深圳市高三年级第二次调研考试（文科数学）答案及评分标准

深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分50分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B A D A C B A B
二、填空题：本大题每小题5分(第13题前空2分，后空3分；第14、15两小题中选做一 题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．
11．)1,0(． 12． 8
3
a . 13．（Ⅰ）81； （Ⅱ）
1004． 14．24． 15．3．
三、解答题：本大题满分80分． 16．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，4
π
=
A ，10
10cos =
B . （Ⅰ）求
C cos ； （Ⅱ）设5=
BC ，求CB CA ⋅的值.
解：（Ⅰ）由1010cos =
B ，),0(π∈B ，得10
103sin =B ………………1分 )(B A C +-=π ，)4
cos(cos B C +-=∴π
， ………………3分
B B
C sin 4
sin cos 4cos cos π
π+-=∴ ………………5分
即5
5
cos =
C . ………………6分 （Ⅱ）根据正弦定理得
B A
C A BC sin sin =，A
B
BC AC sin sin ⋅=⇒， ………………8分 由10103sin =
B ，得32
21010
35sin sin =⋅
=⋅=
A
B
BC AC ， ………………10分
3cos =⋅=⋅∴C CB CA CB CA . ………………12分
17．（本小题满分12分）
现有编号分别为1，2，3，4，5的五个不同的物理题和编号分别为6，7，8，9的四个不同的化学题.甲同学从这九题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率相等.用符号),(y x 表示事件“抽到的两题的编号分别为x 、y ，且y x <”. （Ⅰ）共有多少个基本事件？并列举出来.
（Ⅱ）求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率. 解:（Ⅰ）共有36个等可能性的基本事件，列举如下：
)2,1(，)3,1(，)4,1(，)5,1(，)6,1(，)7,1(，)8,1(,)9,1(，)3,2(，)4,2(，)5,2(，)6,2(，)7,2(，)8,2(,)9,2(，)4,3(，)5,3(，)6,3(，)7,3(，)8,3(,)9,3(，)5,4(，)6,4(，)7,4(，)8,4(,)9,4(，)6,5(，)7,5(，)
8,5(,
)
9,5(，
)
7,6(，
)
8,6(,
)
9,6(，
)
8,7(,
)
9,7(，
)9,8( ………………6分
（Ⅱ）记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11”为事件A . 即事件A 为“{},1,2,3,4,5,6,7,8,9x y ∈，且x y +∈[)11,17，其中y x <”， 由（1）可知事件A 共含有15个基本事件，列举如下：
)9,2(，)8,3(,)9,3(，)7,4(，)8,4(,)9,4(，)6,5(，)7,5(，)8,5(,)9,5(，)7,6(，)8,6(,)9,6(，)8,7(,)9,7( ………………10分
12
5
3615)(==
∴A P . ………………12分 答：（Ⅰ）共有36个基本事件；（Ⅱ）G 同学所抽取的两题的编号之和不小于11且小
于17的概率为125
. ………………12分
18．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥ABCD S -中，,2==AB SA 22==SD SB ，底面ABCD 是菱形，︒=∠60ABC ，E 为CD 的中点． （Ⅰ）证明：⊥CD 平面SAE ；
（Ⅱ）侧棱SB 上是否存在点F ，使得//CF 平面SAE ？证明你的结论．
S A
B C D E
F N
M
证明：（Ⅰ） ABCD 是菱形，︒=∠60ABC ，
2===∴AD AC AB ，ACD ∆∴为正三角形， ………………2分 又E 为CD 的中点，AE CD ⊥∴
,2===AD AB SA 22==SD SB ，
则有2
2
2
AB SA SB +=，2
2
2
AD SA SD +=，
AB SA ⊥∴，AD SA ⊥ ………………4分 又A AD AB = ，⊥∴SA 底面ABCD ， CD SA ⊥∴
由AE CD ⊥，CD SA ⊥，A SA AE = ，
⊥∴CD 平面SAE …………7分
（Ⅱ）F 为侧棱SB 的中点时，//CF 平面SAE ． ………………8分
证法一：设N 为SA 的中点，连FC NE NF ,,，则NF 是SAB ∆的中位线，
AB NF //∴且AB NF 21=
，又//CE 且AB CE 2
1
=， NF CE //∴且NF CE =，∴四边形CENF 为平行四边形， ……………11分
NE CF //∴，⊂NE 平面SAE ，⊄CF 平面SAE ，
//CF ∴平面SAE ． ………………14分
证法二：设M 为AB 的中点，连FC MC MF ,,，则MF 是SAB ∆的中位线，
SA MF //∴，⊂SA 平面SAE ，⊄MF 平面SAE ，
//MF ∴平面SAE ． ………………10分
同理，由AE CM //，得//CM 平面SAE ．
又M MC MF = ，∴平面//FMC 平面SAE ， ………………12分
又⊂CF 平面FMC ，//CF ∴平面SAE ． ……………14分
19．（本题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=2
3
)(图像上一点),1(m M 处的切线方程为02=-y ，其中c b a ,,为常数.
（Ⅰ）函数)(x f 是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a 表示）； （Ⅱ）若1=x 不是函数)(x f 的极值点，求证：函数)(x f 的图像关于点M 对称. 解：（Ⅰ）c bx ax x x f +++=2
3
)(，b ax x x f ++='23)(2
， ………………1分
由题意，知2=m ，,21)1(=+++=c b a f 023)1(=++='b a f ，
即.4,32+=--=a c a b ……………………2分
).3
21)(1(3)32(23)(2a
x x a ax x x f +
+-=+-+=' …………………3分 ① 当3-=a 时，0)1(3)(2
≥-='x x f ，函数)(x f 在区间),(+∞-∞上单调增加， 不存在单调减区间； ……………………5分 ② 当3->a 时，13
21<-
-a
，有 x )3
21,(a ---∞ )1,3
21(a -
- ),1(+∞
)(x f ' +
-
+
)(x f
↑
↓
↑
∴当3->a 时，函数)(x f 存在单调减区间，为;1,321⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-
-a ……………7分 ③ 当3-<a 时， 13
21>-
-a
，有 x )1,(-∞
)3
21,1(a -
- ),3
21(+∞-
-a
)(x f ' +
-
+
)(x f
↑
↓
↑
∴当3-<a 时，函数)(x f 存在单调减区间，为;321,1⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--a …………9分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：若1=x 不是函数)(x f 的极值点，则3-=a ，
,1,3==c b .2)1(133)(323+-=++-=x x x x x f …………………10分
设点),(00y x P 是函数)(x f 的图像上任意一点，则2)1()(3
000+-==x x f y ，
点),(00y x P 关于点)2,1(M 的对称点为)4,2(00y x Q --，
,4222)1(2)12()2(0030300y y x x x f -=+-=+--=+--=-
（或 0
02
03
00203
002
003
02
000203004)133(43331
363121261281
)2(3)2(3)2()2(y x x x x x x x x x x x x x x x x f -=++--=+-+-=+-+-+--+-=+-+---=- ）
∴点)4,2(00y x Q --在函数)(x f 的图像上.
A
O
y
x
l N
M
P
F 2
F 1
由点P 的任意性知函数)(x f 的图像关于点M 对称. …………………14分
20．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的离心率22
=e ，左、右焦点分别为
1F 、2F ，点)3,2(P 满足：2F 在线段1PF 的中垂线上．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）若斜率为k 的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于点)0,2(A 、M 、N ，且
A MF F NF 212∠=∠，求k 的取值范围． （Ⅰ）解法一：椭圆C 的离心率22
=e ，
得2
2=a c ，其中22b a c -=…………1分 椭圆C 的左、右焦点分别为),0,(1c F -、)0,(2c F ， ………2分
又点2F 在线段1PF 的中垂线上，221PF F F =∴，2
22)2()3()2(c c -+=∴ ………3分
解得1,2,12
2===b a c ， ………5分
∴椭圆C 的方程为12
22
=+y x ． …………6分 解法二：椭圆C 的离心率2
2
=
e ，得22=a c ，其中22b a c -=…………1分
椭圆C 的左、右焦点分别为),0,(1c F -、)0,(2c F ， ………2分 设线段1PF 的中点为D ，),0,(1c F - )3,2(P ，)2
3
,22(
c D -∴， 又线段1PF 的中垂线过点2F ，121-=⋅∴DF PF k k ， ………………3分
即
⇒-=--⋅+12223
23c c
c 1,2,122===b a c ， ………………5分 ∴椭圆方程为12
22
=+y x ………………6分 （Ⅱ）由题意，直线l 的方程为)2(-=x k y ，且0≠k ， ………………7分
联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12
)2(2
2y x x k y ，得0288)21(2
222=-+-+k x k x k ，
由0)21(82
>-=∆k ，得2
222<<-
k ,且0≠k ………8分 设),(),,(2211y x N y x M ，则有2
221218k k x x +=+，,212
82221k k x x +-= （*） A MF F NF 212∠=∠ ，且由题意 ︒≠∠902A NF ，
022=+∴NF MF k k ， 又),0,1(2F ………………10分
0112211=-+-∴
x y x y ，即01
)
2(1)2(2211=--+--x x k x x k ， ………………11分 0)1
1
11(
221=-+--∴x x ，整理得04)(322121=++-x x x x ， 将（*）代入得，-+-2221416k k 0421242
2=++k
k ， ………………12分 知上式恒成立，故直线l 的斜率k 的取值范围是)2
2
,0()0,22(⋃-
． …………14分 21.（本题满分14分）已知首项为1的数列{}n a 满足：对任意正整数,n 都有：
,2)32(2
2
2
2
21
1
31
21
1321c n n a a a a n a n a a a n +⋅+-=⋅++⋅+⋅+⋅---- 其中c 是常数.
（Ⅰ）求实数c 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设数列⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
-⋅-1
)
2
1(n a n a 的前n 项和为n S ，求证：,212m n S S >-其中.,*∈N n m
解：（Ⅰ）由11=a ，及,2)3121(2
121
11c a a +⋅+⨯-=⋅-得.3-=c …………2分
（Ⅱ）解法一：当2≥n 时，有
[]
,223)1(2)1(2)32(2
121221
---⋅=⋅+----⋅+-=⋅n n n a n n n n n n a n ………5分
设函数,22
2
)(21
2
x x x x x f ⋅=⋅=-则),()(n f a f n = 当0>x 时，,02ln 22
2)(2>⋅+⋅='x
x
x x x f 函数)(x f 在区间[)+∞,0上是增函数，故.,2n a n a n n == ………………7分
又,12
1=a 从而对,*∈∀N n 有.2n a n = ……………………8分
解法二：当2≥n 时，有
[]
,223)1(2)1(2)32(2
12221
--⋅=⋅+----⋅+-=⋅n n n a n n n n n n a n …………5分
假设,n a n >则,22
,22
,121
11
2----⋅>⋅>>n a n n a n n a n a n n
这与121
22
--⋅=⋅n a n n a n 矛盾；
假设,n a n <则,22
,22
,0121
11
2----⋅<⋅<<≤n a n n a n n a n a n n
这也与121
22
--⋅=⋅n a n n a n 矛盾. 故.,2n a n a n n == …………………7分
又,12
1=a 从而对,*∈∀N n 有.2n a n = ……………………8分
（Ⅲ）对,
*
∈∀N n 11)2
1
()21(---⋅=-⋅n a n n a n ，
1221)2
1
()21()1()21(3)21(21---⋅+-⋅-++-⋅+-⋅+=n n n n n S ， …………9分
n n n n n S )2
1
()21()1()21(2)21()21(12-⋅+-⋅-++-⋅+-=-- ， 两式相减，得n
n n n S )21()21()21()21(12312-⋅--++-+-+=- ，
)32()21(32)21()
2
1(1)21(123+--=-⋅-----=
n n S n n n
n ， .)123()21(194⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--=
n S n n ……………………12分
,94)213()21(194)213()21(194121212>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=
---n n S n n n ,9
4)13()21(194)13()21(194222<⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=
m m S m m m .212m n S S >∴- ……………………14分
命题：胡庆华 洪建明 袁智斌 审题：石永生。