2024届湖南省邵阳市部分学校高三下学期三模联考数学试卷

2024届湖南省邵阳市部分学校高三下学期三模联考
数学试卷
一、单选题
(★★) 1. 已知集合，，则（）
A．B．C．D．
(★★) 2. 复数的虚部为（）
A．B．C．13D．
(★★) 3. 已知是等比数列，且，，则（）A．12B．24C．36D．48
(★★★) 4. 已知，，则（）
A．B．C．D．
(★★★) 5. 在平行四边形中，与交于点，点满足，，则（）
A．B．C．D．
(★★★) 6. 已知抛物线：的焦点为，点在的准
线上，点在上且位于第一象限，，则（）
A．B．C．D．
(★★★) 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
(★★★) 8. 已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
二、多选题
(★★★) 9. 为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（）
A．图中的值为0.025
B．样本中底部周长不小于110cm的树木有12株
C．估计该片经济林中树木的底部周长的分位数为115
D．估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表）
(★★★) 10. 若正数，满足，则（）
A．B．
C．D．
(★★★★) 11. 已知函数的定义域为，且，若
，则（）
A．B．是偶函数C．D．
三、填空题
(★★) 12. 写出满足“点在圆外部”的一个的值： _________ ．
(★) 13. 展开式中含项的系数为 ______ .
(★★★)14. 在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的
外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为
_________ ．
四、解答题
(★★★) 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，，且．
(1)求的值；
(2)若，的面积为，求的周长．
(★★★)16. 为创造良好的城市消防安全环境，某社区举行“消防安全”答题活动，答题人根据所获得的分数获得相应的奖品．工作人员给每位答题人提供了A，
B两类题目．规定每位答题人共需回答3道题目．现有两种方案供答题人任意
选择：
甲方案：只答A类题目；
乙方案：第一次答A类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答
A类题目，每次答错时，则下一次答B类题目．
已知A类题目每次答对得40分，答错得0分，B类题目每次答对得30分，答
错得0分．若小李每道A类题目能答对的概率均为，每道B类题目能答对的
概率均为，且每道题能否答对与回答顺序无关．
(1)若小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分的概率；
(2)若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？
(★★★) 17. 如图，在四棱台中，四边形是边长为4的菱形，，平面，．
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值．
(★★★★) 18. 已知椭圆：的离心率为，右顶点与
的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．
(★★★★★) 19. 已知函数，．
(1)若在处取得极值，讨论的单调性；
(2)设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方；
(3)设，证明：．。