章末复习2：第一章 常用逻辑用语

单元复习
一、 知识点梳理
二、学法指导
1．命题及其关系
(1)命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
(2)四种命题的相互关系：
(3) “若p 则q ”是真命题，即p q ⇒；“若p 则q ”是假命题，则p q ⇒/．
(4) 在判断命题真假的问题中，一方面可以直接写出命题进行判断，也可以通过命题的等价性进行判断，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价．
(5) 充分必要条件的判断是本部分的一个重要题型，在解题中应注意：
①注意问题的设问方式，我们知道，
(ⅰ)p 是q 的充分不必要条件是指p q ⇒且p q ⇐/；
(ⅱ)p 的必要不充分条件是q 是指p q ⇒且q p ⇒/．这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误．
②要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的．
③恰当地进行转化，由原命题与逆否命题等价可知：若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；若p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件．
(6) 证明p 是q 的充要条件
充分性：把p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q ；
必要性：把q 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p ．
2．逻辑联结词与量词
(1)含有“且(∧)”“或(∨)”“非(⌝)”命题的真假性：
(2)全称量词与存在量词：命题中的“对所有”、“任意一个”等短语叫做全称量词，用符号“∀”表示，“存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符号“∃”表示．
含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈．
含有存在量词的命题叫做特称命题，特称命题：“存在M 中任意一个x ，使()p x 成立”可用符号简记为,()x M p x ∃∈．
(3)
3．解题指导
例1 设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2 + b 1x + c 1 > 0和a 2x 2 + b 2x + c 2 > 0
的解集分别为集合M 和N ，那么a 1a 2= b 1b 2= c 1c 2
是M=N 的______条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
分析：题中要判断Q ：a 1a 2 = b 1b 2= c 1c 2
是P ：M=N 的什么条件，若Q ⇒P ，则Q 是P 的充分条件；若P ⇒Q ，则Q 是P 的必要条件；若P ⇔Q ，则Q 是P 的充要条件．判断时，先设Q 成立，举反例说明Q ⇒P 不成立，同样设P 成立，举反例说明P ⇒Q 不成立，则可说明Q 既不是P 的充分条件，也不是P 的必要条件．
解：①当a 1a 2= b 1b 2 = c 1c 2
时不一定有M =N ．若取a 1 = 1， b 1 =－3， c 1 =2，a 2 =－1，b 2 = 3，c 2 =－2， 则a 1a 2 =b 1b 2 =c 1c 2
，但不等式x 2－3x + 2>0与－x 2 + 3x －2 > 0的解集分别为M ={x |x <1或x >2}，N ={x |1<x <2}，它们不同，所以a 1a 2= b 1b 2= c 1c 2
不是M =N 的充分条件； ②若M =N ，则也不一定有a 1a 2 =b 1b 2 =c 1c 2
．如x 2 + x + 1 > 0与x 2 + x + 3> 0的解集都为R ，即M=N =R ，但是此时a 1=1，b 1=1，c 1=1，a 2=1，b 2=1，c 2=3，对应项的系数不成比例，
因此a 1a 2 =b 1b 2 =c 1c 2
不是M =N 的必要条件． 综上所述，a 1a 2 =b 1b 2 = c 1c 2
是M =N 的既不充分也不必要条件． 点评：判断充分条件、必要条件与充要条件的方法，通常有以下几种：
(1)直接利用概念判断
如果p ⇒ q ，那么p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； 如果p ⇔ q ，那么p 是q 的充要条件．判断时可直接根据充分条件、必要条件、充要条件的概念，找到条件p 和条件q 的关系，判断其充要性．
(2)利用命题的真假性判断
如果命题“若p 则q ”为真，那么“p ⇒ q ”，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；如果命题“若p 则q ”的真假难以判定，那么可考察其逆否命题“若非q 则非p ” 的真假．如果“若非q 则非p ”为真，即“非q ⇒非p ”，那么“p ⇒ q ”，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．因此，可利用命题(或其等价命题)的真假性来判断条件的充要性．
(3)利用关系结构图判断
对于涉及到多个条件的充分条件、必要条件、充要条件的判定，可先画出它们的关系结构图，再予以判定．
(4)利用集合知识判断
充要条件还可以从集合的包含关系的角度来理解，它们之间有这样的对应关系：
设满足条件p 的元素构成集合A ，满足条件q 的元素构成集合B ，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若A = B ，则p 是q 的充要条件．即A ⊆B 与p ⇒ q 是等价的； A = B 与 p ⇔q 是等价的．根据这个对应关系，有时可以更方便地判断条件的充要性．
例2 若()113
x p f x -=，()2223x p f x -=，12,,x R p p ∈为常数， 且()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨
>⎪⎩．求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）．
解：()()1f x f x =恒成立⇔()()12f x f x ≤⇔12323x p x p --≤⇔123log 233x p x p ---≤ ⇔1232x p x p log ---≤（*） 因为()()121212x p x p x p x p p p ---≤---=-
所以，故只需12p p -32log ≤则（*）恒成立
综上所述，
对所有实数成立的充要条件是：12p p -32log ≤．
点评：本小题是2008年江苏卷试题，主要考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．。