八年级上第二次月考模拟数学试题

八年级上第二次月考模拟数学试题
一、选择题
1．若分式12
x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1 B ．2- C ．1- D ．2
2．如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加以下条件，不能判定ABC DCB ∆≅∆的是（ ）
A ．A
B D
C = B ．BE CE = C ．AC DB =
D ．A D ∠=∠
3．在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（ ）
A ．－xz ＋yz ＝－z(x ＋y)
B ．3a 2b －2ab 2＋ab ＝ab(3a －2b)
C ．6xy 2－8y 3＝2y 2(3x －4y)
D ．x 2＋3x －4＝(x ＋2)(x －2)＋3x
4．下列图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．甲、乙两地相距80km ，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h ，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y （km ）与时间x （h ）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ）
A ．10：35
B ．10：40
C ．10：45
D ．10：50
6．如图，在平面直角坐标系中，A （0，3），B （5，3），C （5，0），点D 在线段OA 上，将△ABD 沿着直线BD 折叠，点A 的对应点为E ，当点E 在线段OC 上时，则AD 的长是（ ）
A．1 B．4
3
C．
5
3
D．2
7．如图，函数y1＝﹣2x 与y2＝ax+3 的图象相交于点A（m，2），则关于x 的不等式﹣
2x＞ax+3 的解集是（）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
8．下列各点中，位于平面直角坐标系第四象限的点是（）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
9．如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
10．已知：如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D的长度为（）
A ．12cm
B ．1cm
C ．2cm
D ．32
cm 二、填空题
11．9的平方根是_________．
12．已知点(,)P a b 在一次函数21y x =+的图象上，则21a b --=_____.
13．如果点P （m+1，m+3）在y 轴上，则m=_____．
14．如果等腰三角形的一个外角是80°，那么它的底角的度数为__________.
15．计算112242
⨯+=__________． 16．若3a 的整数部分为2，则满足条件的奇数a 有_______个．
17．根据如图所示的计算程序，小明输入的x 的值为36，则输出的y 的值为__________.
18．在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-2x+1的图象经过P 1（x 1 ， y 1）、P 2（x 2 ， y 2）两点，若x 1>x 2 ， 则y 1________y 2（填“>”或“<”）．
19．如图，矩形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是-1，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则这个点E 表示的实数是_______
20．对某班组织的一次考试成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数是10，频率是0.2，那么该班级的人数是_____人．
三、解答题
21．已知一次函数的图象经过点P （0，－2），且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式．
22．如图，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点(3,0)A 、点(0,2)B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，90BAC ∠=，点(1,)P a 为坐标系中的一个动点.
（1）请直接写出直线l 的表达式；
（2）求出ABC ∆的面积；
（3）当ABC ∆与ABP ∆面积相等时，求实数a 的值.
23．如图，某斜拉桥的主梁AD 垂直于桥面MN 于点D ，主梁上两根拉索AB 、AC 长分别为13米、20米．
（1）若拉索AB ⊥AC ，求固定点B 、C 之间的距离；
（2）若固定点B 、C 之间的距离为21米，求主梁AD 的高度．
24．（阅读·领会）
(0)a a ≥的式子叫做二次根式，其中a 叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，是把几个同类二次根式前的系数相加，作为结果的系数，即((0).x x m n x x =+≥利用这个式子可以化简一些含根式的代数式． .(0,0)a b ab a b =≥≥ 我们可以利用以下方法证明这个公式：一般地，当0,0a b ≥≥时， 根据积的乘方运算法则，可得222()(()a b a b ab =⨯=，
∵2)(0)a a a =≥，∴2()ab ab =a b ab ab 的算术平方根， ∴.(0,0)a b ab a b =≥≥利用这个式子，可以进行一些二次根式的乘法运算． .(0,0)ab a b a b =≥≥它可以用来化简一些二次根式．
材料三：一般地，化简二次根式就是使二次根式：
（I ）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（II ）被开方数中不含分母；
（III ）分母中不含有根号．这样化简完后的二次根式叫做最简二次根式．
（积累·运用）
（1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式那样，试推导二次根式的除法公式．
（2）化简：2325(2)(0,0,0)a b c a b c -≥≥≥=______．
（3）当0a b <<时，化简2232232,a b b ab a a b a b a b +-+-+并求当7,9a b =⎧⎨=⎩
时它的值． 25．如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)建立适当的平面直角坐标系后，若点A(1，3)、C(2，1)，则点B 的坐标为______；
(2)△ABC 的面积为______；
(3)判断△ABC 的形状，并说明理由．
四、压轴题
26．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：
（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度；
（2）当2t =时，请说明//PQ BC ；
（3）设BCQ ∆的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的关系式．
27．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ．
（1）求CAM ∠的度数；
（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；
（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否
为定值？并说明理由．
28．如图，A，B是直线y=x+4与坐标轴的交点，直线y=-2x+b过点B，与x轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）点D是折线A—B—C上一动点．
①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E 的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．
②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由
29．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．
（1）求证：DG＝BC；
（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．
（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．30．如图，直线l1的表达式为：y=-3x+3，且直线l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，
直线l1，l2交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求点P的坐标．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据分式的值为0，分子等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】
根据题意得，1-x=0且x+2≠0，
解得x=1且x≠-2，
所以x=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【详解】
A．AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B．∵BE=CE，
∴∠DBC=∠ACB．
∵∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C．∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出
△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D．∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解答此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
－xz＋yz＝－z(x-y)，故此选项错误；
3a2b－2ab2＋ab＝ab(3a－2b+1)，故此选项错误；
6xy2－8y3＝2y2(3x－4y)故此选项正确；
x2＋3x－4＝(x＋2)(x－2)＋3x，此选项没把一个多项式转化成几个整式积的形式，此选项错误．
故选：C．
【点睛】
因式分解的意义．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义逐一分析即可．
【详解】
A选项不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
B选项不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
C选项不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
D选项是轴对称图形,故本选项符合题意;
故选D．
【点睛】
此题考查的是轴对称图形的识别,掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据图象可知走前一半路程用了1小时，由此可得走前一半路程的速度为40km/h，从而可得走后一半路程的速度为60km/h，根据时间=路程÷速度即可求得答案.
【详解】
由图象知走前一半路程用的时间为1小时，
所以走前一半路程时的速度为40km/h，
因为匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h，
所以以后的速度为20+40=60km/h，时间为40
60
×60=40分钟，
故该车到达乙地的时间是当天上午10：40，
故选B．
【点睛】
本题考查了函数的图象，读懂图象，从中找到必要的信息是解题的关键.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出EC的长，进而可得出OE的长，在Rt△DOE中，由DE=AD及勾股定理可求出AD的长.
【详解】
解：根据各点坐标可得AB=OC=BE=5，AO=BC=3，
设AD=x，则DE=x，DO=3-x
∴=4,
∴OE=1，
在Rt△DOE中，DO2+OE2=DE2，
解得x=5
3
，
∴AD=5
3
，
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，找准直角三角形，设出未知数列出方程即可解答. 7．D
解析：D
【解析】
因为函数12y x =-与23y ax =+的图象相交于点A (m ,2),把点A 代入12y x =-可求出1m =-,所以点A (－1,2),然后把点A 代入23y ax =+解得1a =, 不等式23x ax ->+, 可化为23x x ->+,解不等式可得:1x <-,故选D.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
A 、（1，2）在第一象限，故本选项错误；
B 、（﹣1，2）在第二象限，故本选项错误；
C 、（1，﹣2）在第四象限，故本选项正确；
D 、（﹣1，﹣2）在第三象限，故本选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】
解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，
∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，
所以，依据是ASA ．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
先在直角△AOB 中利用勾股定理求出AB ＝5cm ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD ＝12
AB ＝2.5cm ．然后根据旋转的性质得到OB 1＝OB ＝4cm ，那么B 1D ＝OB 1
﹣OD＝1.5cm．
【详解】
∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，
∴AB＝5cm，
∵点D为AB的中点，
∴OD＝1
2
AB＝2.5cm．
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，
∴OB1＝OB＝4cm，
∴B1D＝OB1﹣OD＝1.5cm．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查勾股定理和直角三角形的性质以及图形旋转的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．
二、填空题
11．±3
【解析】
分析：根据平方根的定义解答即可．
详解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是
解析：±3
【解析】
分析：根据平方根的定义解答即可．
详解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．【解析】
【分析】
根据点在函数图像上，即将点代入函数解析式，能够使解析式成立，将本题中P点的坐标代入解析式，变形即可解决.
【详解】
解：将代入函数解析式得：
b=2a+1，将此式变形即可得到：
解析：2-
【解析】
【分析】
根据点在函数图像上，即将点代入函数解析式，能够使解析式成立，将本题中P 点的坐标代入解析式，变形即可解决.
【详解】
解：将(,)P a b 代入函数解析式得：
b=2a+1，将此式变形即可得到：210a b -+=，
两边同时减去2，得：21a b --=-2，
故答案为：2-.
【点睛】
本题考查了通过函数上点的坐标，求相关代数式的值，解决本题的关键要熟练掌握一次函数的性质，明白函数上的点都能使函数解析式成立.
13．﹣1．
【解析】∵点P （m+1，m+3）在y 轴上，
∴m+1=0，
∴m=-1．
故答案为：-1．
解析：﹣1．
【解析】∵点P （m+1，m+3）在y 轴上，
∴m+1=0，
∴m=-1．
故答案为：-1．
14．40°
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解．
【详解】
解：∵等腰三角形的一个外角为80°，
∴相邻角为180°-80°=100°，
∵三角形的底角不能为钝角，
∴100
解析：40°
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解．
【详解】
解：∵等腰三角形的一个外角为80°，
∴相邻角为180°-80°=100°，
∵三角形的底角不能为钝角，
∴100°角为顶角，
∴底角为：（180°-100°）÷2=40°．
故答案为40°．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质．
15．【解析】
【分析】
先计算乘法，然后合并同类二次根式即可．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟悉二次根式的计算法则是解题的关键．
解析：
【解析】
【分析】
先计算乘法，然后合并同类二次根式即可．
【详解】
1
1224
26
．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟悉二次根式的计算法则是解题的关键．
16．9
【解析】
【分析】
的整数部分为，则可求出a的取值范围，即可得到答案.
【详解】
解：的整数部分为，则a的取值范围 8＜a＜27
所以得到奇数有：9、11、13、15、17、19、21、23、2
解析：9
【解析】
【分析】
的整数部分为2，则可求出a 的取值范围，即可得到答案.
【详解】
2，则a 的取值范围 8＜a ＜27
所以得到奇数a 有：9、11、13、15、17、19、21、23、25 共9个
故答案为：9
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，估算是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法.
17．0
【解析】
【分析】
根据题意，由时，代入，求出答案即可.
【详解】
解：∵小明输入的的值为36，
∴；
故答案为：0.
【点睛】
本题考查了代数式求值：把满足条件的字母的值代入代数式进行计算得到 解析：0
【解析】
【分析】
根据题意，由36x =时，代入3y =
-，求出答案即可. 【详解】
解：∵小明输入的x 的值为36，
∴3330y =-=-=； 故答案为：0.
【点睛】
本题考查了代数式求值：把满足条件的字母的值代入代数式进行计算得到对应的代数式的值．
18．<
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小进行判断即可．
【详解】
解：∵一次函数y=-2x+1中k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＞x2，
∴y1＜y2
解析：<
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小进行判断即可．
【详解】
解：∵一次函数y=-2x+1中k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
19．—1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数．
【详解】∵AD长为2，AB长为1，
∴AC=，
∵A点表示-1，
∴E点表示的数为：
1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数．
【详解】∵AD长为2，AB长为1，
∴=
∵A点表示-1，
∴E，
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
20．50
【解析】
【分析】
利用数据的总数=该组的频数÷该组的频率解答即可．
【详解】
解：该班级的人数为：10÷0.2＝50．
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了频数与频率，熟练掌握数据的总数与
解析：50
【解析】
【分析】
利用数据的总数=该组的频数÷该组的频率解答即可．
【详解】
解：该班级的人数为：10÷0.2＝50．
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了频数与频率，熟练掌握数据的总数与频数、频率的关系是解题的关键．
三、解答题
21．y=-
13x-2或y=13
x-2． 【解析】
【分析】 分一次函数与x 轴交点Q 在正半轴与负半轴两种情况确定出Q 的坐标，即可确定出一次函数解析式．
【详解】
解：设一次函数与x 轴的交点为Q,则
①当一次函数与x 轴交点Q 在x 轴负半轴时，
由OP=2，与两坐标所围成的直角三角形面积为6，得到Q （-6，0），
设一次函数解析式为y=kx+b ，将P 与Q 坐标代入得：
2,60,b k b -⎧⎨-+⎩＝＝解得1,32.
k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩
此时一次函数解析式为y=-13
x-2； ②当一次函数与x 轴交点在x 轴正半轴时，
由OP=2，与两坐标所围成的直角三角形面积为6，得到Q （6，0），
设一次函数解析式为y=mx+n ，将P 与Q 坐标代入得：
2,60,n m n -⎧⎨+⎩＝＝解得1,32.
m b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 此时一次函数解析式为y=13
x-2． 故所求一次函数解析式为：y=-
13x-2或y=13x-2． 【点睛】
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．（1）223y x =-+；（2）132
ABC S =；（3）当ABC ∆与ABP ∆面积相等时，实数a 的值为
173
或3-. 【解析】
【分析】 （1）设y=kx+b ，把(3,0)A 、点(0,2)B 代入，用待定系数法求解即可；
（2）先根据勾股定理求出AB 的长，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）分点P 在第一象限和点P 在第四象限两种情况求解即可．
【详解】
解：（1）设y=kx+b ，把(3,0)A 、点(0,2)B 代入，得
302k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得
223b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩
， ∴223
y x =-
+ ； （2）∵(3,0)A 、(0,2)B ， ∴OA=3，OB=2，
在Rt ABC ∆中，依勾股定理得：222223213AB OA OB =+=+=，
∵ABC ∆为等腰直角三角形，
∴21322ABC AB S ==； （3）连接,,BP PO PA ，则：
①若点P 在第一象限时，如图：
∵1=23ABO OA S
OB ⋅=，2213APO O S A a a ⋅==，1=121BOP OB S ⨯=， ∴132ABP BOP APO ABO
S S S S =+-=， 即3131322a +-=，解得173
a =； ②若点P 在第四象限时，如图：
∵3312ABO APO BOP S
S a S ==-=，，， ∴132
ABP ABO APO BOP S S S S =+-=， 即3133122
a --=，解得3a =-， ∴当ABC ∆与ABP ∆面积相等时，实数a 的值为
173或3-. 【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形的面积公式，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．
23．（1）BC 5692）12米.
【解析】
【分析】
（1）用勾股定理可求出BC 的长；
（2）设BD=x 米，则BD=（21-x ）米，分别在Rt ABD ∆中和Rt ACD ∆中表示出2AD ,于是可列方程22221320(21)x x -=--，解方程求出x,然后可求AD 的长.
【详解】
解：（1）∵AB ⊥AC
∴=
（2）设BD=x 米，则BD=（21-x ）米，
在Rt ABD ∆中，2222213AD AB BD x =-=-
在Rt ACD ∆中，2222220(21)AD AC CD x =-=--,
∴22221320(21)x x -=--，
∴x=5,
∴12AD =（米）.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题关键.
24．（1）见解析；（2）2abc ；（3）ab -，463- 【解析】
【分析】
（1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式的方法，推导二次根式的除法公式
（2）根据二次根式乘法公式进行计算即可
（3）先根据二次根式除法公式进行化简，再把a 和b 的值代入即可
【详解】
解：（10,0)a b
=≥> 证明如下：一般地，当0,0a b ≥>时，
根据商的乘方运算法则，可得2a b
==
∵
2(0)a a =≥，∴2a b =a b 的算术平方根，
∴0,0)a b
=≥>利用这个式子，可以进行一些二次根式的除法运算．
0,0)a b
=≥>它可以用来化简一些二次根式．
（20,0,0)2a b c abc ≥≥≥=
=
故答案为：2abc （3）当0a b <<时，
2223223222()1()a b b ab a a b b a a b b a a b a b a b a b a b a b a b a b ab a b ab
+-++-+-+===--+-+-+ 当79
a b =⎧⎨=⎩时，原式=16463-=- 【点睛】
本题考查二次根式的乘法和除法法则，，解题的关键是熟练运用公式以及二次根式的性质，本题属于中等题型．
25．(1)(-2，-1)；(2)5；(3)△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．
【解析】
【分析】
(1)首先根据A 和C 的坐标确定坐标轴的位置，然后确定B 的坐标；
(2)利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积求解；
(3)利用勾股定理的逆定理即可作出判断．
【详解】
解：(1)
则B 的坐标是(-2，-1)．
故答案是(-2，-1)；
(2)S △ABC =4×4-12×4×2-12×3×4-12
×1×2=5， 故答案是：5；
(3)∵AC 2=22+12=5，BC 2=22+42=20，AB2=42+32=25，
∴AC 2+BC 2=AB 2，
∴△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系确定点的位置以及勾股定理的逆定理，正确确定坐标轴的位置是关键．
四、压轴题
26．（1）CP=3t ，BQ=8-t ；（2）见解析；（3）S=16-2t ．
【解析】
【分析】
（1）直接根据距离=速度⨯时间即可；
（2）通过证明PCQ BQC
≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证；
（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．【详解】
解：（1）CP=3t，BQ=8-t；
（2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6
∴CP=BQ
∵CD∥AB
∴∠PCQ=∠BQC
又∵CQ=QC
∴PCQ BQC
≅
∴∠PQC=∠BCQ
∴PQ∥BC
（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M
∵AC=BC，CM⊥AB
∴AM=11
84
22
AB=⨯=（cm）
∵AC=BC，∠ACB=90︒∴∠A=∠B=45︒
∵CM⊥AB
∴∠AMC=90︒
∴∠ACM=45︒
∴∠A=∠ACM
∴CM=AM=4（cm）
∴118t 416222
BCQ S BQ CM t =
=⨯-⨯=- 因此，S 与t 之间的关系式为S=16-2t ．
【点睛】 此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．
27．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，
60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；
（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．
【详解】
（1）ABC ∆是等边三角形，
60BAC ∴∠=︒．
线段AM 为BC 边上的中线， 12
CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．
（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=．
在ADC ∆和BEC ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；
（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，
理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，
由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，
又60ABC ∠=︒，
603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，
ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线
AM ∴平分BAC ∠，即11603022
BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
30CBE CAD ∴∠=∠=︒，
同理可得：30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
③当点D 在线段MA 的延长线上时，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
CBE CAD ∴∠=∠，
同理可得：30CAM ∠=︒
150CBE CAD ∴∠=∠=︒
30CBO ∴∠=︒，
∵30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.
28．（1）A(-4，0) ；B(0，4)；C(2，0)；（2）①点E 的位置见解析，E （43-
，0）；②D 点的坐标为（-1，3）或（
45
，125） 【解析】
【分析】
（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点A 、B 的坐标；然后把B 点坐标代入y=−2x ＋b 求出b 的值，确定此函数解析式，然后再求C 点坐标；
（2）①根据轴对称—最短路径问题画出点E 的位置，由待定系数法确定直线DB 1的解析式为y=−3x−4，易得点E 的坐标；
②分两种情况：当点D 在AB 上时，当点D 在BC 上时．当点D 在AB 上时，由等腰直角三角形的性质求得D 点的坐标为（−1，3）；当点D 在BC 上时，设AD 交y 轴于点F ，证△AOF 与△BOC 全等，得OF=2，点F 的坐标为（0，2），求得直线AD 的解析式为122y x =
+，与y=−2x ＋4组成方程组，求得交点D 的坐标为（45
，125）． 【详解】 （1）在y=x +4中，
令x =0，得y=4，
令y =0，得x=-4，
∴A(-4，0) ，B(0，4)
把B(0，4)代入y=-2x+b ，得b =4，
∴直线BC 为：y=-2x+4
在y=-2x +4中，
令y =0，得x=2，
∴C 点的坐标为(2，0)；
（2）①如图
∵点D是AB的中点
∴D（-2，2）
点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，-4），设直线DB1的解析式为y kx b
=+，
把D（-2，2），B1（0，-4）代入，得
22
4
k b
b
-+=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得k=-3，b=-4，
∴该直线为：y=-3x-4，
令y=0，得x=
4
3 -，
∴E点的坐标为（
4
3
-，0）．
②存在，D点的坐标为（-1，3）或（4
5
，
12
5
）．
当点D在AB上时，
∵OA=OB=4，
∴∠BAC=45°，
∴△ACD是以∠ADC为直角的等腰直角三角形，
∴点D的横坐标为42
1 2
，
当x=-1时，y=x+4=3，
∴D点的坐标为（-1，3）；
当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．
∵∠FAO＋∠AFO＝∠CBO＋∠BFD，∠AFO＝∠BFD，∴∠FAO=∠CBO，
又∵AO=BO，∠AOF=∠BOC，
∴△AOF≌△BOC（ASA）
∴OF=OC=2，
∴点F的坐标为（0，2），
设直线AD的解析式为y mx n
=+，
将A（-4，0）与F（0，2）代入得
40
2
m n
n
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得
1
,2
2
m n
==，
∴
1
2
2
y x
=+，
联立
1
2
2
24
y x
y x
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
，解得：
4
5
12
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴D的坐标为（4
5
，
12
5
）．
综上所述：D点的坐标为（-1，3）或（4
5
，
12
5
）
【点睛】
本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，解题的关键是灵活运用一次函数的图象与性质以及全等的知识．
29．（1）见解析；（2）当F运动到AF＝AD时，FD∥BG，理由见解析；（3）FH＝HD，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△DEG≌△CEB（AAS）即可解决问题．
（2）想办法证明∠AFD＝∠ABG＝45°可得结论．
（3）结论：FH＝HD．利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，
∵E是DC的中点，即DE＝CE，
∴△DEG≌△CEB（AAS），
∴DG＝BC；
（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．
理由：由（1）知DG＝BC，
∵AB＝AD+BC，AF＝AD，
∴BF＝BC＝DG，
∴AB＝AG，
∵∠BAG＝90°，
∴∠AFD＝∠ABG＝45°，
∴FD∥BG，
故答案为：F运动到AF＝AD时，FD∥BG；
（3）解：结论：FH＝HD．
理由：由（1）知GE＝BE，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG，
∵FD∥BG，
∴AE⊥FD，
∵△AFD为等腰直角三角形，
∴FH＝HD，
故答案为：FH＝HD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
30．（1）（1，0）；（2）
3
6
2
y x-
＝；（3）
9
2
；（4）（6，3）．
【解析】
【分析】
（1）由题意已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可；
（2）根据题意设l2的解析式为y=kx+b，并由题意联立方程组求出k，b的值；
（3）由题意联立方程组，求出交点C的坐标，继而即可求出S△ADC；
（4）由题意根据△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C 到AD的距离进行分析计算．
【详解】
解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，
∴x=1，
∴D（1，0）；
（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，
由图象知：x=4，y=0；x=3，y＝
3
2
-，代入表达式y=kx+b，
∴40332
k b k b +⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝， ∴326
k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝，
∴直线l 2的解析表达式为3
62
y x -＝； （3）由33362
y x y x ⎪-+-⎧⎪⎨⎩＝＝，解得23x y ⎧⎨⎩-＝＝， ∴C （2，-3），
∵AD=3， ∴331922
ADC S =⨯⨯-=； （4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|-3|=3，
则P 到AD 距离=3，
∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ，
∴点P 纵坐标是3，
∵y=1.5x-6，y=3，
∴1.5x-6=3，解得x=6，
所以P （6，3）．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象的性质以及三角形面积的计算等有关知识，熟练掌握求一次函数解析式的方法以及一次函数图象的性质和三角形面积的计算公式是解题的关键.。