2018-2019学年河南省郑州市登封、新郑、中牟高一下学期期末联考数学试题(解析版)

浙江省湖州市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．在直角坐标系中，直线0x -=的倾斜角是（） A ．30︒ B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】A
【解析】在直角坐标系中，直线0x -=
=
，等于倾斜角的正切值，
故直线0x -=的倾斜角是30°，故选A ．
2．向量()2,a x =r ，()6,8b =r ，若//a b r r
，则实数x 的值为（）
A ．
32
B ．32
-
C ．83
D ．83
-
【答案】C
【解析】Q 向量(2,)a x =r ，(6,8)b =r ，//a b r r ，即2860x ⨯-=∴解得83
x =．故选C ．
3．圆心为()1,1-且过原点的圆的一般方程是（） A ．222210x y x y ++-+= B ．222210x y x y +-++= C ．22220x y x y ++-= D ．22220x y x y +-+=
【答案】D
【解析】根据题意，要求圆的圆心为(1,1)-，且过原点，且其半径r ==
，
则其标准方程为2
2
(1)(1)2x y -++=，变形可得其一般方程是2
2
220x y x y +-+=， 故选D ．
4．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=（） A ．90︒ B ．120︒ C ．135︒ D ．150︒
【答案】B
【解析】在ABC ∆中，5a =Q ，7b =，8c =，
∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582
a c
b B a
c +-+-===⨯⨯，
b c <Q ，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ．
5．若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（） A ．1 B ．-2
C ．1或-2
D ．2
3
-
【答案】A
【解析】试题分析：由两直线平行可知满足()
121{
1142m m m m
⨯=+∴=⨯≠- 6．已知函数()2
f x ax bx c =++，若关于x 的不等式()0f x >的解集为()1,3-，则（）
A ．()()()401f f f >>
B ．()()()104f f f >>
C ．()()()014f f f >>
D ．()()()140f f f >>
【答案】B
【解析】关于x 的不等式()0f x >的解集为(1,3)-， 可得0a <，且1-，3为方程20ax bx c ++=的两根， 可得13b a -+=-
，13c a
-⨯=，即2b a =-，3c a =-，2
()23f x ax ax a =--，0a <， 可得(0)3f a =-，f （1）4a =-，f （4）5a =， 可得f （4）(0)f f <<（1），故选B ．
7．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（）
A ．140,0a d dS >>
B ．140,0a d dS <<
C ．140,0a d dS ><
D ．140,0a d dS <>
【答案】B
【解析】∵等差数列
，，，成等比数列，∴
，
∴，∴，，
故选B.
8．已知向量a r ，b r 的夹角为60︒
，且2a =r ，1b =r ，则a b -r r 与12
a b +r r 的夹角等于（）
A ．150︒
B ．90︒
C ．60︒
D ．30︒
【答案】C
【解析】·1a b =r r ，224,1a b ==r r ；
∴a b -==
r
r
12a b +===r r ，2211113()?()?2122222
a b a b a a b b -+=+-=+-=r r
r r r r r r ；
设a b -r r 与12a b +r r 的夹角为θ，则1()?()12cos 122
a b a b a b a b
θ-+==-+r r
r r r r r r ； 又0180θ︒︒剟
，60θ∴=︒，故选C ． 9．已知数列{}n a 满足11a =，2
1n n a a n --=（n *∈N 且2n ≥），且数列21{}n a -是递增数
列，数列2{}n a 是递减数列，又12a a >，则100a =（） A ．5050- B ．5050 C ．4950- D ．4950
【答案】A
【解析】2
212a a -=Q ，即214a -=，25a ∴=或3-，
又12a a >，23a ∴=-．
Q 数列21{}n a -为递增数列，数列2{}n a 为递减数列， ∴当n 为奇数时，0n a >，当n 为偶数时，0n a <，
∴121(1)n n n a a n +--=-⋅．
1001009999989897211()()()()a a a a a a a a a a ∴=-+-+-+⋯+-+
2222222100999897969521=-+-+-+--+L
22222222))(10099(9897(96195)(2)----=-----L
(10099989796321)=-+++++⋯+++
1001
10050502
+=-
⨯=-．故选A ． 10．设a ∈R ，若不等式2
211
48x x ax x x x
++-+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[2,12]- B ．[2,10]-
C ．[4,4]-
D ．[4,12]-
【答案】D
【解析】221148x x ax x x x
+
+-+-…恒成立，即为22
118(4)x x a x x x ++-+-…
恒成立， 当0x >时，可得22118
4a x x x x x
-+
+-+…的最小值，
由2222118118828x x x x x x x x x x x x +
+-+++-+=+=厖， 当且仅当2x =取得最小值8，即有48a -…，则4a -…； 当0x <时，可得22118
4[]a x x x x x
--+
+--…的最大值，
由22118828x x x x x x x -+
+-----=厖， 当且仅当2x =-取得最大值8-，即有48a --…，则12a …，
综上可得412a -剟
．故选D ． 二、填空题
11．已知点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量AB =uu u r ____，向量BC =u u u r ____．
【答案】(3,1)(7,4)--；
【解析】Q 点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--u u u r
，
∴点C 坐标为(4,2)--，∴向量(3,1)AB =u u u r
，向量(7,4)BC =--u u u r
．
12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．若sin sin b A a C =，1c =，π
6
B =，则b =____，a =____． 【答案】1
【解析】sin sin b A a C =Q ，∴由正弦定理可得：ab ac =，即b c =，
1c =Q ，1b ∴=，又π6B =
Q ，π6C ∴=，2π3
A A
B π=--=， ∴
由余弦定理可得：a === 13．已知实数,x y 满足10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
则目标函数2z x y =-的最大值是____，满足条件的
实数,x y 构成的平面区域的面积等于____． 【答案】2 2；
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由2z x y =-得2y x z =-．平移直线2y x z =-，
由图象可知当直线2y x z =-经过点B 时，直线2y x z =-的截距最小，此时z 最大．
由10
330x y x y +-=⎧⎨
--=⎩
，解得(1,0)B ，代入目标函数2z x y =-得2102z =⨯-=．
即目标函数2z x y =-的最大值为2．10
330
x y x y -+=⎧⎨--=⎩点(2,3)A 时，同理(0,1)C ，
满足条件的实数x ，y 构成的平面区域的面积等于：
1311
211132222
+⨯-⨯⨯-⨯⨯= 14．已知()2,5P -在圆C ：22220x y x y m +--+=上，直线l ：3480x y ++=与圆C 相交于,A B ，则实数m =____，BC AB ⋅=u u u r u u u r
____． 【答案】23-32-；
【解析】把(2,5)P -代入圆2
2
:220C x y x y m +--+=， 解得23m =-．即圆C 的方程为2
2
(1)(1)25x y -+-=， 所以5r AC BC ===，
又圆C 到直线AB 的距离34835
d ++=
=，
所以||8AB =，则6425254
cos 2855
ABC +-∠=
=⨯⨯，
所以4
·
cos(π)58()325
BC AB AB BC ABC =-∠=⨯⨯-=-u u u v u u u v ． 15．已知0,0,8a b ab >>=，则()22log log 2a b ⋅的最大值是____． 【答案】4
【解析】由题意可得当log2a •log2（2b ）最大时，log2a 和log2（2b ）都是正数， 故有a ＞1．
再利用基本不等式可得log2a •log2（2b ）≤[log2a +log2(2b )2]2=[log2(2ab )2]2=[log2162]2=4， 当且仅当a =2b =4时，取等号，即当a =4时，log2a •log2（2b ）取得最大值
16．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 【答案】3
【解析】设塔的顶层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为2的等比数列，
∴S 7=
71(12)
12
a --=381，解得a 1=3．故答案为：3. 17．若关于x 的方程20x ax
b ++=（,a b ∈R ）在区间
[]13，
有实根，则2
2(2)a b +-最
小值是____． 【答案】
92
【解析】将20x ax b ++=看作是关于,a b 的直线方程，
22(2)a b +-表示点(,)a b 与点(0,2)之间距离的平方，
点(0,2)到直线20x ax b ++=的距离为2
d =
，
又因为2
y =
=t =
，
1
y t t =+在t ∈上单调递增，所以min 2
d =， 所以2
2
(2)a b +-的最小值为9
2
． 三、解答题
18．已知直线l 过点()1,3，且在y 轴上的截距为1． （Ⅰ）求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 与圆C ：
()()22
5x a y a -++=相切，求实数a 的值．
解：（Ⅰ）由题意得l 过点(1,3)和点(0,1)，
则31
210
k -=
=-，所以直线l 的方程为21y x =+；
（Ⅱ）由题意得圆心(,)a a -，半径r =
又
d =
=
即|31|5a +=，解得4
3
a =
或2a =-. 19．已知等比数列{}n a 的各项为正数，n S 为其前n 项的和，3=8a ，3=14S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n n b a -是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项的和n T ．
解：（Ⅰ）由题意知，等比数列{}n a 的公比1q ≠，且0q >，
所以()
23131381141a a q a q S q ⎧==⎪-⎨==⎪-⎩
，解得1
22a q =⎧⎨=⎩，或118
23a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍去）
， 则所求数列{}n a 的通项公式为2n
n a =.
（Ⅱ）由题意得1(1)332n n b a n n -=+-⨯=-，
故32322n
n n b n a n =-+=-+
()23123(14732)2222n n n T b b b b n =+++⋯+=+++⋯+-++++⋯+
()212(132)212
n
n n -+-=+
-1232222n n n +=+-- 20．如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，点123,,P P P 四等分线段BC ．
（Ⅰ）求112
AB AP AP AP ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
的值； （Ⅱ）若点Q 是线段3AP 上一点，且112AQ AB mAC =+u u u r u u u r u u u r
，求实数m 的值． 解：（Ⅰ）由题意得31344AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，21122
AP AB AC =+uuu
r uu u r uuu r 则112131311444422AB AP AP AP AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅+⋅⋅=⋅+++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r 22913884AB AC AB AC =++⋅uu
u r uuu r uu u r uuu r 913131111cos608848
︒=⨯+⨯+⨯⨯⨯=
（Ⅱ）以为点Q 是线段3AP 上一点，所以设，312
AP AQ AB m AC λλλ==
+u u u r u u u r u u u r u u u r
又333BP PC =，所以31344AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故1
124
34m λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
， 解得3
1
4m λ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，因此所求实数m 的值为14. 21．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知(),2m a c b =-u r
，()cos ,cos n C A =r ，且m n ⊥u r r ．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若123AB AC -=u u u r u u u r
，求ABC ∆面积的最大值．
解：（Ⅰ）由m n ⊥u r r
得cos (2)cos 0a C c b A ⋅+-⋅=，
则sin cos (sin 2sin )cos 0A C C B A ⋅+-⋅=
得sin()2sin cos 0A C B A +-⋅=，即sin 2sin cos 0B B A -⋅= 由于sin 0B ≠，得1
cos 2
A =
，又A 为内角，因此60A ︒=. （Ⅱ）将123AB AC -=两边平方，即22
433b bc c ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭
33bc bc ≥-=
所以12bc ≤，当且仅当6b =，2c =时取等号.
此时1sin 24
ABC S bc A bc ∆=
=
，其最大值为22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11n n a S n +=++（n *∈N ）． （Ⅰ）求23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：31
222n n T -≤<（n *∈N ）．
解：（Ⅰ）2123a S =+=，3237a S =+= 由()*
11
n n a S n n +=++∈N 得1(2)n
n a
S n n -=+≥，
两式相减得121(2)n n a a n +=+≥
故()1121n n a a ++=+，又()211214a a +=+= 所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，
因此1
122n n a -+=⨯，即21n n a =-.
（Ⅱ）当2n ≥时，
()1
11111212211n n n n a -+⎛⎫=<= ⎪--+⎝⎭
，
所以0
1
2
1
123111*********n n n T a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++⋯+<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
11122121212
n
n ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==⨯-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-
.当2n ≥时，111212n n n
a =>- 故2312311111111222n
n n T a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++⋯+≥++++ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L 21
1112231112212
n n
-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+=-- 又当1n =时，1131122
T =≥
-，11<2T =.因此31
222n n T -≤<对一切*n ∈N 成立.。