高考数学浙江专版(理)一轮复习：第11篇 第4讲.pdf

第4讲　古典概型
分层A级　基础达标演练
(时间：30分钟　满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )．
A. B.
C. D.
解析　由题意知，基本事件有1134,1143,3114,4113,3411,4311, 1314,1413, 4131,3141,1341,1431，共12个，满足条件的基本事件就一个，故所求概率为P＝.
答案　A
2．(2013·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )．
A. B.
C. D.
解析　基本事件有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，共10个，其中为同色球的有4个，故所求概率为＝.
答案　C
3．(2013·福州一模)甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )．
A. B.
C. D.
解析　(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P＝＝.
答案　A
4．(2012·茂名二模)在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为( )．
A．12 B．18 C．24 D．32
解析　设女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以＝，得x＝12，故该班参加聚会的同学有18人，故选B. 答案　B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2012·上海虹口质检)从{1,2,3,4,5,6}中随机选一个数a，从{1,2,3}中随机选一个数b，则a<b的概率等于
________．
解析　由题意得基本事件总数为18，满足a<b的有3个，所以所求概率为.
答案
6．(2013·南京模拟)在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点
P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．
解析　由题意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个，在圆x2＋y2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为＝.
答案
三、解答题(共25分)
7．(12分)(2012·天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
列出所有可能的抽取结果；
求抽取的2所学校均为小学的概率．
解　(1)由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校数目为6×＝3；从中学中抽取的学校数目为6×＝2；从大学中抽取的学校数目为6×＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．
所以P(B)＝＝.
8．(13分)在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题
，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题中随机抽取一题作答．
(1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；
(2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．
解　由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是
(A1，A1)，(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A2，A1)，(A2，A2)，(A2，B)，(A2，C)，(B，A1)，(B，A2)，(B，B)，(B ，C)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，(C，C)．
(1)用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M包含的基本事件有
(A1，A1)，(A1，A2)，(A2，A1)，(A2，A2)，(B，B)，(C，C)，所以P(M)＝＝.
(2)用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N包含的基本事件有
(B，A1)，(B，A2)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，所以P(N)＝.
分层B级　创新能力提升
1．(2013·山西省部分重点中学联考)甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0,5,10三种数字，每人则可喊
0,5,10,15,20五种数字，当两人所出数字之和等于甲所喊数字时为甲胜，当两人所出数字之和等于乙所喊数字时为乙胜，若甲喊10，乙喊15时，则( )．
A．甲胜的概率大 B．乙胜的概率大
C．甲、乙胜的概率一样大 D．不能确定
解析　两人共有9种出数的方法，其中和为10的方法有3种，和为15的方法有2种，故甲胜的概率要大，应选A.
答案　A
2．(2012·合肥二模)将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为( )．
A. B.
C. D.
解析　由题意知(a，b)的所有可能结果为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．其中满足a－2b＋4的概率是________．
解析　e＝ >，b>2a，符合b>2a的情况有：当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．则所求概率为＝.
答案
5．(2010·福建)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n{1,2,3,4}．
(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；
(2)若“使得am(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．
解　(1)有序数组(m，n)的所有可能结果为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
(2)由am(am－bn)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝＝.
6．(2012·枣庄二模)袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，…，6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．
(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；
(2)如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．
解　(1)若编号为n的球的重量大于其编号．
则n2－6n＋12>n，即n2－7n＋12>0.
解得n4.
n＝1,2,5,6.从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝＝.
(2)不放回的任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形为
：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共有15种可能的情形．
设编号分别为m与n(m，n{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，
即有(m－n)(m＋n－6)＝0.
m＝n(舍去)或m＋n＝6.
满足m＋n＝6的情形为(1,5)，(2,4)，共2种情形．
由古典概型，所求事件的概率为.。