新初中数学向量的线性运算易错题汇编含答案解析

新初中数学向量的线性运算易错题汇编含答案解析
一、选择题
1．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）
A ．A
B CD =u u u r u u u r
B ．A
C B
D =uuu r uu u r
C ．AO O
D =u u u r u u u r
D ．BO OD =-u u u r u u u r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】
相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ． A. AB CD =-u u u r u u u r
，故该选项错误；
B. AC BD =u u u r u u u r
，但方向不同，故该选项错误；
C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =u u u r u u u r
，故该选项正确； D. BO OD =u u u r u u u r
，故该选项错误；
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．
2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④
方向相同 A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则
方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但
的模不一定，③错误； 对于④，若
，则
能推出
的方向相同，但
的方向相同，得到
④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C.
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
3．计算45a a -+r r
的结果是（ ）
A ．a
B ．a r
C ．a -
D ．a -r
【答案】B 【解析】 【分析】
按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】
-4a+5a=a v v v ,
所以答案为B 选项 【点睛】
本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键
4．下列命题：
①若a b r r
=，b c =r
r
，则c a =r r
； ②若a r ∥b r ，b r
∥c r ，则a r ∥c r
；
③若|a r
|=2|b r
|，则2a b =r
r
或a r
=﹣2b r
； ④若a r
与b r
是互为相反向量，则a r +b r
=0． 其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】
①若a b =r r
，b c =r
r
，则c a =r r
，正确； ②若a r
∥b r ，b r
∥c r ，则a r ∥c r
，正确；
③若|a r
|=2|b r
|，则2a b =r
r
或a r
=﹣2b r
，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相反；
④若a r 与b r 是互为相反向量，则a r +b r
=0，正确．
综上所述，真命题的个数是3个． 故选C ．
5．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r
的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．3a b =r r
B ．3a b =-r r
C ．3b a =r r
D ．3b a =-r r
.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】
∵1,3a b ==v v
，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.
故选D ． 【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
6．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）． ①0m <，0a ≠r
r
时，ma r 与a r
的方向一定相反；
②0m ≠，0a ≠r r 时，ma r 与a r 是平行向量；
③0mn >，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】
解：①因为0m <，1＞0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
是平行向量，故②正确；
③因为0mn >，0a ≠r
r
，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r
的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r
r
，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r
的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】
此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.
7．下列结论正确的是（ ）．
A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量
B ．若AB u u u r
是单位向量，则BA u u u r 不是单位向量
C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r
是单
位向量
D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】
A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；
B. AB u u u r
是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B
不正确；
C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r
都等于这个单位
长度，这时OA u u u r 、OB uuu r
都是单位向量，故选项C 正确；
D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】
本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.
8．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r
的是（ ） A ．a r
//c r ，b r //c r
B ．2a c =r r ，3b c =r r
C ．5a b =-r r
D ．||2||a b =r r
【答案】D 【解析】
分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ．
∵a r
∥c b r
r
，∥c r
，∴a b P u u r r
，故本选项，不符合题意； B ．
∵a r =2c b r r ，=3c r
，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；
C ．
∵a r
=﹣5b r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；
D ．
∵|a r
|=2|b r |，不能判断a b P u u r r ，故本选项，符合题意．
故选D ．
点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．
9．已知向量，且
则一定共线的三点是( )
A ．A 、
B 、D B ． A 、B 、C
C ．B 、C 、D
D ．A 、C 、D
【答案】A
【分析】
证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点 【详解】
解：由向量的加法原理知
所以A 、B 、D 三点共线. 【点睛】
本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.
10．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r
表示向量b r
正确的是（ ）
A ．b r
＝32
a r B ．
b r
＝
23
a r C ．
b r
＝﹣
32
a r D ．
b r
＝-
23
a r 【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件得到非零向量a r
、b r
的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．
【详解】
∵2|a r
|=3|b r |，∴|b r
|23
=
|a r |． 又∵非零向量a r 与b r
的方向相同，∴23
b a =r r ．
故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．
11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v
，那么
AD uuu v
等于（ ）
A ．a b +v v
B ．2233a b +v v
C ．23a b -v v
D ．23
a b +v v
【答案】D
【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v
，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．
【详解】 解：∵2BD CD =
∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v
∴
23
AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v 故选D ． 【点睛】
此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．
12．已知e r 是单位向量，且2,4a e b e =-=v v v v
，那么下列说法错误的是（ ）
A ．a r
∥b r
B ．|a r |=2
C ．|b r |=﹣2|a r |
D ．a r =﹣12
b r
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵e v 是单位向量，且2a e =-v v ，4b e =v v ，
∴//a b v v ，2a =v ，
4b =v ， 12
a b =-v v ， 故C 选项错误， 故选C.
13．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r ，则||n v
=（ ）
A ．1
B 2
C 3
D ．2
【答案】B 【解析】
根据向量的运算法则可得: n v
(
)
22
2OA OB +=u u u v u u u v 故选B.
14．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r
，下列说法中，不正确的是（ ）
A ．||2||a b =r r
； B ．a r ∥b r
；
C ．a r 与b r
方向相反； D ．20a b +=r r
．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平行向量以及模的知识求解即可.
【详解】
A.∵2a b =-r r
，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴
||2||a b =r r
，该选项不符合题意错误；
B. ∵2a b =-r r
，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -r 与b
r 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r ，该选项不符合题意错误； C. ∵2a b =-r r
，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；
D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r
是两个矢量相加是带方向的，应该是
02b a →
→→
+=，该选项符合题意正确；
故选：D 【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本知识.
15．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r
可以用点P 的
坐标表示为：(,)OP m n u u u v
=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r
互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）
A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u r
B ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u r
C ．OG =u u u r ；(OH =u u u r
D ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】
解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】
本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.
16．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP uuu r
可以用点P 的坐
标表示为：OP uuu r ＝（m ，n ）．已知OA u u u r ＝（x 1，y 1），OB uuu r
＝（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2
＝0，那么OA u u u r 与OB uuu r
互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A ．OC u u u r ＝（3，20190），OD uuu r
＝（﹣3﹣1，1）
B ．OE uuu r ﹣1，1），OF uuu r
，1）
C ．OG u u u r 1
2
），OH u u u r ）2，8）
D ．OM u u u u r ），ON u u u r
2，
2
） 【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量互相垂直的定义作答． 【详解】
A 、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC u u u r 与OD uuu r
互相垂直，故本选项符合题意．
B ﹣1+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE uuu r 与OF uuu r
不垂直，故本选项不符合题意．
C ）2
+1
2
×8＝4+4＝8≠0，则OG u u u r 与OH u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．
D 2）×2
＝5﹣4+1＝2≠0，则OM u u u u r 与ON u u u r 不垂直，故本选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.
17．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a r ∥b r
的是（ ）
A ．=a b r r
B ．a r ∥c r ，b r ∥c r
C ．a r +b r ＝0
D ．a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A 、该等式只能表示两a r 、b r
的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意； B 、由a r ∥c r ，b r ∥c r 可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
C 、由a r +b r ＝0可以判定a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意； D 、由a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r ，得到a r
＝52c r ，b r ＝﹣12
c r
，则a r 、b r 的方向相反，可以判定a r
∥b r
，故本选项不符合题意； 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.
18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r
（）＝（）
B ． m n a ma na ++r r r
（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r
（+）＝ D ．若0ma =r r
，那么0a =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】
根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0
v
是有方向的，而0没有，所以错误．
解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v
．∴错误． 故选D ． 【点睛】
本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
19．已知向量a r
和b r
都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）
A ．a b =r r
B ．2a b +=r r
C ．0a b -=r r
D ．a b =r
r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量a r
和b r
都是单位向量，，可知|a r
|＝|b r
|＝1，由此即可判断． 【详解】
解：A 、向量a r
和b r
都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =r
r
不一定成立，故本选项错误．
B 、向量a r
和b r
都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=r
r
不一定成立，故本选项错误．
C 、向量a r
和b r
都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=r
r
不一定成立，故本选项错误．
D 、向量a r
和b r
都是单位向量，则|a r
|＝|b r
|＝1，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键
20．下列关于向量的运算中，正确的是
A ．a b b a -=-r r r r ；
B ．2()22a b a b --=-+r r r r ；
C ．()0a a +-=r r
；
D ．0a a +=r r
．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则进行计算. 【详解】
A.
()
,a b b a A ---v
v v v ＝所以错误； B. (
)
222a b a b B ---v v
v v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -r
v v ＋＝，C 所以错误;
D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.。