2020年高二数学 “每周一练”系列(20)试题 精品

高二数学“每周一练”系列试题（20）
1．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N ＋满足关系式2S n ＝3a n －3.
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1
，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正数n ，总有T n <1.
2．已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且2，a n ，S n 成等差数列．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）求证：若b n ＝log 2a n a n
，T n 为数列{b n }的前n 项和，则T n <2.
3．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.
（1）求a n 与b n ；
（2）求1S 1＋1S 2＋…＋1S n
.
4．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；
（Ⅱ）令b n =211n a -（n ∈N *），求数列{}n b 的前n 项和n T ．
5．在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列；
（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）记2222323n n
n T a a a =+++g g g ，证明n 32n T 2n 2<-≤≥（2）.
参考答案
1．解：（1）由题意知2a n ＝S n ＋2，a n >0，
当n ＝1时，2a 1＝a 1＋2，∴a 1＝2.
当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2，
两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n a n －1
＝2.
∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴a n ＝a 1·2n －1＝2n （n ∈N ＋）．
（2）证明：由（1）知a n ＝2n ，∴b n ＝n 2n . T n ＝12＋24＋38＋…＋n 2n .① 12T n ＝14＋28＋316＋…＋n 2
n ＋1，② ①－②，得12T n ＝12＋14＋18＋116＋…＋12n －n 2
n ＋1， ∴12T n ＝1－12n －n 2
n ＋1. ∴T n ＝2－2＋n 2
n <2. 2．解：（1）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，
则d 为正数，a n ＝3＋（n －1）d ，b n ＝q n －1，
依题意有⎩⎪⎨⎪⎧
S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2q ＝8或⎩⎨⎧ d ＝－65，q ＝403.（舍去）
故a n ＝3＋2（n －1）＝2n ＋1，b n ＝8n －1.
（2）S n ＝3＋5＋…＋（2n ＋1）＝n （n ＋2），
所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)
＝12（1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2
） ＝12（1＋12－1n ＋1－1n ＋2
） ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)
. 3．解：（1）由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3(n ≥2). 故2（S n －S n －1）＝2a n ＝3a n －3a n －1，
即a n ＝3a n －1（n ≥2）．
故数列{a n }为等比数列，且q ＝3.
又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，
∴a 1＝3.∴a n ＝3n （n ∈N ＋）．
（2）证明：b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1
. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝（1－12）＋（12－13）＋…＋（1n －1n ＋1
） ＝1－1n ＋1
<1. 4．解:（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
11
2721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，
所以321)=2n+1n a n =+-（
；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1
⋅， 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-L =11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)
， 即数列{}n b 的前n 项和n T =
n 4(n+1)。

5．（I ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，54412a a =+=，
65618a a =+=。

从而655432
a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列。

（II ）解：由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈
所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+- ()441...41k k =+-++⨯
()21,*k k k N =+∈.
由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=.
所以数列{}n a 的通项公式为221,2,2
n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈。

（III ）证明：由（II ）可知()2121k a k k +=+，222k a k =，
以下分两种情况进行讨论：
（1）当n 为偶数时，设n=2m ()*m N ∈
若1m =，则2
222n
k k k n a =-=∑，
若2m ≥，则
()()()22
222112211112212214441221n m m m m k k k k k k k k k k k k k k a a a k k k --=====++++=+=++∑∑∑∑∑
()()21111441111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==⎡⎤+⎡⎤⎛⎫=++=++-⎢⎥ ⎪⎢⎥++-⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑ ()11312211222m m n m n ⎛⎫=+-+
-=-- ⎪⎝⎭. 所以223122n k k k n a n =-=+∑，从而2
2322,4,6,8,....2n k k
k n n a =<-<=∑ （2）当n 为奇数时，设()21*n m m N =+∈。

()()()22
222222121213142221n m k k k k m m m k k m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ ()11314222121
m n m n =+-=---+ 所以2231221n k k k n a n =-=++∑，从而2
2322,3,5,7,....2n k k
k n n a =<-<=∑ 综合（1）和（2）可知，对任意2,*,n n N ≥∈有
32 2.2n n T <-≤。