永州市名校2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题含解析

永州市名校2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为 （ ） A ．5 B
．C
．D
．【答案】C 【解析】
分析：由三角形面积公式可得c ，再由余弦定理可得b ，最后结合正弦定理即可得结果.
详解：根据三角形面积公式得，1
1sin4522
c ⋅⋅⋅︒=，
得c =则2222cos 25b a c ac B =+-=，即5b =
，
22
R =
= C. 点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.
2．设a R ∈，函数32()(3)f x x ax a x =-++的导函数是()f x '，若()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为（ ） A ．3y x =- B ．2y x =- C ．3y x = D ．2y x =
【答案】C 【解析】 【分析】
先由求导公式求出()f x '
，根据偶函数的性质求出a ，然后利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而写
出切线方程． 【详解】
()2()323f x x ax a '=-++，因为()f x '是偶函数，
所以()()f x f x ''-=，即()()()2
2323323x ax a x ax a -+++=-++ 解得0a =，
所以3()3f x x x =+，2
()33f x x '=+，
则(0)3k f '==，所以切线方程为3y x = 故选C
【点睛】
本题主要考查利用导函数求曲线上一点的切线方程，属于基础题． 3．若0,0a
b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取
,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
4．抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为（ ） A ．至多两件次品 B ．至多一件次品 C ．至多两件正品 D ．至少两件正品
【答案】B 【解析】
试题分析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品．故B 正确． 考点：对立事件．
5．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围为（ ）
A ．56a ≤≤
B ．56a <<
C ．56a ≤<
D ．56a <≤
【答案】C 【解析】 输入0,1S i ==
执行循环体1,12S S i i i =+==+=，不满足i a > 继续执行循环体3,13S S i i i =+==+=，不满足i a > 继续执行循环体6,14S S i i i =+==+=，不满足i a > 继续执行循环体10,15S S i i i =+==+=，不满足i a >
继续执行循环体15,16S S i i i =+==+=，由题可知满足6i a =>，输出15S = 故[
)5,6a ∈ 故选C
6．若曲线3222y x ax ax =-+上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2- D ．1-
【答案】B 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数,由导函数大于0恒成立转化为二次不等式对应二次方程的判别式小于0,进一步求解关于a 的不等式得答案. 【详解】
解:由3
2
22y x ax ax =-+,得2
342y x ax a '
=-+,
Q 曲线32:22C y x ax ax =-+上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,
∴对任意实数23420x x ax a -+>，恒成立,
2(4)4320a a ∴=--⨯⨯<V .
解得:3
02
a <<
. ∴整数a 的值为1.
故答案为B 【点睛】
本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率,考查了数学转化思想方法,是中档题.
7．下列命题中真命题的个数是（ ） ①若p q ∧是假命题，则p 、q 都是假命题；
②命题“x ∀∈R ，3210x x -+≤”的否定是“0x ∃∈R ，32
0010x x -+>”
③若p ：1x >，q :1
1x
<，则p 是q 的充分不必要条件. A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】
分析：由复合命题的真假判断判断①；写出全程命题的否定判断②；由不等式的性质结合充分必要条件的判定方法判断③．
详解：①若p ∧q 是假命题，则p ，q 中至少一个是假命题，故①错误；
②命题“∀x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是“32
00010x R x x ，＞∃∈-+”，故②正确；
③若x ＞1＞0，则11x ＜
，反之，若11x
＜，则x ＜0或x ＞1． 又p ：x ≤1，q ：11x
＜
，∴￢p 是q 的充分不必要条件，故③正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：C ．
点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定方法，考查命题的否定，属于中档题． 8．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
【答案】D 【解析】 【分析】
令()3
g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．
【详解】
令3
()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，
又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，
所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．
9．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B =I A ．(1,0)- B ．(0,2)
C ．(2,0)-
D ．(2,2)-
【答案】A 【解析】
{|12},A x x =-<<2 {|20}B x x x =+<{|20},x x A B =-<<⋂ {|10}x x =-<<(1,0)=-，故选
A.
10．二项式()()1n
x n N *
+∈的展开式中2
x
项的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【解析】
二项式()1n
x +的展开式的通项是1C r r
r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以
2C 15n =，即
，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．
【考点定位】二项式定理．
11．在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n …
，1x ，2x …n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n =L 都在直线y=3?
x+1-上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A ．-3 B ．0
C ．-1
D ．1
【答案】C 【解析】
因为所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线31y x =-+上，所以回归直线方程是31y x =-+，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点()(),1,2,..,i i x y i n =，都在直线上，则有1,r =∴相关系数1r =-，故选C.
12．已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=>，若集合()()(
){
}10x f x x π=∈，中含有4个元素，
则实数ω的取值范围是 A ．7562⎡⎫⎪⎢⎣⎭
， B ．31926⎛⎤
⎥⎝⎦
，
C ．7
2526⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
D ．19962⎛⎤
⎥⎝
⎦， 【答案】D 【解析】 【分析】
先求出()2sin 3f x x πω⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，解方程()1f x =得直线1y =与曲线()y f x =在()0+∞，上从左到右的五个交点的横坐标分别为3715192766666πππππωωωωω，，，，，再解不等式192766ππ
πωω
<≤得解. 【详解】
()()
sin 2sin 03f x x x x πωωωω⎛
⎫==-> ⎪⎝
⎭.
由题意，()1f x =在()0π，上有四个不同的实根.
令2sin 13x πω⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，得()236x k k Z ππωπ-=+∈或()5236x k k Z ππωπ-=
+∈， 即()22k x k Z ππωω=
+∈或()726k x k Z ππωω
=+∈. 直线1y =与曲线()y f x =在()0+∞，
上从左到右的五个交点的横坐标分别为3715192766666πππππωωωωω
，，，，. 据题意是192766πππωω<≤，解得199
62
ω<≤. 故选D. 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，
则使不等式1
2019113
n T ->成立的最大正整数n 的值是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求
和公式可得数列{2n a }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|1
3
T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】
数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5，
即15158281a a a a +=⎧⎨
⋅=⎩解得15181
a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴1
3n n a -=，
则2122221333n n T -=++++L 11132311313
n n -
⎛⎫
=⨯
=- ⎪⎝⎭
-， ∴12019
113n T ->，即1
201913
n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6. 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．(432)n x y -+(n ∈N*)展开式中不含y 的项的系数和为 ________ . 【答案】1 【解析】 【分析】
先将问题转化为二项展开式的各项系数和问题，再利用赋值法求出各项系数和． 【详解】
要求()432n
x y -+ (n ∈N ∗)展开式中不含y 的项，
只需令y=0，()432n
x y -+(n ∈N*)展开式中不含y 的项的系数和即为()43n
x -展开式的系数和， 令x=1得()43n
x -展开式的各项系数和为()431n
-=； 故答案为：1. 【点睛】
因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
15．在区间[35，-]上随机取一个实数x ，则事件“1
1()42
x
≤≤”发生的概率为____． 【答案】14
【解析】 【详解】
由1142x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，得﹣2≤x≤0，由此利用几何概型概率计算公式能求出事件“1142x
⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭”发生的概率． ∵1142x
⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
，∴﹣2≤x≤0，
∵在区间[﹣3，5]上随机取一个实数x ， ∴由几何概型概率计算公式得：
事件“1142x
⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
”发生的概率为p=
0+25+3=14． 故答案为：14
． 【点睛】
本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．
16．已知函数2sin(2)(0)2
y x π
ϕϕ=+<<
的一条对称轴为6
x π
=
，则ϕ的值为_______．
【答案】6
π
【解析】 【分析】
根据对称轴为6
x π
=可得()26
2
k k Z π
π
ϕπ⨯
+=
+∈，结合ϕ的范围可求得结果.
【详解】 6
x π
=
Q 为函数的对称轴 ()26
2
k k Z π
π
ϕπ∴⨯
+=
+∈
解得：()6
k k Z π
ϕπ=
+∈
又02π
ϕ<< 6
πϕ∴=
本题正确结果：6
π
【点睛】
本题考查根据三角函数性质求解解析式的问题，关键是能够采用整体对应的方式来进行求解. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知动圆P 经过点()1,0N ，并且与圆()2
2:116.M x y ++=相切.
（1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）设(),0G m 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，当k 为何值时？ 2
2
GA GB ω=+ 是与m 无关的定值，并求出该值定值.
【答案】（1）22
1
43
x y +=（2）352.
【解析】 【分析】
（1）由题意可得点P 的轨迹C 是以M 、N 为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距的长度，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()(),022G m m -<<，直线():l y k x m =-，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A 、B 的横坐标与纵坐标的和与积，再由2
2
GA GB ω=+是与m 无关的定值求得k ，进一步得到该定值． 【详解】
（1）由题设得：|4PM PN +=，∴点P 的轨迹C 是以M 、N 为焦点的椭圆，
24a =Q ，22c =
，b ∴==∴椭圆方程为22143
x y
+=；
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()(),022G m m -<<，直线():l y k x m =-，
由()
2214
3y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()()22222438430k x k mx k m +-+-=，
由韦达定理得2122843k m
x x k +=+，()
221224343
k m x x k -=+，
()()2
2
211GA k x m =+-，()()2
2
221GB k x m =+-，
()()()()()222222222
21212121122GA GB k x m x m k x x m x x m ⎡⎤⎡⎤
∴+=+-+-=++-++⎣⎦⎣⎦
()()()()()()
()
2222
221212122
22
6432431431222k x x x x m x m k k x m k k
⎡⎤=++--++⎣+⎦
--+=++，
2
2
GA GB ω=+Q 的值与m 无关，2430k ∴-=
，解得k =．此时352ω=．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法与待定系数法，是中档题．
18．如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形, 222DC AD AB ===，
DAB ∠=90ADC ∠=o
,PB =PDC ∆为等边三角形.
（1）证明：PD BC ⊥；
（2）求二面角A PD C --的余弦值. 【答案】 (1)略；(2)13
- 【解析】 【分析】
（1）推导出,BD BC PB BC ⊥⊥，从而得到BC ⊥平面PBD ，由此可证得PD BC ⊥；
（2）推导出PB BD ⊥，以B 为原点BC 为x 轴，BD 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】
（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，222DC AD AB ===，
DAB ∠=90ADC ∠=o ,2PB =PDC ∆为等边三角形，
所以22112BC BD ==+=
222BD BC CD +=，222
PB BC PC +=,
所以,BD BC PB BC ⊥⊥，又由BD PB B =I ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BD ⊂平面PBD ，所以PD BC ⊥； （2）因为222BD PB PD +=，所以PB BD ⊥，
以B 为原点BC 为x 轴，BD 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则22(2),2,0),(2,0,0)22
A P D C -
， 所以22(2),2,2),(2,0,2)PA PD PC =-==u u u r u u u r u u u r ，
设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z =r
，
则22
2022
220
n PA x y z n
PD z ⎧⋅=-+=⎪
⎨⎪⋅=-=⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得(1,1,1)n =-r ， 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =u r
，。