等差等比数列综合问题典例精讲

等差等比数列综合问题典例精讲
1.已知等比数列a n
中，若4a1,a3,2a2成等差数列，则公比q=()
A.1
B.-1或2
C.2
D.-1
思路：由“4a1,a3,2a2成等差数列”可得：2a3=4a1+2a2⇒a3=2a1+a2，再由等比数列定义可得：a3=a1q2,a2=a1q，所以等式变为：q2=2+q解得q=2或q=-1，经检验均符合条件答案：B
2.已知a n
是等差数列，且公差d不为零，其前n项和是S n，若a3,a4,a8成等比数列，则()
A.a1d>0,dS4>0
B.a1d<0,dS4<0
C.a1d>0,dS4<0
D.a1d<0,dS4>0
思路：从“a3,a4,a8成等比数列”入手可得：a24=a3a8⇒a1+3d
2=a1+2d
a1+7d
，整理
后可得：3a1d=-5d2，所以d=-3
5a1，则a1d=-
3
5a21<0，且dS4=d4a1+6d
=-
6a21
25<
0，所以B符合要求
答案：B
小炼有话说：在等差数列(或等比数列)中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用a1,d(或a1,q)进行表示，从而得到a1,d(或a1,q)的关系
3.已知等比数列a n
中的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则ln a1+ln a2+⋯+ln a20=思路：由等比数列性质可得：a10a11=a9a12，从而a10a11=a9a12=e5，因为a n
为等比数列，所以ln a n
为等差数列，求和可用等差数列求和公式：ln a1+ln a2+⋯+ln a20= ln a10+ln a11
2⋅20=10ln a10a11=50
答案：50
4.三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这
三个数为
思路：可设这三个数为a
q,a,aq，则有
a
q⋅a⋅aq=512⇒a3=512，解得a=8，而第一个数与
第三个数各减2，新的等差数列为8
q-2,8,8q-2，所以有：16=
8
q-2
+8q-2
，即
2q+2q=5⇒2q2-5q+2=0，解得q=2或者q=12，q=2时，这三个数为4,8,16，当q= 1
2时，这三个数为16,8,4
答案：4,8,16
小炼有话说：三个数成等比(或等差)数列时，可以中间的数为核心。

设为a
q,a,aq(或a-
d,a,a+d)，这种“对称”的设法便于充分利用条件中的乘积与和的运算。

5.设a n
是等差数列，b n
为等比数列，其公比q≠1，且b i>0i=1,2,3,⋯,n
，若a1=b1, a11=b11，则有()
A.a6=b6
B.a6>b6
C.a6<b6
D.a6>b6或a6<b6
思路：抓住a1,a11和b1,b11的序数和与a6,b6的关系，从而以此为入手点。

由等差数列性质
出发，a1=b1,a11=b11⇒a1+a11=b1+b11，因为a1+a11=2a6，而b n
为等比数列，联想到b1⋅b11与b6有关，所以利用均值不等式可得：b1+b11>2b1b11=2b26=2b6(q≠1故b1≠b11，均值不等式等号不成立)所以a1+a11=b1+b11⇒2a6>2b6即a6>b6
答案：B
6.数列a n
是各项均为正数的等比数列，b n
是等差数列，且a6=b7，则有()
A.a3+a9<b4+b10
B.a3+a9≥b4+b10
C.a3+a9≠b4+b10
D.a3+a9与b4+b10的大小不确定
思路：比较大小的式子为和的形式，所以以b n
为入手点，可得b4+b10=2b7=2a6，从而作差比较a3+a9
-b4+b10
=a3+a9-2a6=a3+a3q6-2a3q3=a3q3-1
2，由a n
为正项等比数列可得：a3q3-1
2≥0，所以a3+a9≥b4+b10
答案：B
7.设数列a n
是以2为首项，1为公差的等差数列，b n
是以1为首项，2为公比的等比数
列，则a b
1+a b
2
+⋯+a b
10
=()
A.1033
B.2057
C.1034
D.2058
思路：求和看通项，考虑a n=a1+n-1
d=n+1,b n=2n-1，所以a b n=b n+1=2n-1+1，
a b
1+a b
2
+⋯+a b
n
=1+2+⋯+2n
+n=2n-1+n，所以a b1+a b2+⋯+a b10=1033
答案：A
8.设1=a1≤a2≤⋯≤a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等
差数列，则q的最小值是
思路：可知等比数列为1,q,q2,q3，等差数列为a2,a2+1,a2+2，依题意可得1≤a2≤q≤a2 +1≤q2≤a2+2≤q3①，若要q最小，则q3要达到最小，所以在①中，每一项都要尽量取较小的数，即让不等式中的等号成立。

所以q3≥a2+2≥1+2=3，所以q≥33，验证当q= 33时，a2=1，①式为1≤1≤33≤2≤3≤3≤3，满足题意。

答案：33
9.已知等差数列a n
的公差d>0，前n项和为S n，等比数列b n
是公比为q的正整数，前
n项和为T n，若a1=d,b1=d2，且a21+a22+a23
b1+b2+b3是正整数，则
S29
T8等于()
A.4517
B.270
17 C.90
17 D.
135
17
解：本题a n
的通项公式易于求解，由a1=d可得a n=a1+n-1
d=nd，而处理b n
通
项公式的关键是要解出q，由b1=d2可得b n=d2⋅q n-1，所以a21+a22+a23
b1+b2+b3=
d2+4d2+9d2
d2+qd2+q2d2
=14
1+q+q2
∈N∗，由q∈N∗，可得q2+q+1∈N∗，所以q2+q+1可取的值为1,2,7,14，可得只有q2+q+1=7才有符合条件的q，即q=2，所以b=2n-1d2，所以S29=45d
2，T8=
b128-1
1=255d2，则S29
T8=
2025d2
255d2
=13517
答案：D
10.n2个正数排成n行n列(如表)，其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列，且所有
的公比都相同，已知a12=1,a42=1
8,a43=
3
16，则a32=，a11+a22+⋯+a nn=
思路：本题抓住公比相同，即只需利用一列求出公比便可用于整个
数阵，抓住已知中的a12=1,a42=1
8，可得q3=
a42
a12=
1
8⇒q=
1
2，从
而只要得到某一行的数，即可求得数阵中的每一项a ij。

而第四列
即可作为突破口，设每i行的公差为d i由a42=1
8,a43=
3
16可得d4
=116，从而a4j=a42+j-2
d4=1
16j，所以a ij=a4j⋅
1
2
i-4=1
16j
⋅12 i-4=j⋅12 i。

则a32=2⋅12 3=14，求和的通项公式a nn=n⋅12 n，利用错位相
减法可求得：a11+a22+⋯+a nn=2-n+2
1 2
n
答案：a32=1
4,a11+a22+⋯+a nn=2-n+2
1
2
n。