2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.2.1 双曲线的简单几何性质优质课件

2 3，则双曲线的渐近线方程为( C )
A．y＝± 2x
B．y＝±2x
C．y＝± 22x
D．y＝±12x
(2)若双曲线x92－ym2＝1 的渐近线方程 l 为 y＝± 35x，则双曲线焦
点 F 到渐近线 l 的距离为( D )
A．2
B. 14
C．2 5
D. 5
[解析] (1)由题意得 b＝1，c＝ 3，所以 a＝ c2－b2＝ 2，
解析：双曲线的标准方程可写为 y2－－x21 ＝1，a＝1，b＝ m
－ 1 ，故 m
2
－m1 ＝2×2，得 m＝－14.
4．双曲线 x2－y2＝10 的渐近线方程为___x_±__y_＝__0___． 解析：因为 a＝ 10，b＝ 10，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝±bax＝±x，即 x±y＝0.
交于 A、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离
心率 e 的取值范围为( B )
A．(1，＋∞)
B．(1，2)
C．(1，1＋ 2)
D．(2，1＋ 2)
(2)设 F1，F2 是双曲线 C：ax22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，
P 是 C 上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 的最小内角 为 30°，则 C 的离心率为____3____．
2．若双曲线x32＋yk2＝1 的离心率为 3，则实数 k 的值为( C )
A．－16
B.16
C．－6
D．6
解析：由题意可知 k＜0，a＝ 3，b＝ －k，c＝ a2＋b2＝
3－k，
所以 e＝ac＝
3－k＝ 3
3，得 k＝－6.
3．双曲线 mx2＋y2＝1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于 _－__14_____．
(2)由渐近线方程是 3x±y＝0，
可设所求双曲线方程为x12－y2＝λ(λ≠0)，(*) 9
将点 P(2，－1)的坐标代入(*)，得 λ＝35，
所以所求双曲线方程为3x52－3y52 ＝1. 9
[方法归纳]
(1)若已知双曲线的渐近线方程为 mx±ny＝0，求双曲线方程，
渐近线相同的双曲线有无数多条，焦点可能在 x 轴上，也可 能在 y 轴上，要分情况进行讨论．现依据渐近线方程，设出
2．(1)已知 F1，F2 是双曲线ax22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，
以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1 的中点 P 在双曲 线上，则双曲线的离心率是( C )
A. 3
B．2
C. 3＋1
D．3
(2)设双曲线 C：xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物 线 y2＝x 的一个交点的横坐标为 x0，若 x0＞12，则双曲线 C 的 离心率的取值范围是( B )
因为点 A(2 3，－3)在双曲线上， 所以 λ＝1126－99＝－14. 所以所求双曲线方程为1x62 －y92＝－14，即y92－x42＝1.
4
双曲线的离心率
(1)已知 F 是双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，E
是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线
解析：(1)因为实轴长为 4 3，所以 a＝2 3，其渐近线方程为 y＝±bax，(2 3，0)为其一顶点，bx－2 3y＝0 为其一条渐近线，
则(2 3，0)到 bx－2 3y＝0 的距离为 |2 3b| ＝ 3，得 b2＝ b2＋12
4.故此双曲线的方程为1x22 －y42＝1. (2)设与双曲线1x62－y92＝1 共渐近线的双曲线方程为1x62 －y92＝ λ(λ≠0)．
2 3－1
＝ 3＋1.
(2)该双曲线的一条渐近线为 y＝bax，代入 y2＝x 得 x＝0 或 x ＝ba22，因为 x0＞12，即ba22＞12，所以c2－a2a2＞12即ca22＝e2＜3，
得 e∈(－ 3， 3)，又因为 e＞1，所以 e∈(1， 3)．
双曲线的渐近线及其应用
(1)设双曲线ax22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的虚轴为 2，焦距为
5 C. 2
D. 5
解析：(1)因为 e＝ 3，所以 e2＝ca22＝a2＋a2 b2＝1＋(ba)2＝3，
所以b＝ a
2，又焦点在 x 轴，所以渐近线方程为 y＝±
2x.
(2)双曲线的渐近线方程为 y＝±bax，不妨考虑 y＝bax，将其代
入 y＝x2＋1 整理得：x2－bax＋1＝0，Δ＝ba22－4＝0，得 b2＝
以坐标轴为对称轴，以原点为对称中心的对称 图形
__(_±__a_，__0_)____
__(0_，__±__a_)____
实轴A1A2，虚轴B1B2 ___e>__1________
__y_＝__±_ba_x______
y＝±abx
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线 x2－y2＝m(m≠0)的离心率为 2，渐近线方程为 y ＝±x.( √ ) (2)平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交 点．( √ ) (3)双曲线的弦的两个端点不一定在双曲线的同一支 上．( √ ) (4)若直线与双曲线xa22－yb22＝1 相离，则直线与 x 轴垂直或直线 与渐近线重合．( × )
[方法归纳] (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出 a，c，再 计算 e＝ac；二是依据条件建立参数 a，b，c 的关系式．一种 方法是消去 b 转化成离心率 e 的方程求解，另一种方法是消 去 c 转化成含ba的方程，求出ba后利用 e＝ 1＋ba22求离心率． (2)若求离心率 e 的取值范围，则应由题意寻求 a，b，c 的不 等关系，由此得出关于 e 的不等式，再进行求解．
由几何性质求双曲线的标准方程 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的 双曲线方程： (1)离心率 e＝ 2，且过点(－5，3)； (2)过点 P(2，－1)，渐近线方程是 y＝±3x. (链接教材 P42 例 3)
[解] (1)因为 e＝ac＝ 2，所以 c＝ 2a，b2＝c2－a2＝a2.
渐近线
xa22－yb22＝1(a>0，b>0) __(_±__c_，__0_)____
ya22－xb22＝1(a>0，b>0) __(_0_，__±__c_)___
___2_c________ _x_≥___a_或__x_≤__－__a___
_____2_c______ __y_≥__a_或__y_≤__－__a__
4．已知实数 1，m，9 成等比数列，则圆锥曲线xm2＋y2＝1 的 离心率为( C )
A．(1，
6 2)
B．(1， 3)
C．( 3，＋∞)
D．( 26，＋∞)
解析：(1)因为△F1F2M 为正三角形，|PM|＝|F1P|，所以 F2P
⊥PF1，所以|F1F2|＝2c＝2|PF1|，即|PF1|＝c，|PF2|＝ 3c，
由双曲线定义：|PF2|－|PF1|＝(
3－1)c＝2a，故 e＝ca＝
第三章 圆锥曲线与方程
3．2 双曲线的简单性质 第1课时 双曲线的简单几何性质
1．问题导航 (1)双曲线有几条对称轴，是中心对称图形吗？ (2)双曲线的顶点、焦点、实轴、虚轴、焦距、离心率是怎样 定义的？双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是什么？ 在双曲线的标准方程中，焦点分别在 x 轴上或在 y 轴上时，x 与 y 的取值范围是多少？e 的取值范围是什么？
1＋（43）2＝53.
因为一条渐近线方程为 y＝43x，
所以ab＝43，这时ba＝34.
所以离心率 e＝ac＝
1＋（ba）2＝
1＋（34）2＝54.
故双曲线的离心率为53或54.
[错因与防范] (1)本例易主观认为焦点在 x 轴上，忽略考虑焦 点在 y 轴上的情况而漏解． (2)一般情况下若只给出渐近线方程、焦距、离心率等条件， 要注意焦点位置的讨论，如本例中分焦点在 x 轴上或在 y 轴 上两种情况讨论．
4a2＝c2－a2，故 e＝ 5.
易错警示
忽视双曲线焦点位置致误
已知双曲线xm2－yn2＝1 的一条渐近线方程为 y＝43x， 则该双曲线的离心率 e 为____53_或__54_______．
[解析] 当双曲线的焦点在 x 轴上时，
因为一条渐近线方程为 y＝43x，所以ba＝43，
所以离心率 e＝ac＝ 1＋（ba）2＝ 当双曲线的焦点在 y 轴上时，
3．(1)若双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 3，则其渐近 线方程为( D )
A．y＝±2x
B．y＝±
2 2x
C．y＝±12x
D．y＝± 2x
(2)设双曲线xa22－yb22＝1 的一条渐近线与抛物线 y＝x2＋1 只有一
个公共点，则双曲线的离心率为( D )
A.54
B．5
2．例题导读 P42 例 3.通过本例学习，掌握建立坐标系、运用待定系数法求 双曲线的方程． 试一试：教材 P43 练习 T1、T2 你会吗？
双曲线的几何性质
类型
xa22－yb22＝1(a>0，b>0)
ya22－xb22＝1(a>0，b>0)
图像
类型
焦点 焦距 范围
性 对称性 质
顶点 轴
离心率
双曲线方程为 m2x2－n2y2＝γ(γ≠0)，求出γ即可．
(2)与ax22－yb22＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为ax22 －by22＝γ(γ≠0)． (3)与双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)有相同焦点的双曲线方程 可设为a2x－2 γ－b2y＋2 γ＝1(－b2＜γ＜a2)．
[解析] (1)由题意可得|AF|＜|FE|，把点 A 的横坐标－c 代入 双曲线方程得：y2＝ba42，所以|AF|＝ba2，因为|EF|＝a＋c， 所以ba2＜a＋c，即 e2－e－2＜0，得 e∈(－1，2)． 又因为 e＞1，所以 e∈(1，2)． (2)不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2| ＝6a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则在△PF1F2 中， ∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－ 2(4a)(2c)cos 30°，整理得(e－ 3)2＝0，所以 e＝ 3.
a2＋b2＝ a
1＋ab22，故当ba的值越大，渐近线 y＝bax 的
斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲
线开口的大小，即b22＝1(a＞0，b＞0)中，如果 a＝b，那么 方程可化为 x2－y2＝a2.此时，双曲线的实轴长和虚轴长都等 于 2a，且两条渐近线互相垂直．实轴和虚轴等长的双曲线叫 做等轴双曲线．等轴双曲线的渐近线方程是 y＝±x，离心率 e ＝ 2.
1．对双曲线渐近线的两点说明 (1)随着 x 和 y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近， 但永远没有交点． (2)由渐近线方程可确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值，但无法确定 焦点位置．
2．离心率对双曲线开口大小的影响 以双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)为例．
e＝ac＝
故双曲线的渐近线方程为 y＝±bax＝±22x.
(2)该双曲线的渐近线方程为 y＝± 3mx＝±35x，故 m＝5.
所以 c＝ a2＋b2＝ 14.
所以
F
到
l
| 的距离为
35×
14| ＝
5.
59＋1
[方法归纳] 求渐近线方程的两种方法 (1)当已知标准方程的焦点所在坐标轴时，用公式法 y＝±bax(焦 点在 x 轴)或 y＝±abx(焦点在 y 轴)求解． (2)把双曲线标准方程右端的“1”换为“0”即得渐近线方程．
当焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准方程为ax22－ya22＝1，把点(－
5，3)代入，得
a2＝16，所以所求双曲线的标准方程为1x62 －
y2 16
＝1； 当焦点在 y 轴上时，设双曲线的标准方程为ya22－ax22＝1，把点(－
5，3)代入，得 a2＝－16，不合题意．
综上可知，所求双曲线的标准方程为1x62－1y62 ＝1.
1．(1)已知双曲线ax22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为 4 3，顶
点到渐近线的距离为 3，则此双曲线的方程为 __1x_22_－__y_42_＝__1______．
(2)与双曲线1x62－y92＝1 共渐近线且过 A(2 3，－3)点的双曲线 y92－x42＝1
方程为_____4_______________．