2022年高考数学浙江专版三维二轮专题复习训练：知能专练(四) 不 等 式 Word版含答案

知能专练（四） 不 等 式
一、选择题
1．(2022届高三·衢州联考)“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 当a ＝0时，1>0，明显成立；当a ≠0时，⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ＝4a 2－4a <0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．
2．(2021·杭州模拟)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
y ≤x ，
y ≥1
2x ，
x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋1
2
y 的最大值为( )
A.1
4 B.34
C.56
D.53
解析：选C 法一：由z ＝x ＋1
2y 得y ＝－2x ＋2z .作出可行域如图中
阴影部分所示，
⎩⎨⎧
x ＝23
，
y ＝13，
所以
平移直线y ＝－2x ，当直线经过点C 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝12x ，
x ＋y ＝1，解得
点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，13，代入z ＝x ＋12y ，得z ＝23＋12×13＝5
6
. 法二：作出不等式组所表示的平面区域如图中△OBC 及其内部所示，易知O (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，12，C ⎝⎛⎭⎫23，1
3，分别代入z ＝x ＋12y ，z 的值分别为0，34，56，故目标函数z ＝x ＋12y 的最大值为5
6
.
3．(2021·温州模拟)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4
D ．－4或8
解析：选D 当a >2时，－a
2<－1，
f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1
－3x －a －1，x <－a 2
.
其图象如图所示：由图象知f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a
2＋a －1＝a 2－1，依题意得
a 2
－1＝3，解得a ＝8，符合题意．
当a ＝2时，f (x )＝3|x ＋1|，其最小值为0，不符合题意． 当a <2时，－a
2
>－1，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋a ＋1，x >－a
2
，
－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2
，－3x －a －1，x <－1，
得f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭
⎫－a
2， 因此－a
2＋1＝3，解得a ＝－4，符合题意．故选D.
4．(2022·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，
x －2y ＋3≥0
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线
间的距离的最小值是( )
A.35
5
B. 2
C.322
D. 5
解析：选B 依据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率
为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －3＝0，
x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，
联立方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －y －3＝0，
x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 两点且斜率为1的两条直线方程
为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|
2
＝2，故选B.
5．(2022届高三·浙江名校联考)不等式x 2＋2x <a b ＋16b
a 对任意a ，
b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范
围是( )
A ．(－2,0)
B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C ．(－4,2)
D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选C 不等式x 2＋2x <a b ＋16b
a 对任意a ，
b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋ 2x <⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min ，由于a b ＋16b a ≥2
a b ·16b
a ＝8(a ＝4
b 时等号成立)，
∴x 2＋2x <8，解得－4<x <2.
6．设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有4个，则b
a －1的取值范围为( )
A ．(3,4]
B ．(3,4)
C ．(2,3]
D ．(2,3)
解析：选A 整理不等式得[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0.由于整数解只有4个，且1＋a >0，可得1－a <0，所以a >1.其解集为⎝⎛⎭⎫b 1－a ，b 1＋a .又0<b <1＋a ，所以0<b 1＋a <1，欲使解集中的整数只有4个，则－4≤b
1－a <－3，
所以
b
a －1
∈(3,4]． 7．(2021·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x ，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪
x 2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤－47
16，2 B.⎣⎡⎦⎤－4716，39
16 C ．[－23，2]
D.⎣
⎡⎦⎤－23，3916 解析：选A 法一：依据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示． 当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪
x 2＋a 恒成立，结合图象，只需
x 2－x ＋3≥－⎝⎛⎭⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2
＋3＋a ＝0，Δ＝⎝⎛⎭⎫－1
22－4(3＋a )≤0，解得a ≥－47
16
；当x >1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋
2x ≥x
2＋a ，即x 2＋2x ≥a .又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x
，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－4716，2. 法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x
2≤f (x )， 即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x
2在R 上恒成立，
令g (x )＝－f (x )－x
2
.
当x ≤1时，g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x 2＝－x 2＋x
2－3
＝－⎝⎛⎭⎫x －142－47
16， 当x ＝14时，g (x )max ＝－4716
；
当x >1时，g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋2x －x 2＝－⎝⎛⎭
⎫3x 2＋2
x ≤－23， 当且仅当3x 2＝2x ，且x >1，即x ＝23
3时，“＝”成立，
故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－
47
16
. 令h (x )＝f (x )－x
2
，
当x ≤1时，h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－3x
2＋3
＝⎝⎛⎭⎫x －342＋39
16
， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916
；
当x >1时，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2
＋2
x ≥2，
当且仅当x 2＝2
x ，且x >1，即x ＝2时，“＝”成立，
故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.
故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－47
16，2. 二、填空题
8．(2022·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，
3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．
解析：依据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距
离．由
⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋4＝0，
3x －y －3＝0可得A (2,3)， 所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋1
2
＝25
.所以d 2的最小值为4
5，最大值为13.所以x 2＋y 2的取值范围
是⎣⎡⎦⎤45，13.
答案：⎣⎡⎦⎤45，13
9．已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋x
y
的最小值为________．
解析：设y ＝1－x ，则x －y ＝x －(1－x )＝2x －1,0<x <1，所以x －y ∈(－1,1)；1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝y x ＋x
y ＋1≥3，
当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝1
2
时取得等号．
答案：(－1,1) 3
10．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ，x ＋y ≤1，
y ≥0，若z ＝2x ＋y ，则z 的最大值等于________，z 的最小值等于
________．
解析：作出可行域，由y ＝－2x ＋z 知当z ＝2x ＋y 经过(1,0)时，z max ＝2；当z ＝2x ＋y 经过(0,0)时，z min ＝0. 答案：2 0 11．已知
a ，
b ，
c ∈R.若|a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1
对x ∈R 恒成立，则|a sin x ＋b |的最大值为________．
解析：设sin x ＝t ∈[－1,1]，则题意为：
f (t )＝|－at 2＋bt ＋c ＋a |≤1对于任意t ∈[－1,1]恒成立，求|at ＋b |的最大值，条件等价于⎩⎪⎨⎪
⎧
f (1)＝|b ＋c |≤1，f (0)＝|a ＋c |≤1，f (－1)＝|－b ＋c |≤1，
设|at ＋b |max ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|a ＋b |，ab ≥0，
|a －b |，ab <0，
由确定值不等式的性质得： 2≥|a ＋c |＋|±b ＋c |≥|a ±b |，
当且仅当f (1)＝f (0)＝f (－1)时等号成立，|at ＋b |的最大值为2. 答案：2
12．设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≤0，x ＋y ≤4，
x ≥1
表示的平面区域为M ，点P (x ，y )是平面区域内的动点，则z ＝2x －y 的最大
值是________，若直线l ：y ＝k (x ＋2)上存在区域M 内的点，则k 的取值范围是________．
解析：不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示(包括边界)，当z ＝2x －y 经过点B (2,2)时取得最大值2.又k ＝y x ＋2经过点A (1,1)时取得最小值1
3，经过点
C (1,3)时取得最大
值1，所以k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤
13，1.
答案：2 ⎣⎡⎦⎤
13，1
三、解答题
13．某化工企业2021年底投入100万元购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费肯定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单元：万元)．
(1)用x 表示y ；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．求该企业几年后需要重新
更换新的污水处理设备．
解：(1)由题意得，y ＝
100＋0.5x ＋(2＋4＋6＋…＋2x )
x
，
即y ＝x ＋100
x ＋1.5(x ∈N *)．
(2)由基本不等式得： y ＝x ＋100
x ＋1.5≥2
x ·100
x
＋1.5＝21.5， 当且仅当x ＝
100
x
，即x ＝10时取等号． 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．
14．(2022届高三·浙江名校联考)已知函数f (x )＝|x 2－1|，g (x )＝x 2＋ax ＋2，x ∈R. (1)若不等式g (x )＞0的解集是{x |x ＞2或x ＜1}，求不等式f (x )≤g (x )的解集；
(2)若函数h (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0,2)上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数a 的取值范围． 解：(1)易得－a ＝1＋2，得a ＝－3， 于是g (x )＝x 2－3x ＋2.
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－1，x ≤－1或x ≥1，
1－x 2，－1＜x ＜1.
当x ≤－1或x ≥1时，由f (x )≤g (x )得x 2－1≤x 2－3x ＋2，解得x ≤1， ∴此时x 的范围为x ≤－1或x ＝1.
当－1<x <1时，由f (x )≤g (x )得1－x 2≤x 2－3x ＋2，
解得x ≤12或x ≥1，∴此时x 的范围为－1＜x ≤1
2.
综上所述，不等式f (x )≤g (x )的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪x ≤12
或x ＝1. (2)h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x 2＋ax ＋3，x ≤－1或x ≥1，
ax ＋5，－1＜x ＜1.
若a ＝0，则h (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x 2＋3，x ≤－1或x ≥1，
5，－1＜x ＜1.
明显h (x )＞0恒成立，不满足条件．
若a ≠0，则函数φ(x )＝ax ＋5在(0,1)上是单调函数，
即φ(x )在(0,1)上至多有一个零点， 不妨设0＜x 1＜x 2＜2.
①若0＜x 1＜1,1≤x 2＜2，设k (x )＝2x 2＋ax ＋3， 则φ(0)φ(1)＜0，且k (1)k (2)≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋5＜0，(a ＋5)(2a ＋11)≤0，
解得－112≤a ＜－5.
经检验，a ＝－112时，k (x )的零点为34，2，这两个零点均不满足题意，∴a ≠－112，从而－11
2＜a ＜－5.
②若1≤x 1＜x 2＜2，
则⎩⎪⎨⎪⎧
h (1)≥0，
h (2)＞0，
1＜－a
4
＜2，
a 2
－24＞0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋5≥0，
2a ＋11＞0，－8＜a ＜－4，a ＜－26或a >2
6，
解得－5≤a ＜－2 6.
综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－11
2，－26.。