高一数学下学期第二次阶段考试试题 理-人教版高一全册数学试题

揭阳一中2014—2015学年度第二学期高一级第2次阶段考试
数学科试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分. 在四个备选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知平面向量a ＝(1,3)-,(4,2)b =-，若a b λ-与a 垂直，则λ＝（ ）
A.－1
B.1
C.－2
D.2 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，b ＝1，则|a ＋2b |等于( )
A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12 3．若02,sin 3cos απαα≤≤>
，则α的取值X 围是：( )
Ａ.,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭Ｂ.,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭Ｃ.4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭Ｄ.3,32
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
4. 程序框图如下：
如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入（ ）
A 、10?k ≤
B 、10?k ≥
C 、11?k ≤
D 、11?k ≥
5. 设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→
的模长的最大值为( )
A ． 2
B ． 3
C ．2 3
D ．3 2 6. 若函数21
()log ()2
a f x x ax =-+有最小值，则实数a 的取值X 围是 （ ） A ．（0，1） B ．(0,1)(1,2)⋃ C ．(1,2)
D ．)
2,⎡+∞⎣
7．从圆2
2
2210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
A ．
12 B ．3
5
C ．32
D ．0
8. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( ) （A ）316 (B )916 (C )38 (D )9
32
9. 已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设6
3(),(),52a f b f ==5(),2
c f =则()
（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 10．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o
.如图所示，
点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是( )
A. 2
B.2 C ． 3 D ．3 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）
11. 已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a b 时，α＋β＝________.
12．在边长为2的正三角形ABC 中，设,,AB BC CA ===c a b ，则⋅+⋅+⋅=a b b c c a .
13.求值：
cos103sin10tan 702cos 40tan 20︒
+︒︒-︒︒
＝.
14．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝
⎛⎭
⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上)
三、解答题（本大题共6小题，共80分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分12分） 已知函数1cos 2cos sin 2)(2
++⋅=x x x a x f ，4)6
(=π
f ，
（1）某某数a 的值；（2）求函数)(x f 在]4
,4[π
π-
∈x 的值域。

16．（本小题满分12分）如图，函数y =2sin(2πx+φ)x ∈R,其中0≤φ≤2
π
的图象与y 轴交于点（0，1）. (Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求.PM PN 与的夹角的余弦值 17.（本小题满分14分）函数R x Z k x
k x x f ∈∈-++-=,,)2
214cos(
)2cos()(π。

（1）求)(x f 的周期；（2）)(x f 在),0[π上的减区间；
（3）若=
)(αf 5102，)2,0(πα∈，求)4
2tan(π
α+的值。

18. （本小题满分14分）如图1，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示． (1)证明：AD ⊥平面PBC ；
(2)求三棱锥D －ABC 的体积；
19．（本小题满分14分）
已知半径为2，圆心在直线2y x =-+上的圆C.
（Ⅰ）当圆C 经过点A （2,2）且与y 轴相切时，求圆C 的方程；
（Ⅱ）已知E(1，1),F(1，-3),若圆C 上存在点Q ，使22
32QF QE -=,求圆心的横坐标a 的取值X 围.
20.（本小题满分14分）已知函数2
()2||f x x x a =-+-.
（Ⅰ）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1
2
a =
，求函数()y f x =的单调递增区间； （Ⅲ）当0>a 时，若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式(1)2()f x f x -≥恒成立，某某数a 的取值X 围.
揭阳一中2014—2015学年度第二学期高一级第2次阶段考试
数学科答案(理科)
一、选择题 BBCAD CBADB 二、填空题 11.
2
π
； 12．-3； 13. 2； 14.①②③ 三、解答题（本大题共6小题，共80分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分12分）
解：416
cos 26
cos
6
sin
2)6
(:)1(:2
=++=π
π
π
πa f 由题意得解，
即：
42
5
23=+a ，………………………..2分 解得：3=
a ；3的值为a ∴。

……………………………..3分
（2）由（1）得：1)12(cos 2sin 31cos 2cos sin 32)(2
+++=++⋅=x x x x x x f
……………….…..5分
2)6
2sin(222cos 2sin 3++=++=π
x x x ………….…………7分
]3
2,3[62]
4
,4[π
ππ
ππ-∈+
∴-∈x x ，…………………………………………..8分 令62π+=x z ，则上为减函数在上为增函数在]3
22[]23[sin π
πππ，，，z y -=，…10分
]4,32[)(],1,2
3
[)6
2sin(-∈-
∈+
∴x f x 则π
， 即]432[)(，x f -
的值域为…………………………….12分
16.（本小题满分12分）
解：（I ）因为函数图像过点(0,1)，所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ=因为02πϕ≤≤，所以6
π
ϕ=.…6分 （II ）由函数及其图像，得)2,3
2(),0,35(),0,31
(P N M - 所以)2,1(),2,1(-=--=PN PM 从而cos ,||||PM PN
PM PN PM PN ⋅<>=⋅5
3=…………12分
17.（本小题满分14分）解：（1）)2
22cos(2cos )2214cos(
)2cos()(x
k x x k x x f -++=-++-=πππ )4
2(sin 22cos 2sin
π
+=+=x x x ，
（Z k ∈） 所以，)(x f 的周期2412
T π
π==。

…… 5分
（2）由Z k k x k ∈+≤+≤+,2234222πππππ，得Z k k x k ∈+≤≤+,42
5
42ππππ。

又),0[π∈x ， 令0=k ，得
ππ
252≤≤x ；令1-=k ，得ππ2
3
27-≤≤-x （舍去） ∴)(x f 在),0[π上的减区间是),2
[
ππ。

…… 9分
（3）由=)(αf 5102，得5
1022cos 2sin =+αα， ∴58sin 1=
+α， ∴5
3sin =α 又)2
,
0(π
α∈，∴5
4
2591sin 1cos 2=-
=-=αα
∴43cos sin tan ==ααα，∴72416
9143
2tan 1tan 22tan 2=-⨯
=
-=ααα ∴)4
2tan(πα+17317
24117244tan 2tan 14tan
2tan -=-
+=-+=
παπ
α。

……14分 18．（本题满分14分）
(2)C=4B 由三视图可得
0C=90AD BC PAC ∠⊥由(1)知，即平面，
又三棱锥D-ABC 的体积即为三棱锥B-ADC 的体积
11
32BC ∴⨯⨯⨯⨯所求三棱锥的体积V=AD CD
11164323
⨯⨯==2222 19.（本题满分14分）
解: （Ⅰ）∵圆心在直线2y x =-+上， ∴可设圆的方程为2
2
()[(2)]4x a y a -+--+=，
其圆心坐标为（(,2)a a -+； ……………2分 ∵圆经过点A （2,2）且与y 轴相切，
∴有22
(2)[2(2)]42
a a a ⎧-+--+=⎪⎨=⎪⎩
解得2a =，
∴所求方程是：2
2
(2)4x y -+=.……………6分
（Ⅱ）设(),Q x y ，由22
32QF QE -=得：()()()()2222131132x y x y ⎡⎤-++--+-=⎣⎦
，
解得3y =，所以点Q 在直线3y =上。

……………8分
因为点Q 在圆C ：2
2
()[(2)]4x a y a -+--+=上，所以圆C 与直线3y =必有交点。

…………10分 因为圆C 圆心到直线3y =的距离(2)32d a =-+-≤，解得31a -≤≤。

…………13分 所以圆C 的横坐标a 的取值X 围是31a -≤≤。

…………14分
20.（本题满分14分）
(1)解法一：任取x R ∈，则()()f x f x -=恒成立
即()2
222x x a x x a --+--=-+-恒成立 3分
∴x a x a -=+恒成立，两边平方得：222222x ax a x ax a -+=++ ∴0a = 5分
(1)解法二(特殊值法)：因为函数()y f x =为偶函数，所以()()11f f -=，得11a a -=+，得：
0a =(2)若12
a =
， 则2
2
2
121,12()2||1221,2
x x x f x x x x x x ⎧--+<⎪⎪=-+-=⎨⎪-+-≥⎪⎩6分
作出函数的图像
由函数的图像可知，函数的单调递增区间为(]
,1-∞-及1[,1]2
…………8分 (3)不等式()()12f x f x -≥化为()2
212124x x a x x a --+--≥-+-
即：()242121x a x a x x ---+≤+- (*)对任意的[)0,x ∈+∞恒成立 因为0a >，所以分如下情况讨论：
①0x a ≤≤时，不等式(*)化为()()2
42121x a x a x x --+-+≤+-⎡⎤⎣⎦
即24120x x a ++-≥对任意的[]
0,x a ∈恒成立，
因为函数()2
412g x x x a =++-在区间[]
0,a 上单调递增，则只需()00g ≥即可，得1
2
a ≤
，又0a > ∴1
02
a <≤
……… 10分 ②1a x a <≤+时，不等式(*)化为()()2
42121x a x a x x -+-+≤+-⎡⎤⎣⎦，
即24160x x a -++≥对任意的(]
,1x a a ∈+恒成立， 由①，102
a <≤
，知：函数()2
416h x x x a =-++在区间(],1a a +上单调递减，则只需()10h a +≥即可，即2420a a +-≥，得26a ≤--或62a ≥-
因为1622
-<
所以，由①得1
622a -≤≤………… 12分
③1x a >+时，不等式(*)化为()()2
42121x a x a x x ---+≤+-⎡⎤⎣⎦
即2230x a +-≥对任意的()1,x a ∈++∞恒成立，
因为函数()2
23x x a ϕ=+-在区间()1,a ++∞上单调递增，则只需()10a ϕ+≥即可，
即2420a a +-≥，得2a ≤-2a ≥122
a ≤≤
综上所述得，a 的取值X 1
22
a ≤≤…… 14分.。