理解DFT如何逼近FT的实例教学法
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ｔ ｉ ｅ ｒ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍ（ Ｆ Ｔ ）ｉ ｓ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ａ ｎ ｅ ｘ ａ ｍ ｐ ｌ ｅ ．Ｔ ｈ ｅ ｍａ ｉ ｎ ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｎ ｔ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｉ ｐ ａ ｒ ｅ ｓ ｐ ｅ ｃ —
０ 引言
离散 傅里 叶 变 换 Ｄ Ｆ Ｔ作 为 有 限长 序 列 的一 种 频 域表示 法 ， 在理 论 上 有着 重 要 的 作 用 。 由于其 存 在 快速计 算 方 法一 陕速傅 里 叶变 换 Ｆ Ｆ Ｔ， 因 而在 数
字 信号 处理 中也有 着重 要 的作用 。
虽然 应用 Ｄ Ｆ Ｆ 公式 计算相 当熟 练 ， 但对 Ｄ Ｆ Ｔ概念 的 来龙 去脉 未必清 楚 ， 对 上述 四种 变化 引 出 的误差 也
缺 乏直 观认识 。
本 文通过 Ｄ Ｆ Ｔ计算 实 例 ， 对由Ｆ Ｔ到 Ｄ Ｆ Ｔ的演 变 过程作 了简 单而 系统 的 阐述 ， 将 其 引入到 教学 中 ，
讲授 Ｄ Ｆ Ｆ 对Ｆ Ｔ的逼 近 问题 能加 深学生 对 Ｄ Ｆ Ｔ概念
现 有数 字信号 处理 教材 在 引 入 Ｄ Ｆ Ｔ概 念 时 ， 一
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｎ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｉ ｐ ｂ ｅ ｔ ｗ ｅ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ Ｆ ｏ ｕ ｉ ｒ ｅ ｒ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍ（ Ｄ Ｆ Ｔ ）ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ｏ ｕ ｓ ｔ ｉ ｍ ｅ Ｆ ｏ ｕ
区 间就形成 了 Ｄ Ｆ Ｔ 。这一过 程 中存 在 四种变 化需要
１ Ｄ Ｆ Ｔ逼 近 Ｆ Ｔ的过 程
图１ 所示 为 Ｄ Ｆ Ｔ逼近 Ｆ Ｔ的详 细过 程 。
２ ＤＦ Ｔ计 算
考虑下 述 Ｄ Ｆ Ｔ计 算实 例 ：
注意 ， 也即截断效应（ 谱泄漏） ， 折叠效应 ， 栅栏效应 以及 谱折 移 ¨ ｊ 。根据 笔 者 的 教 学 体 会 ， 很 多 学 生
第３ ９卷
第 ５期
电气 电子教学 学报
Ｊ ＯＵＲＮ ＡＬ ＯＦ Ｅ Ｅ Ｅ
Ｖｏ １ ． ３ ９ Ｎｏ ． ５ ０ｃ ｔ ． ２０１ ７
２ ０ １ ７年 １Ｆ Ｔ的 实例 教 学 法
徐 友根 ，彭 开 南 ，郑 一 呜
（ 北京理 工 大学 信 息与 电子 学 院 ， 北京 １ ０ ０ ０ ８ １ ）
摘要 ： 本文结合一个离散傅 里叶变换 Ｄ Ｐ Ｔ计算 实例 ， 分析 了 Ｄ Ｆ Ｔ与连续时 间傅 里叶变换 Ｆ Ｔ之 间的联系 ， 以较为 直观 的方 式 阐述 了 由 Ｆ Ｔ到 Ｄ Ｆ Ｔ的演变过程 ， 以及该过程关键环节对最终结果的影响， 主要包括谱泄漏 ， 折叠效应 ， 栅栏效应以及谱折移等 。教学实践表明， 通过该实例讲
述Ｄ Ｆ Ｔ对 ｒ Ｉ １ 的 逼 近 问题 ， 能有效加深学生对 Ｄ Ｆ Ｔ 的认 识 和 理 解 。
关键词 ： 数字信号处理 ； 傅里叶变换 ； 离散傅里 叶变换
中图 分 类 号 ： Ｔ Ｎ ９ １ ３ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ８ － ０ ６ ８ ６ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ５ ０ － ０ ７ ６ ０３ －
ｔ ｒ ａ ｌ ｌ ｅ ａ ｋ ａ ｇ ｅ，ａ ｌ ｉ ａ ｓ ｉ ｎ ｇ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ，ｇ ｒ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｐ ｈ ｅ ｎ ｏ ｍｅ ｎ ｏ ｎ，ａ ｎ ｄ ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｒ ａ ｌ ｓ ｈ ｉ ｔ．Ｔｅ ｆ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ｅ ｓ ｈ ｏ ｗｓ ｔ ｈａ ｔ ｔ ｈ ｉ ｓ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ — ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｓ ｖ ｅ ｒ ｙ ｈ ｅ ｌ ｐ ｆ ｕ ｌ ｆ ｏ ｒ ｓ ｔ ｕ ｄｅ ｎ ｔ ｔ ｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｓ ｔ ａ ｎ ｄ ｈ ｏ ｗ ＤＦ Ｔ ｗｏ ｒ ｋ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ：ｄ ｉ ｇ ｉ ｔ ａ ｌ ｓ ｉ ｇ ｎ ａ ｌ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ；Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ ｔ ｒ ａ ｎｓ ｆ ｏ ｒ ｍ ；ｄｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍ
的理解 和掌握 。
般从连续非周期信号 的傅立 叶变换 Ｆ Ｔ出发 ， 将信 号时 域 采样 ， 从而 Ｆ Ｔ转 化 为 离 散 时 间 傅里 叶变 换
Ｄ Ｔ Ｆ Ｆ 。然后 将信 号 的频 谱采 样 ， 得 到离散 傅 立 叶级 数 Ｄ Ｆ Ｓ的公 式 。再 将 时域 和 频域 上 各 取 一 个 主值
Ａｎ Ｅｘ ａ ｍ ｐｌ ｅ － Ｂａ ｓ ｅ ｄ Ｉ ｌ ｌ ｕ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｃｏ ｎ ｎｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ＤＦＴ ａ ｎｄ ＦＴ
ＸＵ Ｙｏ ｕ－ ｇ ｅ ｎ，ＰＥＮＧ Ｋａ ｉ － ｎ ａ ｎ，ＺＨＥＮＧ Ｙｉ — ｍｉ ｎｇ （ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆＩ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ ｓ ， Ｂ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｆＴ ｏ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｂ ｅ ｌ ｉ ｔ ｎ ｇ １ ０ ０ ０ ８ １ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
０ 引言
离散 傅里 叶 变 换 Ｄ Ｆ Ｔ作 为 有 限长 序 列 的一 种 频 域表示 法 ， 在理 论 上 有着 重 要 的 作 用 。 由于其 存 在 快速计 算 方 法一 陕速傅 里 叶变 换 Ｆ Ｆ Ｔ， 因 而在 数
字 信号 处理 中也有 着重 要 的作用 。
虽然 应用 Ｄ Ｆ Ｆ 公式 计算相 当熟 练 ， 但对 Ｄ Ｆ Ｔ概念 的 来龙 去脉 未必清 楚 ， 对 上述 四种 变化 引 出 的误差 也
缺 乏直 观认识 。
本 文通过 Ｄ Ｆ Ｔ计算 实 例 ， 对由Ｆ Ｔ到 Ｄ Ｆ Ｔ的演 变 过程作 了简 单而 系统 的 阐述 ， 将 其 引入到 教学 中 ，
讲授 Ｄ Ｆ Ｆ 对Ｆ Ｔ的逼 近 问题 能加 深学生 对 Ｄ Ｆ Ｔ概念
现 有数 字信号 处理 教材 在 引 入 Ｄ Ｆ Ｔ概 念 时 ， 一
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｎ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｉ ｐ ｂ ｅ ｔ ｗ ｅ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ Ｆ ｏ ｕ ｉ ｒ ｅ ｒ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍ（ Ｄ Ｆ Ｔ ）ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ｏ ｕ ｓ ｔ ｉ ｍ ｅ Ｆ ｏ ｕ
区 间就形成 了 Ｄ Ｆ Ｔ 。这一过 程 中存 在 四种变 化需要
１ Ｄ Ｆ Ｔ逼 近 Ｆ Ｔ的过 程
图１ 所示 为 Ｄ Ｆ Ｔ逼近 Ｆ Ｔ的详 细过 程 。
２ ＤＦ Ｔ计 算
考虑下 述 Ｄ Ｆ Ｔ计 算实 例 ：
注意 ， 也即截断效应（ 谱泄漏） ， 折叠效应 ， 栅栏效应 以及 谱折 移 ¨ ｊ 。根据 笔 者 的 教 学 体 会 ， 很 多 学 生
第３ ９卷
第 ５期
电气 电子教学 学报
Ｊ ＯＵＲＮ ＡＬ ＯＦ Ｅ Ｅ Ｅ
Ｖｏ １ ． ３ ９ Ｎｏ ． ５ ０ｃ ｔ ． ２０１ ７
２ ０ １ ７年 １Ｆ Ｔ的 实例 教 学 法
徐 友根 ，彭 开 南 ，郑 一 呜
（ 北京理 工 大学 信 息与 电子 学 院 ， 北京 １ ０ ０ ０ ８ １ ）
摘要 ： 本文结合一个离散傅 里叶变换 Ｄ Ｐ Ｔ计算 实例 ， 分析 了 Ｄ Ｆ Ｔ与连续时 间傅 里叶变换 Ｆ Ｔ之 间的联系 ， 以较为 直观 的方 式 阐述 了 由 Ｆ Ｔ到 Ｄ Ｆ Ｔ的演变过程 ， 以及该过程关键环节对最终结果的影响， 主要包括谱泄漏 ， 折叠效应 ， 栅栏效应以及谱折移等 。教学实践表明， 通过该实例讲
述Ｄ Ｆ Ｔ对 ｒ Ｉ １ 的 逼 近 问题 ， 能有效加深学生对 Ｄ Ｆ Ｔ 的认 识 和 理 解 。
关键词 ： 数字信号处理 ； 傅里叶变换 ； 离散傅里 叶变换
中图 分 类 号 ： Ｔ Ｎ ９ １ ３ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ８ － ０ ６ ８ ６ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ５ ０ － ０ ７ ６ ０３ －
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的理解 和掌握 。
般从连续非周期信号 的傅立 叶变换 Ｆ Ｔ出发 ， 将信 号时 域 采样 ， 从而 Ｆ Ｔ转 化 为 离 散 时 间 傅里 叶变 换
Ｄ Ｔ Ｆ Ｆ 。然后 将信 号 的频 谱采 样 ， 得 到离散 傅 立 叶级 数 Ｄ Ｆ Ｓ的公 式 。再 将 时域 和 频域 上 各 取 一 个 主值
Ａｎ Ｅｘ ａ ｍ ｐｌ ｅ － Ｂａ ｓ ｅ ｄ Ｉ ｌ ｌ ｕ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｃｏ ｎ ｎｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ＤＦＴ ａ ｎｄ ＦＴ
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