2024-2025学年度七年级数学上册5.3.2比例分配、数字、日历与几何问题(提升练)[含答案]

比例分配、数字、日历与几何问题
（23-24七年级上·湖北武汉·期中）
1．某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t ；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100t ，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为t x ，则可列方程为（ ）
A ．()()
22005100x x +=-B ．()()52002100x x +=-C ．()()22005100x x -=+D ．()()
52002100x x -=+
（23-24七年级下·福建·期末）
2．美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（ ）A ．27B ．28C ．27或30D ．28或29
（2024·北京昌平·二模）
3．如图，初三年级准备制作一个长8.5m
的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距3:4:1=，试求横幅字距是多少？
（23-24七年级上·四川成都·期末）
4．一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，设原两位数的十位数字是x ，则可列方程（ ）
A ．()()910945
x x x x -éùë-û+-=B ．()()10910945x x x x -++éùéùëûëû--=C ．()()10910945
x x x x -++éùéùëûëû=--D ．()()9945x x x x ---=（23-24七年级上·山东聊城·期末）
5．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题：
周瑜寿属
而立之年督东吴，早逝英年两位数．
十比个位正小三，个位六倍与寿符．
哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？
诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字为x ，下列方程正确的是（ ）
A ．()36x x x -+=
B ．()1036x x x -+=
C ．()36x x x +=
D ．()3106x x x -+=
（23-24七年级上·辽宁大连·期末）
6．观察下列三行数，回答下面的问题：
2-，4，8-，16，32-，…；①
0，6，6-，18，30-，…；②
1-，2，4-，8，16-…；③
(1)第①行的第4个数是________；第①行的第n 个数是________；
(2)设第①行第n个数为a，写出第②行的第n个数是________（用含a的式子表示）；
-，求这三个数．
(3)若第③行连续三个数的和恰为192
（23-24七年级下·广东广州·期末）
7．如图是2024年7月日历，用“⊥”型方框任意覆盖其中四个方格，最大数字为a，四个数S=时，a所表示的日期是星期（）
字之和为S．当97
A．四B．五C．六D．日
（23-24七年级上·四川绵阳·期末）
8．如图，在2024年1月的日历中，用带阴影的十字方框覆盖其中5个数字，例如：1，7，8，9，15．现在移动十字方框，使其覆盖的5个数之和等于115，则此时十字方框正中心的数位于（）列
A．星期一B．星期二C．星期四D．星期五
（23-24七年级上·广东韶关·期末）
9．综合与实践：在学习《整式的加减》时，我们探究了月历中数字之间的关系和变化规律．已知月历中同行的数从左向右依次递增1，同列的数从上向下依次递增7．
探究1图1是某月的月历，现要探究带阴影的“口”字方框中的4个数（框中圈出的数没有空白）的数量关系，方框可以任意移动；小明是先假设左上角的数为m，他通过计算发现斜对角的两个数字之和均为______，从而他得出结论：“口”字方框中的4个数满足斜对角两数之和______（填“相等”或“不相等”）；
探究2小明又探究了图2中带阴影的十字方框中的5个数（框中圈出的数没有空白）的数量关系，发现当十字框任意移动位置时这5个数之和总是5的倍数，请你通过计算说明他的结论成立的理由；
探究3小明还探究了在图3中任意选取“H”形框中的7个数（如阴影部分所示）的规律，他认为这7个数的和可以是133，你认为他的说法正确吗？并说明理由．
（23-24七年级上·广东东莞·期末）
10．综合与实践：主题《神奇的幻方》．
【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15．
【实践】（1）将2
-、1
-、2、3、5外的数填入
-、0、1、2、3、4、5、6这9个数中，除1
图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方．
【提升】（2）如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，则x的值为______．
【拓展】（3）将幻方迁移到月历：如图5是某月的月历，某同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是180．该同学的说法对吗？请说明理由．
（23-24七年级上·江苏镇江·期末）
11．如图所示，，已知长方形ABCD 的长12AD =，宽9AB =，内有边长相等的小正方形AIGJ 和小正方形ELCK ，其重叠部分为长方形EFGH ．若长方形EFGH 的周长为14，正方形ELCK 的面积为（ ）
A ．156
B ．144
C ．81
D ．49
（23-24七年级上·河北邢台·期末）
12．如图，在长方形ABCD 中，16cm,8cm AD AB ==．点P 从点A 出发，沿折线A B C --方向运动，速度2cm /s ；点Q 从点B 出发沿线段BC 方向向点C 运动，速度4cm /s ；点P 、Q 同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是(s)t ．下列说法错误的是（ ）
A ．点P 运动路程为2cm
t B ．(164)cm CQ t =-C ．当43
t =时，PB BQ =D ．运动中，点P 可以追上点Q
（23-24七年级上·湖北孝感·期末）
13．将10个同样的小长方形纸片按如图1所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，未被覆盖的部分也恰被分割为两个长方形，分别记为阴影部分P 和阴影部分Q ．已知cm AB x =，66cm AD =．10个小长方形纸片中每个小长方形较短一边的长度为cm a ．
(1)每个小长方形纸片较长一边的长度是______cm （用含a 的式子表示）；
(2)若图中阴影部分P 和阴影部分Q 的周长相等．
①试求a 的值；
②若将AB 的长增加10cm ，如图2，此时阴影部分P 增加的面积为1S ，阴影部分Q 增加的面积为2S ，求12
S S 的值．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）
14．在解决几何图形相关问题时，我们也常常会用到方程，即用“数”来解决“形”的问题．我国著名数学家华罗庚（19101985-）数形结合思想时，曾题诗“数缺形时少直观，形少数时难入微”，可见数形结合是研究数学的重要方法． 如图，在长方形ABCD 中，6cm AB =，12cm BC =，点P 从点A 开始沿着A B C D ®®®的方向运动，速度是1cm/s ，点Q 从点A 开始沿着A D C B ®®®的方向运动，速度是3cm/s ， P Q ，两点同时开始运动，当点Q 到达点B 时，两点立刻停止运动，设运动时间为t 秒．
(1)当t 为何值时，点Q 到达点D ，并判断点P 此时在哪条边上?
(2)经过多长时间，P Q ，两点重合?
(3)分别连接AC CQ AQ ，，．当t 为何值时，ACQ V 的面积是 227cm
？
1．A
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，本题先分别表示新工艺的废水排量为()100t x -，旧工艺的废水排量为()200t x +，再利用比值的含义建立方程即可；确定相等关系是解本题的关键．
【详解】解：设环保限制的最大量为t x ，则
()()22005100x x +=-，
故选：A ．
2．B
【分析】设美食俱乐部有x 名胖子，则有(58)x -名瘦子（058x <<，且为整数），得出05858x <-<.由每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完），得出1458()x -必是15的倍数，求出43x =或28或13，再由于每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完），得出15x 必是14的倍数，即可得出结论．
此题主要考查了整除问题，得出5815x -=或30或45是解本题的关键．
【详解】解：设美食俱乐部有x 名胖子，则有(58)x -名瘦子（058x <<，且为整数），所以，05858x <-<，
因为每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完），所以1458()x -必是15的倍数，
所以5815x -=或30或45，
∴43x =或28或13，
又因为每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完），所以15x 必是14的倍数，
所以28x =，
即美食俱乐部的成员中胖子的人数是28，
故选：B ．
3．0.1m
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距3:4:1=设边空宽为3m x ，字宽为4m x ，字距为m x .再根据长8.5m
的横幅列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：因为边空宽：字宽：字距3:4:1=，
所以设边空宽为3m x ，字宽为4m x ，字距为m x .
由题意可得：23164158.5x x x ´+´+=，
解得0.1x =.
答：横幅字距为0.1m ．
4．B 【分析】本题考查一元一次方程，根据一个两位数的表示方法：10ab a b =+，结合个位数字与十位数字的和为9，以及个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，列出方程即可．找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键．
【详解】解：设原两位数的十位数字是x ，由题意，得：
()()10910945x x x x éùéù-+-+-=ëûëû；
故选：B ．
5．B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由两位数的特点结合题意列出方程即可，熟悉两位数的特点和找出等量关系是解题的关键．
【详解】解：设这个两位数个位上的数字为x
则这个两位数十位上的数字为()
3x -由题意可列方程：()1036x x x
-+=故选：B ．
6．(1)16，()
2n -(2)2
a +(3)这三个数为64-，128，256
-【分析】本题考查了数字的变化规律，一元一次方程的应用，列代数式，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题是解此题的关键．
（1）观察可看出第①行的有理数分别是2-，()22-，()32-，()4
2-，…，由此即可得出第①行的第4个数和第n 个数；
（2）观察数据得出第②行的数为第①行对应的数加上2，由此即可得出答案；
（3）设第③行连续的三个数为x ，2x -，4x ，由题意得出一元一次方程，解方程即可得出
答案．
【详解】（1）解：Q 第①行的有理数分别是2-，()22-，()32-，()4
2-，…，\第①行的第4个数是()4216-=，第①行的第n 个数是()2n
-，
故答案为：16，()2n -；
（2）解：022=-+Q ，642=+，682-=-+，18162=+，…，\第②行的数为第①行对应的数加上2，
\设第①行第n 个数为a ，则第②行的第n 个数是2a +，
故答案为：2a +；
（3）解：()212¸-=-Q ，()414-¸-=，422-¸=-，824¸=，…，
\设第③行连续的三个数为x ，2x -，4x ，
由题意得：()24192x x x +-+=-，
解得：64x =-，
2128x \-=，4256x =-，
\这三个数为64-，128，256-．
7．C
【分析】本题考查了一元一次方程的日历应用，先表示用“⊥”型方框的其他数值为
821a a a a ---，，，，根据四个数字之和为S ．当97S =时，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵用“⊥”型方框任意覆盖其中四个方格，最大数字为a ，
∴其他数值为821a a a a ---，，，，
∵四个数字之和为S ．当97S =时，
∴82197
a a a a -+-+-+=解得4108a =，
解得27a =，
结合2024年7月日历，
∴a 所表示的日期是星期六，
故选：C ．
8．B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，准确计
算．设中心数为x ，根据5个数之和等于115，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设中心数为x ，根据题意得：
7117115x x x x x -+-+++++=，
解得：23x =，
∴此时十字方框正中心的数位于星期二这一列，
故选：B ．
9．探究1：28m +，相等；探究2：见解析；探究3：说法错误，理由见解析
【分析】此题考查的是列代数式及化简、一元一次方程的应用．解决本题的关键是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7．
（1）先分别表示四个数，再计算化简即可解决；
（2）设中间数是a ，则另4个数是,,,a a a a --++7117，计算五个数和说明即可；（3）设“H ”形框中的7个数中间的数是b ，列方程解出后要考虑是否符合实际情况．
【详解】解：探究1：设左上角的数为m ，则右上角数字为1m +，左下角数字为7m +，右下角数字为8m +，
()()(),m m m m m m \++=++++=+8281728，
故斜对角的两个数字之和均为28m +，“口”字方框中的4个数满足斜对角两数之和相等，故答案为：28m +，相等；
探究2：设十字方框中的5个数中间的数是a ，则另4个数是,,,a a a a --++7117，()()()()a a a a a a \-+-+++++=71175，
\十字框任意移动位置时这5个数之和总是5的倍数；
探究3：设“H ”形框中的7个数中间的数是b ，则另6个数是,,,,,b b b b b b ---+++861168，由题意得：
()()()()()()b b b b b b b \-+-+-+++++++=861168133，
解得：19b =，
因19在这一排的最左边，故不合题意，
所以这7个数的和不可以是133，他的说法错误．
10．（1）4，6，2-，1，0；（2）3；（3）错误，详见解析
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练理解题意是解题的关键．
（1）根据题意填入数字即可；
（2）根据题意得到7419x x x ++=+即可得到答案；
（3）设正中间的数为x ，将九个数字分别表示出来即可．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）7419x x x
++=+解得3x =；
（3）错误，理由如下：
（设正中间的数为x ，则该9个数之和为：
()()()()()()()()876116789x x x x x x x x x x -+-+-+-+++++++++=
若9180x =则20x =，
而20在该月历的最右侧，故该9个数之和不可能是180
11．D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设小正方形的边长为a ，可得出长方形EFGH 的长和宽，根据其周长可建立方程求解a ，进而可求正方形ELCK 的面积．
【详解】解：设小正方形的边长为a ，
则：212EH GI EK AD a =+-=-，29
EF AI CK AB a =+-=-∵长方形EFGH 的周长为14，
∴()22122914
a a ´-+-=解得：7a =，
∴正方形ELCK 的面积为2749=．
故选：D ．
12．D
【分析】本题主要考查了列代数式，以及一元一次方程的应用．
【详解】解：A ．由点P 的速度为2cm /s ，时间为(s)t ，得点P 运动路程为2cm t ，正确，故本选项不符合题意；
B ．由点Q 的速度为4cm /s ，时间为(s)t ，得点Q 运动路程为4cm t ，则(164)cm CQ t =-，正确，故本选项不符合题意；
C ．当43
t =，416828233PB t =-=-´=，4164433BQ t ==´=，则PB BQ =正确，故本选项不符合题意；
D ．假设运动中点P 可以追上点Q ，则244t t -=，解得：2t =-，假设不成立，原表述错误，故本选项符合题意；
故选：D ．
13．(1)()
666a -(2)①6，②6
5
【分析】本题主要考查列代数式、整式的混合运算和解一元一次方程，解题的关键是找到图形中等量和变量，
（1）设每个小长方形纸片较长一边的长度是cm y ，则6AD y a =+，即可求出用a 表示的y 的值；
（2）①根据题意得AB CD x ==，66AD BC ==，即可求得666ED x a =-+和4BF x a =-，可表示出P 的阴影部分周长224132P C x a =+-、Q 的阴影部分周长132202Q C a x =-+，列出等量关系即可求得a ；②根据题意可得阴影部分P 长度不变，宽度增加10，则增加的面积1106S a =´，阴影部分Q 长度不变，宽度增加10，则增加的面积()266610S a =-´，代入求解即可．
【详解】（1）解：设每个小长方形纸片较长一边的长度是cm y ，
∵6AD y a =+，66cm AD =，
∴()6666cm y AD a a =-=-，
故答案为：()666a -．
（2）①如图，
∵AB CD x ==，66AD BC ==，
∴666ED DC y x a =-=-+，4BF x a =-，
则P 的阴影部分周长为()266626224132P C x a a x a =-++´=+-，
Q 的阴影部分周长为()()266624132202Q C a x a a x =-+´-=-+，
∵阴影部分P 和阴影部分Q 的周长相等，
∴224132132202x a a x +-=-+，解得6a =；
②根据题意可知，阴影部分P 长度不变为6a ，宽度增加10，则增加的面积
110660360S a a =´==，阴影部分Q 长度不变为666a -，宽度增加10，则增加的面积()26661066060300S a a =-´=-=，则1236063005
S S ==．14．(1)4t =，点P 此时在AB 边上；
(2)9s ；
(3)3t =或92
或9．【分析】（1）根据题意可求出点Q 到达点D 需要的时间，进而可得点P 运动的长度，即可判断点P 的位置；
（2）当P Q ，两点重合时，可得一元一次方程()36122t t +=+´，解方程即可求解；（3）分当点Q 在AD 边上、点Q 在CD 边上和点Q 在BC 边上三种情况，根据三角形的面积公式解答即可求解；
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：点Q 到达点D 需要的时间1234s t =¸=，
∴点P 运动的长度为144cm ´=，
∵4cm 6cm <，
∴点P 此时在AB 边上；
（2）解：由题意可得，当P Q ，两点重合时，
()36122t t +=+´，
解得9t =，
答：经过9s ，P Q ，两点重合；
（3）解：如图，当点Q 在AD 边上时，即04t £<时，
由题意可得，136272
t ´´=，解得3t =；
如图，当点Q 在CD 边上时，即46t £<时，
由题意可得，()1126312272
t ´+-´=，解得92
t =；如图，当点Q 在BC 边上时，即610t ££时，
由题意可得，()131266272
t ´--´=，解得9t =；
综上，当3t =或92
或9时，ACQ V 的面积是 227cm .。