´-´212234m n x y ++=．故选：D ．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．（2023秋•闵行区校级月考）若m 、n 为整数，且2()()12x m x n x ax ++=++，则a 不可能是( )A ．7B ．6C ．13-D ．8-【分析】根据12mn =，m 、n 为整数，可得m 、n 有6组值，分别计算即可得出a 的值，从而作出判断．【解答】解：2()()12x m x n x ax ++=++Q ，22()12x m n x mn x ax \+++=++，即12mn =，m Q 、n 为整数，12112(1)(12)26(2)(6)34(3)(4)=´=-´-=´=-´-=´=-´-，1m \=，12n =或1m =-，12n =-或2m =，6n =或2m =-，6n =-或3m =，4n =或3m =-，4n =-，13m n \+=或13m n +=-或8m n +=或8m n +=-或7m n +=或7m n +=-，即a 的值为13±，8±，7±，不可能为6，故选：B ．【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意不要漏解．5．（2023秋•静安区校级月考）若单项式8a x y -和214b x y 的积为562x y -，则ab 的值为( )A ．2B ．30C ．15-D ．15【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a ，b 即可，【解答】解：2215618224a b a b x y x y x y x y ++-´=-=-，25a \+=，16b +=，解得3a =，5b =，3515ab \=´=，故选：D ．【点评】此题考查了单项式乘单项式，关键是求得a ，b 的值．二．填空题（共8小题）6．（2023秋•宝山区期末）计算：223a a ×= 36a ．【分析】先把系数相乘，然后利用同底数幂的乘法计算．【解答】解：原式36a =．故答案为：36a ．【点评】本题考查了单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是关键．7．（2023秋•普陀区校级期末）计算：38321()711a a ×-= 11911a - ．【分析】根据单项式乘单项式运算法则，准确计算．【解答】解：3838113213219()71171111a a a a a ×-=-´×=-．故答案为：11911a -．【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式运算法则是关键．8．（2023秋•普陀区期末）计算：(5)(2)x y x y -+= 22295x xy y -- ．【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，根据多项式乘多项式的法则计算即可．【解答】解：(5)(2)x y x y -+222105x xy xy y =+--22295x xy y =--．故答案为：22295x xy y --．【点评】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟记法则，运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．9．（2023秋•静安区校级月考）若22(8)(3)x ax x x b ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，a b += 4 ．【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后结合不含2x 和3x 项，求出3a =，1b =，即可求出答案．【解答】解：22(8)(3)x ax x x b ++-+432322338248x x bx ax ax abx x x b=-++-++-+432(3)(38)(24)8x a x b a x ab x b =+-+-++-+，Q 其结果中不含2x 和3x 项，30a \-=，380b a -+=，解得：3a =，1b =，314a b \+=+=．故答案为：4．【点评】本题考查了多项式乘以多项式、代数式求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．10．（2022春•冷水滩区校级期中）若二项式3x a +与2x +相乘，化简后结果中不出现一次项，则a 的值是 6- ．【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不出现一次项确定出a 的值即可．【解答】解：根据题意得：2(3)(2)3(6)2x a x x a x a ++=+++，由结果中不出现一次项，得到60a +=，解得：6a =-，故答案为：6-．【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2022秋•杨浦区期末）已知：3a b +=，23ab =，化简(1)(1)a b --的结果是 43- ．【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：3a b +=Q ，23ab =，\原式24()13133ab a b =-++=-+=-．故答案为：43-．【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2022秋•浦东新区校级期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为(2)a b +，宽为(3)a b +的矩形．则需要A 类卡片 2 张，B 类卡片 张，C 类卡片 张．【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量．【解答】解：长为2a b +，宽为(3)a b +的矩形面积为：22(2)(3)273a b a b a ab b ++=++，A Q 类卡片的面积为2a ，B 类卡片的面积为2b ，C 类卡片的面积为ab ，\需要A 类卡片2张，B 类卡片3张，C 类卡片7张．故答案为：2；3；7．【点评】本题考查了多项式与多项式的乘法运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．13．（2022秋•长宁区校级期中）若p 、q 、r 均为整数(0)p q >>，且2()()15x p x q x rx ++=--，则r 的值为 2或2-或14或14- ．【分析】将()()x p x q ++展开，根据结果得到p q r +=-，15pq =-，再结合p ，q 的范围求出具体值，代入计算可得r 值．【解答】解：22()()()15x p x q x p q x pq x rx ++=+++=--，则p q r +=-，15pq =-，p Q 、q 、r 均为整数(0)p q >>，5p \=，3q =-或3p =，5q =-，15p =，1q =-或，1p =，15q =-，()2r p q \=-+=±或()14r p q =-+=±，故答案为：2或2-或14或14-．【点评】本题考查了多项式乘法，解题的关键是根据要求求出具体的p ，q 值．三．解答题（共8小题）14．（2023秋•松江区月考）计算：242345(2)x x x ×+-．【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可．【解答】解：242345(2)x x x ×+-66208x x =-612x =．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即()(m n mn a a m =，n 是正整数）．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()(n n n ab a b n =是正整数）．15．（2023秋•闵行区校级月考）计算：（1）(32)(76)m n m n +-；（2）2323()()()[()]b a a b b a a b ---+-．【分析】（1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可；（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘分别计算即可．【解答】解：（1）(32)(76)m n m n +-2221181412m mn mn n =-+-2221412m mn n =--；（2）2323()()()[()]b a a b b a a b ---+-236()()()()b a b a b a a b =---+-66()()b a a b =-+-66()()a b a b =-+-62()a b =-．【点评】本题考查了多项式乘多项式，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．（2023秋•松江区月考）计算：2(35)(23)(41)x x x x ---+．【分析】先算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项即可．【解答】解：2(35)(23)(41)x x x x ---+2261082123x x x x x =---++223x =-+．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．17．（2023秋•松江区月考）若22(3)(3)x nx x x m -+++的展开式中不含2x 和3x 项，求m 、n 的值．【分析】求多项式乘多项式的展开式为43232233393x x mx nx nx mnx x x m ++---+++，根据题意可得30n -=，330m n -+=，计算求解即可．【解答】解：22(3)(3)x nx x x m -+++43232233393x x mx nx nx mnx x x m=++---+++432(3)(33)93x n x m n x mnx x m =+-+-+-++，Q 展开式中不含2x 和3x 项，30n \-=，330m n -+=，解得：6m =，3n =．【点评】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算．18．（2023秋•武侯区校级期末）若2228()(3)3x px x x q ++-+的展开式中不含2x 和3x 的项．（1）求p ，q 的值；（2）求代数式23120142016(2)(3)p q pq p q --++的值．【分析】（1）把首先利用多项式乘多项式法则进而得出原式的展开式的2x 项和3x 项，进而组成方程组得出p ，q 的值；（2）把p ，q 的值代入代数式即可求得答案．【解答】解：（1）2228(3)3x px x x q ++-+Q 4323222828332833x x qx px px pqx x x q =-++-++-+4322828(3)(3)(28)33x p x q p x pq x q =+-++-++-+，\原式的展开式的2x 项和3x 项分别是28(33q p -+，3(3)p x -+，依据题意得：2830330q p p ì-+=ïíï-+=î，解得：313p q =ìïí=-ïî．故p 的值是3，q 的值是13-；（2）23120142016(2)(3)p q pq p q --++23120142016111[23()][33(3()333-=-´´-+´´-+´-31216(3)(3-=+-+-1121639=-+72159=．【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确展开多项式是解题关键．19．（2024•灞桥区校级开学）如图，某校园内有一块长为(2)a b m +，宽为(2)a b m -的长方形空地()a b >．为美化环境，计划在这块空地上修建一个长为(2)a b m -，宽为bm 的长方形花圆，并将花圆四周余下的空地修建成通道，请用含有a 、b 的代数式表示通道的面积．【分析】先根据通道的面积=长方形空地的面积-长方形花园的面积列出算式，然后根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可．【解答】解：根据题意得，通道的面积为(2)(2)(2)a b a b a b b+---2224(2)a b ab b =---22242a b ab b =--+22(42)a ab m =-．【点评】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，列出算式．20．（2023秋•静安区校级月考）探究应用：（1）计算：2(1)(1)x x x -++= 31x - ；22(2)(42)x y x xy y -++= ．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a 、b 的等式表示该公式为： ．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．A ．2(2)(24)m m m +++B ．22(2)(22)m n m mn n -++C ．2(3)(93)n n n -++D ．22()(2)m n m mn n -++（4）设9101A =-，利用上述规律，说明A 能被37整除．【分析】（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；（3）判断各选项是否符合公式的特点；（4）公式的逆用，求得A 中有37的因数即可．【解答】解：（1）2(1)(1)x x x -++3221x x x x x =++---31x =-；22(2)(42)x y x xy y -++32222384242x x y xy x y xy y =++---338x y =-；故答案为：31x -；338x y -；（2）从第（1）问发现的规律是：2233()()a b a ab b a b -++=-，故答案为：2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）A ．第一个多项式不是减法，不符合题意；B ．最后一项应该是24n ，不符合题意；C ．符合题意；D ．第二个多项式的第二项应该为mn ，不符合题意．故选：C ．（4）9101A =-33(10)1=-3632(101)(10101)=-++9991001001=´333371001001=´´´´，A \能被37整除．【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查学生的计算能力，能对公式进行逆用是解题的关键．21．（2023秋•右玉县期末）综合与实践如图1，长方形的两边长分别为1m +，7m +；如图2．长方形的两边长分别为2m +，4m +．（其中m 为正整数）E ．（1）图1中长方形的面积1S = 287m m ++ ；图2中长方形的面积2S = ；比较1S 2S （选填“<”、“ =”或“>” )；（2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．①求正方形的边长；（用含m 的代数式表示）②试探究：该正方形的面积S 与图1中长方形的面积1S 的差（即1)S S -是一个常数，并求出这个常数．【分析】（1）根据长方形的面积=长´宽，求出图1和图2中长方形的面积，再求出它们的面积差，通过比较，求出答案即可；（2）①先求出图1中长方形的周长，然后根据正方形的周长与图1中的长方形周长相等，求出正方形周长，从而求出正方形边长即可；②由①中所求正方形的边长，从而求出正方形的面积，再求出该正方形的面积S 与图1中长方形的面积1S 的差即可．【解答】解：（1）由题意可知：1(1)(7)S m m =++277m m m =+++287m m =++，2(2)(4)S m m =++2428m m m =+++268m m =++，12S S \-22(87)(68)m m m m =++-++228768m m m m =++---21m =-，m Q 为正整数，m \最小为1，210m \->，12S S \>，故答案为：287m m ++，268m m ++，>；（2）①图1中长方形的周长为：2(71)m m +++2(28)m =+416m =+，Q 正方形的周长与图1中的长方形周长相等，\正方形的周长为416m +，\正方形的边长为1(416)44m m +=+；②Q 正方形的面积2(4)S m =+，1S S \-22(4)(87)m m m =+-++2281687m m m m =++---2288167m m m m =-+-+-9=，\该正方形的面积S 与图1中长方形的面积1S 的差（即1)S S -是一个常数，这个常数为9．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、长方形和正方形的面积公式与周长公式．。
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
51－2k 1 ＝5＋ ＝5×2k－1. 1－2 故 n＝k＋1 时公式也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N＋有 an＝5×22n－2. 所以数列{an}的通项
5， an＝ － 5×2n 2，
n＝1， n≥2.
归纳法是证明有关正整数n的命题的一种方法，应用
广泛．用数学归纳法证明一个命题必须分两个步骤：第一 步论证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步推证命 题正确性的可传递性，是递推的依据．两步缺一不可，证 明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征．
b2 2
b1
bn
③
用数学归纳法证明如下： (1)当 n＝1 时，b1＝1，有 a1≤a1，③成立． (2)假设当 n＝k 时，③成立，即若 a1，a2，…，ak 为非负 实数，b1，b2，…，bk 为正有理数， 且 b1＋b2＋…＋bk＝1，则 a 1 ＋akbk. 当 n＝k＋1 时，已知 a1，a2，…，ak，ak＋1 为非负实数， b1，b2，…，bk，bk＋1 为正有理数， 且 b1＋b2＋…＋bk＋bk＋1＝1，
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
1 对一切正整数 n∈N＋，有 1<an< . 1－a
[证明] 命题成立．
1 (1)当 n＝1 时，a1>1，又 a1＝1＋a< ， 1－a
(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，命题成立， 1 即 1<ak< . 1－a ∴当 n＝k＋1 时，由递推公式，知 1 ak＋1＝a ＋a>(1－a)＋a＝1. k
1－a2 1 1 同时，ak＋1＝a ＋a<1＋a＝ < ， 1－a 1－a k 1 ∴当 n＝k＋1 时，命题也成立，即 1<ak＋1< . 1－a 1 综合(1)、 (2)可知， 对一切正整数 n， 1<an< 有 . 1－a
六年级上册奥数试题：第4讲 最大与最小 全国通用(含答案)
第4讲最大与最小知识网络人们经常考虑有关“最”的问题，如最大、最小、最多、最少、最快、最慢等。
这类求最大值、最小值的问题是一类重要典型的问题，我们在实际生产和生活中经常遇到。
在本书的学习中我们经常要用到以下几个重要结论：（1）两个数的和一定，那么当这两个数的差最小时，它们的积最大。
（2）三个数a、b、c，如果a+b+c一定，只有当a=b=c时，a×b×c的积才能最大。
（3）两个数的积一定，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。
（4）在所有周长相等的n边形中，以正n边形的面积最大。
（5）在周长相等的封闭平面图形中，以圆的面积为最大。
（6）在棱长的和一定的长方体中，以长、宽、高都相等的长方体，即正方体的体积最大。
（7）在所有表面积一定的几何体中，球体体积最大。
重点·难点本节所涉及的题型较多，但一般都要求根据一个不变量来确定另一变量的最大值或最小值。
如何根据题意，灵活运用不同的方法来求出表达式，再求最值，或直接求最值是本讲的重点。
这就要求我们不能太急于入手，不妨从一些比较简单的现象或数字开始，找出规律，进而解决问题。
学法指导解决本节问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：（1）从极端情形入手。
（2）枚举比较。
（3）分析推理。
（4）构造。
[例1]不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为多少？思路剖析两个最小的不同的奇合数为9和15，9+15=24，因此小于24的偶数都不能写成两个不同的奇合数之和。
下面我们只需要考虑大于24的偶数即可。
15后面的一个奇合数为21，9+21=30，所以比24大比30小的偶数也不能写成两个不同的奇合数之和。
32也不能，34=9+25，36=9+27，38不能，40=15+25，42=15=27，44=9+35，…此时初步确定不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为38。
解答根据以上分析，我们初步确定所求的最大偶数为38，下面我们给予证明。
第四讲 燕尾模型 答案
第四讲 蝴蝶模型每周一爽【例1】（难度等级 ※）如图，M 为AB 中点，N 是BC 上一点，CN=2BN ．连结AN 交MC 于0点，若四边形BMON 的面积为14cm 2，则△ABC 的面积是_________cm 2【分析与解】 联结OB 。
不妨把△BMO 的面积视为1 ，因为M 为AB 中点，所以S △AMO=1 ，根据燕尾定理可知S △ABO ：S △AOC = BN ：CN = 1 ：2 ，所以S △AOC = 4 ，那么S △ACM=5 ，可得S △BCM=5 ，进而得 S △BCO=4 。
又因为S △NBO ：S △NCO = BN ：CN = 1 ：2 ， S △NBO+S △NCO=S △BCO ，所以 S △NBO=43，S △NCO =83。
阴影面积=S △BMO+ S △NBO=1+43=73，对应14 cm 2 ，S △ABC=1+1+4+4=10份，是60 cm 2【例2】（难度等级 ※※）如右图，已知 B D = D C ， E C = 2AE ，三角形 A BC 的面积是 30，求阴影部分面积。
【分析与解】联结CF ,因为BD=DC,EC=2AE, 三角形 A BC 的面积是 30, 所以1103ABEABC S S ∆∆==，1152ABD ABC S S ∆∆==根据燕尾定理，12ABFCBFS AE S EC∆∆==，1ABF ACFS BDS CD∆∆==， 所以17.54ABF ABC S S ∆∆==，157.57.5BFD S ∆=−= 所以阴影部分的面积是30-10-7.5=12.5【例3】（难度等级 ※※）如图所示，BC=3BD ，AC=4EC,已知三角形AFB 的面积是30平方厘米，那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米？【分析与解】联结CF,如图标份，309(3918)100ABC S ∆=÷×++=21B【例4】（难度等级 ※※）在平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是CD 边上的三等分点，BD 与AE 交于点G ，BD 与AF 交于点H ，求图中阴影部分面积与空白部分面积的比。
初中浙教版科学七年级上册1.4《第4节 科学测量》教案1
《第4节科学测量》教案教学目标：科学探究目标：初步了解科学探究过程。
情感价值观目标：培养学生实事求是的科学态度，激发学生学习科学的兴趣。
教学重难点：正确使用测量工具，如何激发学生的学习兴趣，自主学习。
教学过程设计：第一课时一、测量的意义1.通过关于测量的小故事引出测量是一个将待测量与同类标准量比较的过程，并举实例让学生直觉的判断长短，大小和远近，感受一下测量是一个比较的过程。
2.引导学生说出各种长度测量方法，如用伸开的双手去量，用脚步去量，让学生知道测量长度也是一个比较的过程，使学生对长度的测量有一个初步的概念。
3.提出思考问题：我们的感官对长度的判断可靠吗？分析教材中的插图，说明感官知觉判断往往会产生偏差。
要准确的测量长度，必须借助长度测量工具，还要规定长度“公认的标准量”，即长度单位。
二、长度的单位1.请同学们目测自己科学课本和课桌的长度，宽度，把目测的数据记录在本子上。
分析学生所测数据，指出其中的缺漏，选出有代表性的进行讲评：如有的学生只写出数而没写单位，单位使用混杂等等。
强调指出，测量结果只写出数字没有单位是无意义的。
2.介绍长度的常用单位，及其换算关系。
微米，纳米等单位可以适当介绍，以激发学生兴趣。
三、正确使用刻度尺1.熟悉刻度尺：介绍零刻度线，测量范围，最小刻度值。
让学生观察铅笔盒中的直尺，三角尺等，找出零刻度线，测量范围，最小刻度值。
2.练习使用刻度尺：（1）介绍刻度尺的使用方法：放，看，读（2）学生使用刻度尺测量科学课本的长度，分析学生所测数据，加以修正。
3.思考问题（1）如果刻度尺的零刻度线已磨损，刻度不清，怎样测量？（2）《科学》书宽度在16.8厘米和16.9厘米之间，该怎样读数？四、选择合适的测量工具1.测长度时，可利用身边的尺子进行粗略的估测。
介绍身体上的尺子。
2.介绍皮尺，卷尺，游标卡尺，螺旋测微器等测量工具。
3.思考问题（1）选择刻度尺是不是越准确越好呢？（2）为装玻璃和窗帘都要测量窗户的长度，应分别选用什么样的刻度尺？五、任意物体体积的测量1.课前让学生每个人准备3样东西，并设计方法测量其体积。
2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练【含解析】
2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（原卷版）一、单项选择题1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是()A．1a＞1bB．a2＜b2C．1a2＜1b2D．a3＜b32．已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是()A．ab＞acBC．1a＜1cD．a2＞c23．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为()A．1B．3C．8D．94．已知x＞0，y＞0，且1x＋2＋1y＝23，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－4，6)B．(－3，0)C．(－4，1)D．(1，3)5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元．其中ω(x)2＋10x，0＜x≤40，x＋10000x－945，x＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为()A．720万元B．800万元C．875万元D．900万元二、多项选择题6．下列结论中，正确的有()A．若a＞b，则ac2＞b c2B．若ab＝4，则a2＋b2≥8C．若a＞b，则ab＜a2D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c7．(2023·曲靖一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有()A．(a＋2b)2≥8ab B．1a＋1b≥2abC．ab有最大值4D．1a＋4b有最小值98．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则() A．ab的最大值为12B．a＋b的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是___．10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为___．11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为____．四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（解析版）一、单项选择题1．设a ，b 均为非零实数且a ＜b ，则下列结论中正确的是(D )A ．1a ＞1b B ．a 2＜b 2C ．1a 2＜1b2D ．a 3＜b 3【解析】对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a ＜1b ，A 错误；对于B ，取a ＝－1，b ＝1，则a 2＝b 2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a 2＝1b 2，C 错误；对于D ，由a ＜b ，可得b 3－a 3＝(b －a )·(b 2＋ab ＋a 2)＝(b －a ＋12a ＋34a2＞0，所以a 3＜b 3，D 正确．2．已知实数a ＞b ＞0＞c ，则下列结论一定正确的是(A )A ．a b ＞ac B C ．1a ＜1cD ．a 2＞c 2【解析】对于A ，因为a ＞b ＞0＞c ，所以a b ＞0＞ac ，故A 正确；对于B ，因为函数y 在R 上单调递减，且a ＞c ，故B 错误；对于C ，因为a ＞0＞c ，则1a ＞0＞1c ，故C 错误；对于D ，若a ＝1，c ＝－2，满足a ＞0＞c ，但a 2＜c 2，故D 错误．3．已知a ＞0，b ＞0，若直线l 1：ax ＋by －2＝0与直线l 2：2x ＋(1－a )y ＋1＝0垂直，则a ＋2b 的最小值为(D )A ．1B ．3C ．8D ．9【解析】由题可知两条直线的斜率一定存在，因为两直线垂直，所以斜率乘积为－1，即－a b×1，即2a ＋b ＝ab ，整理得2b ＋1a ＝1，所以a ＋2b＝(a ＋2b ＝2a b ＋1＋4＋2ba ≥5＋22a b ·2ba＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．因此a ＋2b 的最小值为9.4．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，若x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，则实数m 的取值范围是(C)A ．(－4，6)B ．(－3，0)C ．(－4，1)D ．(1，3)【解析】因为x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，所以x ＋2＋y ＝32(x ＋2＋y＋y x ＋2＋x ＋2y ＋＋6，当且仅当y x ＋2＝x ＋2y，即y＝3，x ＝1时取等号，所以x ＋y ≥4.因为x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，所以m 2＋3m ＜4，即(m －1)(m ＋4)＜0，解得－4＜m ＜1.所以实数m 的取值范围是(－4，1).5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x 万件该产品，需另投入成本ω(x )万元．其中ω(x )2＋10x ，0＜x ≤40，x ＋10000x－945，x ＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(C)A ．720万元B ．800万元C ．875万元D ．900万元【解析】该企业每年利润为f (x )＝x －(x2＋10x ＋25)，0＜x ≤40，xx ＋10000x－945＋x ＞40，当0＜x ≤40时，f (x )＝－x 2＋60x －25＝－(x －30)2＋875，当x ＝30时，f(x )取得最大值875；当x ＞40时，f (x )＝920920－2x ·10000x＝720，当且仅当x ＝100时等号成立，即在x＝100时，f (x )取得最大值720.由875＞720，可得该企业每年利润的最大值为875万元．二、多项选择题6．下列结论中，正确的有(BD )A ．若a ＞b ，则a c 2＞bc 2B ．若ab ＝4，则a 2＋b 2≥8C ．若a ＞b ，则ab ＜a 2D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c【解析】对于A ，若c ＝0，则a c 2，bc 2无意义，故A 错误；对于B ，若ab ＝4，则a 2＋b 2≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝±2时等号成立，故B 正确；对于C ，由于不确定a 的符号，故无法判断，例如a ＝0，b ＝－1，则ab ＝a 2＝0，故C 错误；对于D ，若a ＞b ，c ＞d ，则－d ＞－c ，所以a －d ＞b －c ，故D 正确．7．(2023·曲靖一模)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列结论一定正确的有(AC)A ．(a ＋2b )2≥8abB ．1a ＋1b ≥2ab C ．ab 有最大值4D ．1a ＋4b有最小值9【解析】对于A ，(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥2·a ·2b ＋4ab ＝8ab ，故A 正确；对于B ，找反例，当a ＝b ＝2时，1a ＋1b ＝2，2ab ＝4，1a ＋1b＜2ab ，故B 错误；对于C ，因为a ＋b ＝4≥2ab ，所以ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故C 正确；对于D ，1a ＋4b ＝a ＋b )＋4＋b a ＋＋＝94，当且仅当a ＝43，b ＝83时取等号，故D 错误．8．设a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝2，则(ACD )A ．ab 的最大值为12B ．a ＋b 的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2【解析】对于A，a＞0，b＞0，22ab≤a＋2b＝2⇒ab≤12，当且仅当a＝1，b＝12时取等号，故A正确；对于B，a＋b＝2－b，a＝2－2b.因为a＞0，b＞0，所以0＜b＜1，1＜a＋b＜2，故B错误；对于C，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝＋45≥45，当且仅当a＝25，b＝45时取等号，故C正确；对于D，a－b＋2ab＝a－b＋a＋2bab＝2a＋bab＝2b＋1a＝·(a＋2b)·12＝＋2b a＋＋＝92，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝23时取等号，故D正确．三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是__[6，19]__．【解析】因为3a－5b＝－(a＋b)＋4(a－b)，由－3≤a＋b≤－2，得2≤－(a ＋b)≤3，由1≤a－b≤4，得4≤4(a－b)≤16，所以6≤3a－5b≤19，即3a－5b 的取值范围是[6，19].10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__6__．【解析】因为ab＝a＋b＋3≤14(a＋b)2，所以(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2.因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号).11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为__8__．【解析】36a＋ab＝4(a＋b)a＋ab＝4＋4ba＋ab≥4＋24ba·ab＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故36a＋ab的最小值为8.四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；【解答】由不等式4a2＋b2≥4ab，解得ab≤12，当且仅当2a＝b＝1时取等号，所以ab的最大值为12，此时a＝12，b＝1.(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．【解答】由4a2＋b2＝2，得4a2＋(1＋b2)＝3.由4a2＋(1＋b2)≥24a2·(1＋b2)＝4a1＋b2，得a1＋b2≤34，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝64，b＝22时取等号，所以a1＋b2的最大值为34，此时a＝64，b＝22.13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以1a－1＋1b－2＝a－1)(b－2)＝14[(b－2)＋(a－1)]≥14×2(b－2)(a－1)＝1，当且仅－2＝a－1，a－1)(b－2)＝4，即a＝3，b＝4时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为1，此时a＝3，b＝4.(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】由2a＋b＝6，得2(a－1)＋(b－2)＝2，所以(a－1)＋b－22＝1，所以1a－1＋1b－2＝(a－1)＋b－22＝32＋a－1b－2＋b－22(a－1)≥3＋222，当－2＝2(a－1)，a－1)＋(b－2)＝2，即a＝3－2，b＝22时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3＋222，此时a＝3－2，b＝2 2.(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．【解答】因为b＞2，由1a＋1b＝1，可得a＝bb－1，所以a－1＝1b－1，所以1a－1＋1b－2＝b－2＋1b－2＋1≥3，当且仅当a＝32，b＝3时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3，此时a＝32，b＝3.14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；【解答】由题意得y＝0.2x＋80x＋5x＞0).由y≤7.2，得0.2x＋80x＋5≤7.2，整理得x2－31x－220≤0，解得11≤x≤20，即设备占地面积x的取值范围为[11，20].(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？【解答】y＝0.2x＋80x＋5＝x＋55＋80x＋5－1≥2x＋55×80x＋5－1＝7，当且仅当x＋55＝80x＋5，即x＝15时等号成立.所以设备占地面积为15平方米时，y的值最。
沪科版数学七年级上册4.4角的度量说课稿
我计划设计以下师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作：
1.师生互动：在课堂上，我将提问、邀请学生上台演示、组织讨论等形式，与学生进行互动，及时了解学生的学习情况，给予指导和鼓励。
2.生生互动：设计小组合作任务，让学生在小组内讨论、交流测量方法，共同解决问题。此外，安排学生进行角色扮演，如“小老师”向其他同学讲解测量方法，促进知识共享。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，具备了以下前置知识或技能：
1.小学阶段学过的角的分类和性质；
2.简单的几何图形认识，如直线、射线等；
3.初步的空间想象能力。
可能存在的学习障碍有：
1.对量角器的不熟悉，不知道如何正确使用；
2.角度换算容易出现错误，如度和分的换算；
3.在进行角度加减运算时，容易混淆运算规则。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.课堂练习：设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固角的度量方法和角度加减运算。
2.小组竞赛：组织小组间的测量竞赛，激发学生的学习兴趣，提高他们的动手能力。
3.实践活动：布置学生课后测量家中或学校中的角，将所学知识应用于实际，提高学生的应用能力。
2.让学生掌握角的度量方法，提高解决问题的能力。
情感态度与价值观：
1.培养学生对几何学的兴趣，激发学习热情；
2.培养学生严谨、认真的学习态度，树立正确的价值观。
（三）教学重难点
根据学生的认知水平和教学内容，本节课的教学重点和难点如下：
教学重点：
1.角的度量单位及其换算；
2.量角器的使用方法；
3.角度加减运算。
主要知识点包括：
1.角的度量单位：度（°）和分（′）；
第4讲 百分等级 标准分数
第四讲标准分数指出学生在团体中的相对地位、解释测验分数在组内相对水平的另一种方法，是确定测验成绩的标准分数。
一、标准分数基本定义及评分体系“常模”:一种供比较的标准量数、“常规模型”，它由标准化样本测试结果计算而来,即某一标准化样本的平均数和标准差。
标准分数是以标准差为单位表示测验成绩与平均分之间距离的一种分数。
假定某常模团体含有n个被试,他们在某一测验上的测验分数可记为；再设和S 分别表示常模团体在该测验上的平均分数和标准差；那么，分数列中任一个原始分数所对应的标准分数用符号表示，其计算公式如下“小标准分”：iiX XZS-= i=1,2,…,n （4-1）或一般地写成X XZS-= (4-2)这里1niiXXn==∑，21()1niiX XSn=-=-∑从上面标准分数Z的定义公式可知，标准分数Z是一种以平均数为参照，以测验分数的标准差来衡量原分数在其常模团体中地位高低的一种评定方法。
当原分数比平均数来得高时,其相应的标准分数Z为正值；当原分数比平均数来得低时，其相应的标准分数Z将为负数。
因此,标准分数Z值可正可负，且一般取值在-3～+3之间。
[例1] 甲、乙、丙、丁四人在某次语文考试中分别获得 72分、68分、 48分和90分，而全体学生的语文平均成绩为60分,标准差为12分，则这4个相应的标准分数分别为：[例2] 对某校高二学生进行期中学习质量检测,语文、数学和英语成绩的平均数分别是80分、70分和85分，这三种成绩的标准差分别是10分、15分和12分。
某学生的三科成绩分别是85分、82分和90分,问：该生这三科成绩哪一科最好？为回答这一问题，必须用标准分数来比较。
根据公式3-2,不难得到：可见，，故可认为该生的数学成绩相对最好，其次为语文，再次是英语。
在标准分数Z的应用中，由于标准分数Z分值过小，并往往带有小数和负值，在许多情形下直接使用不大合乎人们表示分数的习惯，故通常把标准分数Z通过线性变换，转到更大的标准分数量表上，其一般转换公式为：“大标准分”T=a+bZ（4-3）上式中，a和b为选定的两个z正常数，Z为标准分数，T为Z经过线性变换后的分数。
4 第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4. ( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx≥2”的充要条件．( )(4)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(教材习题改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C.xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.若x <0，则x ＋1x( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2解析：选D.因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5(教材习题改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10，所以S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案：25 m 2利用基本不等式求最值(典例迁移)(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)(2018·高考天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为____________．(3)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ， 即x ＝23时，取等号．(2)由题知a －3b ＝－6，因为2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥2×2a ×18b ＝2×2a －3b ＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3b ，a ＝－3，b ＝1时取等号．(3)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝ ⎝⎛⎭⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 【答案】 (1)23 (2)14(3)9[迁移探究1] (变问法)若本例(3)中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 答案：4[迁移探究2] (变条件)若本例条件变为：已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋ab ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号． 答案：114＋102利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．1．(2019·南昌市摸底调研)已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．解析：因为x >2，m >0，所以y ＝x －2＋mx －2＋2≥2（x －2）·mx －2＋2＝2m ＋2，当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，所以2m ＋2＝6，解得m ＝4.答案：42．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________． 解析：由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， 所以3x ＋4y 的最小值是5. 答案：53．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)， 当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2， 于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 答案：4利用基本不等式解决实际问题(师生共研)某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]． 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(2)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．解：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·a b＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号． 答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0， 当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。
第4讲 二次函数轨迹问题
第4讲 二次函数轨迹问题知识目标模块一 点的轨迹问题 例1、例2难度：✩✩✩模块二 焦点准线问题 例3、例4、例5、例6、例7、例8 难度：✩✩✩✩模块一 点的轨迹问题 例1某校数学兴趣小组在研究二次函数及其图象问题时，发现了两个现象：(1)抛物线y ＝ax 2＋2x ＋3(a ≠0)，当a 变化时，它的顶点都在某条直线l 1上，求直线l 1的解析式； (2)抛物线y ＝x 2＋bx ＋3，当b 变化时，它的顶点都在某条抛物线C 1上，求抛物线C 1的解析式． 【解答】解：（1）∵抛物线y =ax 2+2x +3， ∴顶点坐标的横坐标为：x =212a a -=-，纵坐标为：y =43431134a a a a a⨯--==-， ∴直线l 1的解析式为：y =x +3； （2）∵抛物线y =x 2+bx +3，∴顶点坐标的横坐标为：x =2b-，纵坐标为：y =224133414b b ⨯⨯-=-⨯，∴抛物线C 1的解析式为：y =3﹣x 2=﹣x 2+3，练习如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4与抛物线C 1：212y x =交于A 、B 两点． (1)直线AB 总经过一点定点C ，请求出点C 的坐标；(2)若k ＝－2，点D 在直线AB 上，过点D 作y 轴的平行线交抛物线C 1于点E ，P 是线段DE 的中点，设点D 在直线AB 上运动时，P 的运动轨迹为抛物线C 2，求抛物线C 2的解析式． 【解答】方法一：解：（1）∵当x =﹣2时，y =（﹣2）k +2k +4=4． ∴直线AB ：y =kx +2k +4必经过定点（﹣2，4）． ∴点C 的坐标为（﹣2，4）． (2)当k ＝－2时，y ＝－2x ，设D (x ，－2x )，则E (x ，12x 2)，DE 的中点P (x ，214x x -)， 所以C 2的解析式为：y ＝214x x -．例2在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y ＝ax 2－4a ＋4(a ＜0)经过第一象限内的定点P ．(1)求出点P 的坐标；(2)如图，若a ＝－1，点M 的坐标为(2，0)是x 轴上的点，N 为抛物线C 1上的点，Q 为线段MN 的中点，设点N 在抛物线C 1上运动时，Q 的运动轨迹为抛物线C 2，求抛物线C 2的解析式．【解答】解：（1）∵y =ax 2﹣4a +4=a （x 2﹣4）+4，该函数图象过第一象限内的定点P ， ∴x 2﹣4=0，解得 x =2或x =﹣2（舍去）， 则y =4，∴点P 的坐标是（2，4）；（2）设点Q 的坐标为（x Q ，y Q ），点N 的坐标为（x N ，y N ）． ∵M （2，0）．由点Q 是线段MN 的中点，可以求得，x N =2x Q ﹣2，y N =2y Q ． ∵a =﹣1，∴抛物线c 1的解析式为y =﹣x 2+8． ∵点N 在抛物线c 1上， ∴y N =﹣x N 2+8．∴2y Q =﹣（2x Q ﹣2）2+8，即y Q =﹣2x Q 2+4x Q +2， ∴抛物线c 2的解析式为：y =﹣2x 2+4x +2．模块二 焦点准线问题 知识导航1、抛物线的几何性质(定义)：平面内与一个定点F 和一和定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 如图所示：点F 为定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH ⊥l ，线段FH 的垂直交MH 于点M ，拖动点H ，M 点的轨迹就是一条抛物线．2．常见结论y ＝ax 2的焦点为F (0，14a )，准线l 为y ＝14a-． 证明：设点P 为抛物线y ＝ax 2上任意一点，则可设点P 坐标为(m ，am 2) 则PF ＝22222422111()4216m am m a m m a a +-=+-+＝24222221111()21644a m m am am a a a++=+=+．而点P 到直线l 的距离d ＝221144am am a a ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭．所以PF ＝d ．3、y =ax 2＋k 的焦点准线思路：用平移的思路来做，抛物线的平移和对应焦点、准线的平移一致. 完成下表：抛物线解析式焦点 准线 y =14x 2 (0，1)y =－1 y =x 2 (0，14) y =－14 y =－2x 2 (0，－18)y =18 y =14x 2－1 (0，0) y =0y =－2x 2－2(0，－178) y =178例3(2016年七一周练)如图1，P (m ，n )是抛物线y =14x 2－1上任意一点，l 是过点(0，－2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l 于点H . 【探究】(1)填空：当m =0时，OP = ， PH = ；当m =4，OP = ，PH = .【证明】(2)对任意点P ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想； 【应用】(3)如图2，若A 、B 是抛物线y =14x 2－1上的两个动点，且AB =6，求A 、B 两点到直线l 的距离之和的最小值.图1图2 解：（1）当m =0时，P （0，－1），OP =1，PH =－1－（－2）=1；∴A 、B 两点到直线l 的距离之和的最小值是６. 例4(2016年粮道街中学九上期中) 如图1，在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线y =14x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，连接AC ，AO =2CO ，直线l 过点G (0，t )且平行于x 轴，t ＜－1. (1)求抛物线对应的二次函数解析式；(2)①若D (4，－m )为抛物线y =14x 2＋bx ＋c 上一定点，点D 到直线l 的距离记为d ，当d =DO 时，求t 的值； ②若D 为抛物线y =14x 2＋bx ＋c 上一动点，点D 到①中的直线l 的距离与OD 的长是否恒相等，说明理由； (3)如图2，若E 、F 为上述抛物线上的两个动点，且EF =8，线段EF 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值.图1 图2a 2－1＋|t |，例5将抛物线C 1：y =14(x －4)2＋3先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线C 2. (1)直接写出抛物线C 2的解析式；(2)如图1，y 轴上是否存在定点F ，使得抛物线C 2上任意一点P 到x 轴的距离与PF 的长总相等？若存在，求出点F 的坐标：若不存在，说明理由.(3)如图2，D 为抛物线C 1的顶点，P 为抛物线C 2上任意一点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，连接DP ，求PH ＋PD 的最小值及此时点P 的坐标.当连DF 交抛物线于P 点时，PH ＋PD∵F (0，2)D (4，3)∴y DF =14x ＋2，联立21124y xy x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴P例6如图，过点F (0，1)的直线y =kx ＋b 与抛物线y =14x 2交于M (x 1，y 1)和N (x 2，y 2)两点(其中x 1＜0，x 2＞0). (1)求x 1·x 2的值；(2)分别过M ，N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1，N 1，连接FM 1，FN 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论.解：(1）∵直线y =kx ＋b 与抛物线y =14x 2交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点， ∴可以得出：kx ＋b =14x 2， 整理得：14x 2－kx －1=0， ∵a =14，c =－1， ∴x 1•x 2=－4，(2)△M 1FN 1是直角三角形（F 点是直角顶点）． 理由如下：设直线l 与y 轴的交点是F 1，FM12=FF12＋M1F12=x12＋4，FN12=FF12＋F1N12=x22＋4，M1N12=（x1－x2）2=x12＋x22－2x1x2=x12＋x22＋8，∴FM12＋FN12=M1N12，∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形．例7(武汉二中分配生考试)如图1，直线y=kx－k2(k＞0)与抛物线y=ax2有唯一的公共点.(1)求抛物线的解析式；(2)已知点A(0，1)，直线l：y=－1.①如图2，P是抛物线上一个动点，PB⊥l于B点，连PA、PB，求证：AB平分∠OAP；②如图3，过A点的任意一条直线分别交该抛物线于C、D两点，求证：以CD为直径的⊙M与直线l相切.a2），A(0，1)(3) 作CE ⊥直线l 于点E ，DF ⊥直线l 于点F ， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），∵CD 经过A (0，1)，设CD 的解析式为y =kx ＋1，联立2114y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，∴x 1，x 2是方程x 2－4kx －4=0两根由根与系数的关系得x12∴CD k 2＋1)∴M 到l 的距离是CD 长的一半，∴以CD 为直径的⊙M 与直线l 相切 例8己知直线L ：y =kx ＋5k (k ≠0)与x 轴交于A 点，抛物线的解析式为y =14x 2＋1. (1)直接写出A 点坐标；(3)P 为抛物线上任一点，过P 作PQ ⊥x 轴，Q 为垂足，以P 为圆心，PQ 为半径作圆，圆总会经过y 轴一定点D ，求D 到直线L 的距离的最大值.解：（1）令y =0，则kx ＋5k =0， ∵k ≠0， ∴x =－5，∴点A 坐标（－5，0）． (2)设P (a ，14a 2＋1)，则Q (a，0) ∴PQ=14a 2＋1，∵以P 为圆心，PQ 为半径作圆，圆总会经过y 轴一定点D ∴当圆P 与y 轴相切时，可得a =14a 2＋1，∴a =2，D 点坐标为(0，2) ∴D 到L 的最大距离是DA 长第4讲 本讲课后作业A 基础巩固(2016年江汉区九上期中)1、已知抛物线y =ax 2－2anx ＋an 2＋n ＋3的顶点P 在一条定直线l 上，则直线l 的解析式为 y =x ＋3 .(2016年青山区九上期中)2、抛物线C 3：y =(x －m )2＋(x －m )＋2m ＋1经过点P (m ，n )，则n = 2m ＋1 (用含m 的式子表示)；点P 一定在定直线l 上运动，则直线l 的解析式为 y =2x ＋1 .(2016年江夏区九上期中) 3、已知点M (2，3)，F (0，12)，点P (m ，n )为抛物线y =12x 2上一动点，则用含m 的式子表示PF = 12(m 2＋1) ；PF ＋PM 的最小值是72.4、如图，抛物线21122y x =-与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，点P 是抛物线上一动点(不包括A 、B )，PM ⊥x 轴于点M ，点P 的横坐标为t ．(1)若－1＜t ＜1，求证：OP ＋PM 为定值，并求出该值． (2)若t ＜－1或t ＞1，求证：OP －PM 为定值，并求出该值．【答案】(1)当y ＝0时211022x =-∴x ＝±1 ∴A (－1，0) B (1，0)设P (t ，21122t -)∴OP 2＝t 2＋(21122t -)2＝(21122t +)2∴OP ＝21122t +∵PM ＝21122t -∴OP ＋PM ＝2211112222t t ++-＝1为定值 (2)当t ＜－1时设P (t ，21122t -) 由(1)知PO ＝21122t +，PM ＝21122t - ∴PO －PM ＝21122t +－(21122t -)＝1为定值 同理当t ＞1时PO －PM ＝1为定值B 综合训练5、抛物线y ＝ax 2(a 是常数，a ≠0)过点(2，－1)，与过点D (0，－1)的直线y ＝kx ＋b 交于M 、N 两点(M 在N 的左边)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当k ＝34时，点P 是直线MN 上方的抛物线上一动点，当S △MNP 最大时，求点P 的坐标； (3)求证：无论k 取何值，直线y ＝1总与以MN 为直径的圆相切．图1 图2【答案】(1)y ＝ax 2过点(2，－1)∴－1＝ax 2，∴a ＝14- ∴y ＝214x - (2)当k ＝34时，y ＝kx ＋b 过点D (0，1) ∴314y x =- 设P (t ，214t -)过P 作PQ ∥y 轴，交y ＝314x -于点Q ，则Q (t ，314t -) ∴PQ ＝213144t t --+ 由214314y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11114x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩2244x y =-⎧⎨=-⎩ ∴M (－4，4)，N (1，14-) ∴S △MNP ＝12N M PQ x x - ＝2113(t t 1)(14)244--++＝25155882t t --+ ＝25335(t )8232-++ ∴当t ＝32-时，S △MNP 最大＝3532此时P (32-，916-) (3)由2114y kx y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩得1212221x k y k ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩2222221x k y k ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩ ∴M(2k -+2221k -+)，N(2k --2221k --)∴MN ＝4(k 2＋1)∴MN 中点的纵坐标为－2k 2－1点A 到y ＝1距离为1－(－2k 2－1)＝2＋2k 2＝12MN ∴无论k 取任何值，直线y ＝1总与以MN 为直径的圆相切.数学故事当代保尔——张海迪张海迪，1955年秋天在济南出生。
四年级下册数学讲义 - 第4讲差倍问题(含答案、奥数板块)全国通用
三年下册奥数试题-差倍问题姓名得分一、【名师解析】解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。
在一般问题下，它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。
当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量。
解答差倍应用题的基本数量关系是：差÷（倍数－1）=小数小数×倍数=大数或：小数+差=大数二、【例题精讲】【例1】光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。
参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？练习：城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人。
三年级和一年级各有多少人？【例2】仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。
仓库有大米和面粉各多少千克？练习：三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍多2人，已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？【例3】育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只，足球的只数是篮球的3倍。
足球、排球和篮球各买了多少只？练习：玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个，三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。
每个月各生产多少个？【例4】商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖重量相等。
商店原有红糖和白糖各多少千克？练习：甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍，从甲仓库运走720千克，从乙仓库运走120千克后，两个仓库所剩的面粉相等。
两个仓库原来各有面粉多少千克？【例5】甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本，从乙书架取出60本后，甲书架的本数是乙书架的3倍。
原来两个书架各有图书多少本？练习：甲、乙两人的存款相等，甲取出60元，乙存入20元后，乙的存款是甲的3倍。
2019年寒假3A第4讲《日期问题》
※1．2100年9月1日是星期三，那么2101年9月1日是星期几？ 2100年是平年，从2100年9月1日到2101年9月1日一共有365天 365÷7=52（周）……1（天） 3+1=4 答：2101年9月1日是星期日。
※2，2019年1月27日是星期日，那2021年的10月31日是星期几？
2020年是闰年，从2019年1月27日到2022年1月27日一共 有365+366+365=1096（天） 1096-27-31-30=1008（天） 1008÷7=144（周） 答：2021年10月31日是星期日。
2018年 2019年
闰年有：1832年、2012年、2000年、2020年
平年有：1958年、1990年、2018年、2005年、3000年、2019年
3.一个星期有几天？如果今天是星期三，再过4天是星期几？再过7天是 星期几？再过10天是星期几？
一个星期有7天；如果今天是星期三，再过4天是星期日，再过7天是 星期日，再过10天是星期三。
2020年是闰年，2月最后一天是29日 29-10=19（天） 19÷7=2（周）……5（天） 1+5=6 答：2020年2月的最后一天是星期六。
例题3
2018年12月5日是星期三，请问：2019年1月10日是星期几？
2018年12月有31天 31-5=26（天） 26+10=36（天） 36÷7=5（周）……1（天） 3+1=4 答：2019年1月10日是星期四。
学以致用3
2046年5月3日是星期四，那么2046年6月6日是星期几？ 31-3=28（天） 28+6=34（天） 34÷7=4（周）……6（天） 4+6-7=3 答：2046年6月6日是星期三。
3-4小学三年级上册数学教案新部编本—第三单元《测量》第4课时
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校第三单元《测量》教案教学设计第4课时 << 千米的认识、换算和估测>>教学目标：1、使学生在已经认识了米、分米、厘米及毫米的基础上学习长度单位“千米”，知道千米在实际生活中的应用，初步建立1千米（公里）的长度观念，知道1千米（公里）等于1000米。
2、掌握千米和米的换算方法。
3、通过教学，培养学生的观察、想象能力和合理推理的能力以及实际测量和估测能力。
4、渗透教学知识来源于生活实践的思想，培养学生的空间观念。
教学重点：千米与米之间的换算以及距离的估测。
教学难点：千米与米之间的换算以及距离的估测。
教学准备：课前领学生到操场里走100米的路1次，并计下所需的时间及步数。
教学步骤：一、导入，初步感知：1、说说我们已学过哪些长度单位？（板书：米、分米、厘米、毫米）用你喜欢的方式表示1米、1厘米。
2、下列测量活动用什么长度单位合适？（1）测量铅笔的长度。
（2）测量硬币的厚度。
（3）测量课桌的高度。
（4）测量教室的长。
（5）测量佛山到广州的路程。
师：如果要测量佛山到广州的路程，我们可以选用哪个长度单位来测量呢？3、揭示课题：用米测量太麻烦了。
佛山到广州的距离比较远，我们需要用更大的长度单位来测量，今天我们就来认识一个新的长度单位——千米。
（边说边板书）二、学习新知（一）导入在日常生活中我们见过“千米”，（教学例4）如：（1）出示四张画片，学生观察讨论，说标记的意思。
图1：火车已经行驶了180千米。
图2：公路上汽车限速每小时60千米。
图3；离南京还有98 千米。
图4：地图上的1厘米、2厘米、3厘米分别表示实际长度16千米、32千米、48千米。
（2）师：你还在哪些地方见过或听过“千米”？（让生答）（3）小结：计量路程或测量铁路、公路、河流的长度，通常用千米做单位。
第 4讲 正三角形
四边形 ADOF 为矩形，OF AD ，同理： OD BE ， OE CF ，
AD BE CF OD OE OF 3 a 2
【独立尝试】
1. 一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40°的方向行驶 40 海里到达 B 地，再
由 B 地向北偏西 20°的方向行驶 40 海里到达 C 地，则 A、C 两地相距（ ）
（）
A．3
B．4
C．5
D．6
6. 如图所示，已知等边△ABC 的边长为 a，P 是△ABC 内一点，PD∥AB，
PE∥BC，PF∥AC，点 D、E、F 分别在 BC、AC、AB 上，则
PE
B
MFC B
MF C B
①1
①2
MF E C
P
①3
解析：由图
1， 连 结
AP， 得
SAPB
SAPC
SABC
，可得
1 2
1
DP•AB+
2
PE•AC=
1 2
AM•BC，化简得 DP+PE=AM，此时 h3 0 ，即 h1 h2 h3 h ；同理在图 2 中，连结 AP，
BP，CP，由 SABC SAPB SAPC SPBC ,化简得 h1 h2 h3 h . 同样道理在图 3 中，可
A．30 海里
B．40 海里
C．50 海里
D．60 海里
北 C
A
C
A
北
P
B
A
第 1 题图
E
D
第 2 题图
B
BR
C
第 3 题图
2. 如 图 ，CD 是 Rt△ABC 斜 边 AB 上 的 高 ，将 △BCD 沿 CD 折 叠 ，B 点 恰 好 落 在 AB
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第4讲测量（一）
姓名______ 成绩_______
例1，在括号里填上恰当的长度单位。
(1)一枚1分硬币的厚度大约是（）。
(2)爸爸身份证的厚度大约是1（），10张身份证的厚度就是1( )。
(3)一裸树大约高10( )。
(4)一支蜡笔的长大约是1( )。
(5)手表的分针长度12( )。
(6)姚明的身高大约是230( )。
(7)老师走一步大约是70( )。
(8)马拉松长跑比赛全程约42( )。
(9)火车每小时约行驶105( )。
(10)南京长江大桥长6772( )。
练习1.1.判断题。
(1)一裸大树约高800毫米。
( )
(2)一支铅笔长16厘米。
( )
(3)今年六月份的降水量是80毫米。
( )
(4)一元硬币的厚度约是2毫米。
( )
(5)乐乐老师身高约160毫米。
( )
(6)下边铅笔长约72毫米。
( )
例2，单位换算。
(1)3厘米=( )毫米
(2) 20厘米=( )毫米
(3) 6米=( )分米
(4) 100厘米=( )分米
(5)1米3分米=( )分米
(6)2千米=( )米
(7) 9100米=( )千米( )米
(8) 10干米80米=( )米
(9)1米2分米=( )分米
练习2.1. 算一算。
(1)1厘米-7毫米=( )毫米
(2) 85毫米=( )厘米( )毫米
(3)1米-3分米=( )分米
(4) 1米=( )分米=( )厘米=（）毫米
(5)2干米-850米=()米
(6) 5千米+2000米=()千米、
例3，生活中的数学。
(1)一支铅笔长20厘米，用去40毫米后，还剩多少毫米？
(2)一支蜡烛燃烧了70毫米后还剩下80毫米，原来蜡烛长多少毫米？合多少厘米？
练习3.1. 生活中的数学。
(1)彩带长4分米，做五角星用去30厘米，彩带还剩多少分米？
(2)牛牛的立定跳远成绩是2米25厘米，他这样跳4次，共跳了多少分米？
(3)—条绳子长100分米，第1次用去3米，第 2次用去40分米，现在比原来短了多少米？
例4，一本《马小跳》约厚5毫米，一位报亭老板有一摞儿这种书，厚度为10厘米，你知道大约有多少本《马小跳》吗？
练习4.1.爸爸要把2米长的铁丝剪成每一段都为4分米长的小铁丝，需要剪几次？
例5，单位换算。
(1)3吨=( )千克
(2) 6000千克=( )吨
(3) 8000千克=( )吨
(4) 10000千克=( )吨
(5)25=( )千克
(6) 1吨506千克=( )千克
(7) 2500千克=( )吨( )千克
例6，算一算。
(1)3吨+500千克=( )千克
（2）225千克+2500千克=( )千克=( )吨( )千克(3) 3吨600千克+400千克=( )吨
第4讲测量回家作业（一）
姓名______ 成绩_______ 1.填空。
(1)数学书的长大约是20( )，宽大约是15（），厚大约是10( )。
(2)北京到广州的铁路线约长2313( )。
(3）一张床大约长20( )。
(4)一座楼房高60( )。
(5)桌子大约高10( )。
(6)珠穆朗玛峰高8848( )。
(7)乐乐老师每小时约行3( )
(8)我们学过的常用的长度单位有( )、
( )、( )、( )、( )。
(9)测量较长的路程时，我们通常用( )作单位。
(10)我们操场的一圈是200米，丁丁要跑( )圈才够1千米。
(11)表示长春到北京的路程要用( )作为单位。
2.单位换算。
(1)3千米=( )米
(2) 5000米=( )千米
(3)14000米=( ) 千米
(4) 10干米=( )米
(3) 600毫米=( )厘米
(4)3分米=( )厘米
(5) 50厘米=( )分米
(5) 3600米=( )千米( )米
3.算一算。
(1)1千米-136米=( )米
(2) 3000米+5000米=( )米=( )千米
(3) 16千米一9千米=( )千米
(4) 90米+9千米=（）米
(5)14厘米+16厘米=( )分米
(6) 2厘米4毫米+6毫米=( )厘米
(7) 13毫米+7毫米=( )厘米
(8) 350米+2650米=( )米=( )千米4.在括号里填上恰当的长度单位。
（1）东东每分钟步行50( )。
(2)小轿车每小时大约行驶75( )。
(3)燕子每小时大约飞行150( )。
(4)飞机每小时大约飞行800( )。
(5)亮亮从家到学校要走750( )。
(6)我国的万里长城是世界上最长的建筑之一，大约长6700( )。
5.比一比。
(1) 3200米○2300米 (2) 8000米○8001米(3) 5000米○5千米 (4) 400米○4000米(5) 870米○1千米 (6) 1千米○10000米(7) 6900米○7千米 (8) 9分米○89厘米(9) 999米○1千米
6.判断题。
(1)牛牛的身高15年后能长到5米。
（）
(2)—条高速公路约长150米。
（）
(3)长度单位间的进率都是10。
( )
7.生活中的数学。
（1）火车每小时行驶120千米，田田从北京西站上午9:00乘火车去姥姥家，中午11:00到达，你能算出北京西站到姥姥家有多少干米吗？
(2)丁丁打算4小时走完12干米的路，实际上每小时走4千米，他可以提前几小时走完这段路？
8.生活中的数学。
(1)—辆汽车每小时行驶90千米，从甲地前往乙地，已经行驶了2小时，离乙地还有88千米。
甲、乙两地相距多少千米？
(2)运动场跑道—圈长400米，长跑比赛时每位运动员要跑7圈半。
运动员—共要跑多少千米？
(3)小明每小时行4千米，小明行3小时的路程，爸爸只用了2小时。
爸爸每小时行多少米？
9.在括号里填上恰当的长度单位，使等式成立。
在括号里填上恰当的长度单位，使等式成立。
(1) 1 ( ) - 1 ( ) = 9 ( )
(2) 1 ( ) - 1 ( )= 99( )
(3) 1 ( ) - 1 ( )= 999( )
10. 在一条长1千米的公路一侧架电线杆，每隔50米架设一根，若公路两端不架，则共需电线杆多少根？
11.算一算。
(1)1吨一700千克=( ) 千克
(2) 2吨+6吨=( )千克
(3) 600千克+400千克=( )吨
(4) 6吨-650千克=( )吨( ) 千克
(5) 3200千克+850千克=( )吨( ）千克。