2019北京海淀初三(上)期中数学

2019北京海淀初三（上）期中
数学2019.11
学校姓名准考证号
注
意
事
项
1.本调研卷共8页，满分100分。

考试时间120分钟。

2.在调研卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3.调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。

4.在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1.下列图案中，是中心对称图形的是
2. 抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标为
A. (−1，2)
B. (1，2)
C. (1，−2)
D. (2，1)
3. 体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M,N,P,Q四个点处，则表示他最好成绩的点是
A. M
B. N
C. P
D. Q
4. 将抛物线y=2x2向下平移3个单位，得到的抛物线为
A. y=2x2+3
B. y=2x2−3
C. y=2(x+3)2
D. y=2(x−3)2
5. 已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1m，若水面高0.2m.则排水管道截面的水面宽度为
A. 0.6m
B. 0.8m
C. 1.2m
D. 1.6m
6.如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB = 25°.则∠AOC的度数为
A. 30°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
7.下列是关于四个图案的描述.
图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称;
图2所示是一个正三角形内接于圆;
图3所示是一个正方形内接于圆;
图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.
这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是
A.图1和图3
B.图2和图3，
C.图2和图4
D.图1和图4
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−2x2+mx+n与x轴交于A，B两点。

若顶点C到x轴的距离为8，则线段AB的长度为
A. 2
B. 2√2
C. √15
D. 4
二、填空题（本题共16分，每小题2分)
9.在平面直角坐标系中，点P(3，−2)绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为
.
10.写出一个对称轴是y轴的抛物线的解析式:
11.如图，PA,PB是⊙O的切线，A, B为切点，AC是⊙O的直径.若∠P=50°，则∠BAC=
12.若二次函数y=(x−1)2+3的图象上有两点A(0,a)，B(5,b)，则a b(填“>”或“<”).
13.如图,边长为2的正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90°，则点A运动的路径长度为
.
14.在Rt △ABC 中，∠C =90°,AB =10.若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D,则AC 的长为 15. 如图，已知正方形OBCD 的三个顶点坐标分别为B(1,0),C （1,1），D （0,1）.若抛物线y =(x −h)2与正方形OBCD 的边共有3个公共点，则h 的取值范围是 .
16.如图，在∆ABC 中.
(1)作AB 和BC 的垂直平分线交于点O; (2)以点O 为圆心，OA 长为半径作圆;
(3)⊙O 分别与AB 和BC 的垂直平分线交于点M,N; (4)连接AM,AN,CM ，其中AN 与CM 交于点P. 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，
① BC
̂=2NC ̂； ②AB =2AM
③点O 是∆ABC 的外心； ④点P 是∆ABC 的内心. 所有正确结论的序号是
.
三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 已知抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为x =1,M(2,−3)是抛物线上一点，求该抛物线的解析式.
18. 如图，等腰三角形ABC 中，BA =BC ，∠ABC =α.作AD ⊥BC 于点D ，将线段BD 绕着点B 顺时针旋转角。

后得到线段BE ，连接CE.求证:BE ⊥CE .
19.请完成下面题目的证明.
如图，已知AB 与⊙O 相切于点A ，点C, D 在⊙O 上. 求证:∠CAB=∠D.
证明:连接AO 并延长，交⊙O 于点E. ∵AB 与⊙O 相切于点A, ∴∠EAB=90°. ∴∠EAC+∠CAB=90°. ∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ECA=90°( ).(填推理的依据)
∴∠E+∠EAC=90°. ∴∠E=
.
∵AC
̂=AC ̂, ∴∠E=∠D （ ）.(填推理的依据)
∴∠CAB=∠D.
20.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB
̂)，点。

是这段弧所在圆的圆心.AB=100m,C 是AB ̂上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，CD=10m ，求这段弯路的半径.
21.已知二次函数y =x 2−mx +m −1的图象与x 轴只有一个公共点· (1）求该二次函数的解析式; (2)当0≤x ≤3时，y 的最大值为
，最小值为
·
22.如图，已知等边三角形ABC,O 为△ABC 内一点，连接OA,OB,OC ，将△BAO 绕点B 旋转至△BCM . (1)依题意补全图形;
(2)若OA=√2，OB=√3，OC=1，求∠OCM 的度数.
23.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°.以BC 为直径的半圆交AB 于点D,O 是该半圆所在圆的圆心，E 为线段AC 上一点，且ED =EA .
(1)求证:ED 是⊙O 的切线;
(2)若ED =2√3,∠A =30°，求⊙O 的半径.
24. 悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸(或桥两端)的缆索(或钢链)作为上部结构主要承重构件的桥梁.其缆索几何形状甲般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆(吊杆垂直于桥面)，把桥面吊住,
某悬索桥(如图1)，是连接两个地区的重要通道,图2是该悬索桥的示意
图，小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引，他通过查找资
料了解到此桥的相关信息:这座桥的缆索(即图2中桥上方的曲线)的形状近
似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD，两个索塔均
与桥面垂直,主桥AC的长为600m,引桥CE的长为124 m，缆索最低处的吊
杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ长为13 m,若将缆索的
形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标
系，求出索塔顶端D与锚点E的距离.
25.探究函数y=x|x−2|的图象与性质.
小娜根据学习函数的经验，对函数y=x|x−2|的图象与性质进行了探究·
下面是小娜的探究过程，请补充完整:
(1)下表是x与y的几组对应值.
X ···-2 -1 0 1 2 1+√2 3 ···y ···-8 -3 0 m n 1 3 ···:m= ，n= ;
(2)如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对
应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象;
（3）结合画出的函数图象，解决问题:若方程x|x−2|=a有三个不同的
解，记为x1,x2,x3,且x1<x2<x3.请直接写出x1+x2+x3的取值范围.
26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1交于
A，B两点，其中点A在x轴上.
（1）用含有b的代数式表示c;
（2）①若点B在第一象限，且AB=3√2，求抛物线的解析式；
②若AB>3√2,结合函数图象，直接写出b的取值范围。

27. 如图，在等腰∆ABC中，AB=AC，45°<∠ACB<60°，将点C关于直线AB对车得到点D，作射线BD与CA的延长线于点E，在CB的延长线上取点F，使得BF=DE，连接AF。

（1）依题意补全图形；
（2）求证：AF=AE；
（3）作BA的延长线与FD的延长线交于点P，写出一个∠ACB的值，使得AP=AF成立，并证明，
28·在平面内，C为线段AB外的一点，若以，A,B,C为顶点的三角形为直角三角形，则称C为线段AB的直角点，特别地，当该三角形为等直角三角形时，称C为线段AB的等腰直角点.
(1)如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(4，0)，在点P1(0，−1)，P2(5，1)，P3(2，2)中，线段OM的直角点;
(2)在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为(1，4),(1,-6),直线l的解析式为y=−x+7.
①如图2,C是直线l上的一个动点，若C是线段AB的直角点，求点C的坐标;
②如图3,P是直线l上的一个动点，将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点，若⊙O的半径为r,且⊙O上恰有两个点为l关于点A的伴随点，直接写出r的取值范围.
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