相似三角形地性质及判定知识点总结材料+经典题型总结材料(学生版)

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一、相似的有关概念
1．相似形
具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称 为相似变换． 2．相似图形的特性
两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．
3．相似比
两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．
二、相似三角形的概念
1．相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．
如图， △ABC 与 △A ,B ,C , 相似，记作 △ABC ∽△A ,B ,C , ，符号∽ 读作“相似于”．
A
B C
A '
B '
C '
2．相似比
相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是 1 ．“全等三角形”一定是“相似形” ，“相似形”不 一定是“全等形”．
三、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等
如图， △ABC 与 △A ,B ,C , 相似，则有三A = 三A ,，三B = 三B ,，三C = 三C , ．
B 级要求
掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌
握相关的模型
C 级要求
会运用相似三角形相关的 知识解决有关问题
A 级要求
了解相似三角形
相似三角形
A
B C
2．相似三角形的对应边成比例
△ABC 与 △ABC 相似，则有
= = = k (k 为相似比)． A B B C A C
3 ．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
A '
B '
C '
如图 1 ， △ABC 与 △A B C 相似， AM 是 △ABC 中 BC 边上的中线， A M 是 △A B C 中B C 边上的中线，
则有 = = = k = (k 为相似比)．
A B B C A C A M
B
A
M C
A '
B ' M '
C '
图 1
如图 2 ， △ABC 与 △A B C 相似， AH 是 △ABC 中 BC 边上的高线， A H 是 △A B C 中B C 边上的高线，
AB BC AC AH A B B C A C A H
B A
H C
A '
B ' H '
C '
图 2
如图 3 ， △ABC 与 △A B C 相似， AD 是 △ABC 中 三BAC 的角平分线， A D 是 △A B C 中 三B A C 的角平
AB BC AC AD
A B B C A C A D
4 ．相似三角形周长的比等于相似比．
如图 4， △ABC 与 △ABC 相似，则有
= =
A B B C A C
AB BC AC AB + BC + AC A
A '
D C
图 3
= k (k 为相似比)．应用比例的等比性质有 = = =
= k ． A B B C A C A B + B C + A C
分线，则有 = = = k = (k 为相似比)．
则有 = = = k = (k 为相似比)．
AB BC AC AM AB BC AC AB BC AC D '
B '
C ' B
A
B C
5 ．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
A '
B '
C '
图 4
如图 5 ， △ABC 与 △A p B p C p 相似，
则有 = = = k = A p B p B p C p A p C p AH A p H p AH 是 △ABC 中 BC 边上的高线， A p H p 是 △A p B p C p 中 B p C p 边上的高线，
(k 为相似比)．进而可得S △ABC =
1
. BC . AH
2= BC . AH = k 2 ． S 1 B p C p A p H p
2
A
B H C
四、相似三角形的判定
A '
B ' H '
C '
图 5
1 ．平行于三角形一边的直线和其他两边(或者两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那末这两个三角形相似．可简单说成：两 角对应相等，两个三角形相似．
3 ．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那末这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那末这两个三角形相似．可简单地说成：三 边对应成比例，两个三角形相似．
5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那末这 两个直角三角形相似．
6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似(常用但要证明)
7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或者一对底角相等，那末这两个等腰三角形相似；如 果它们的腰和底对应成比例，那末这两个等腰三角形也相似．
五、相似证明中的比例式或者等积式、比例中项式、倒数式、复合式
证明比例式或者等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法
AB BC
点；分母的两条线段是BE 和 BF ，三个字母B ，E ，F 恰为△BEF 的三个顶点．因此只需证△ABC ∽△EBF ．
2．纵向定型法
AB DE
比两条线段是DE 和 EF 中的三个字母D ，E ，F 恰为△DEF 的三个顶点．因此只需证△ABC ∽△DEF ．
欲证
= ，纵向观察，比例式左边的比 AB 和 BC 中的三个字母A ，B ，C 恰为△ABC 的顶点；右边的 BC EF
欲证
= ，横向观察，比例式中的份子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A ，B ，C 恰为△ABC 的顶 BE BF
△A p B p C p . B p C p . A p H p
AB BC AC
3．中间比法
由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或者四点中没有相同点的情况， 此时可考虑运用等线， 等比或者等积进 行变换后，再考虑运用三点定形法寻觅相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中 间比．
比例中项式的证明， 通常涉及到与公共边有关的相似问题。

这种问题的典型模型是射影定理模型， 模型的特 征和结论要熟练掌握和透彻理解．
倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对照值进 行等量代换，进而证明之．
复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换(对线段进行等量代换)，等比代换，等积代换，将复合式 转化为基本的比例式或者等积式，然后进行证明．
六、相似证明中常见辅助线的作法
在相似的证明中， 常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或者相似三角形， 同时再结合等量代换得到 要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．
BD AB
DC AC
证法一：过C 作 CE ∥ AD ，交BA 的延长线于E ． ∴ 三1 = 三E ， 三2 = 三3 ． ∵ 三1 = 三2 ， ∴ 三3= 三E ． ∴ AC = AE ．
BD BA BA
DC BE AC
点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A ”型图的基本模型．
证法二；过B 作AC 的平行线，交AD 的延长线于E ． ∴ 三1 = 三2 = 三E ， ∴ AB = BE ．
BD BE AB
DC AC AC 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X ”型图的基本模型．
七、相似证明中的面积法
面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：
1
. BC . AH S 2 BC
S 1 CD
△ACD
. CD . AH
2
如图：
S
△ABC
S
△BCD
如图：
S
△ABD
S
△ACE
=
1
. BC . AH
2 AH AO 1 DG OD
. BC . DG
2
S S AB AD AB . AD
△ABD . △AED =
. = ． S S AE AC AE . AC
△AED △ACE
E
A 1 2 3
D C
A
1 2
B D C
E
A
B C H D
图1：“山字A ”型
H
O
D
“田字”型A
B C
图3：“燕尾”型
D E
如图： AD 平分三BAC 交BC 于 D ，求证： = ．
如图： △ABC = = ． ∵ BE ∥AC ， ∴ = = ．
∵ AD ∥CE ， ∴ = = ．
图2：
G C
B
B
= = = ．
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八、相似证明中的基本模型
A
B C
A B C
D
B
A
F
G
A
I
E E F
C B
D H G C
A
B
O
C
B
A D
D
O
C C D
A
B C D
A
A
B D
C B
A
A
D
E
G
C F
D
A
F
G
D
A H
F
B E
C B E C
A E B
C F D
A
B C
A
B D
A
B C F A B
F E
C D
A E D
H
B C
C
D
A
B G
C F
A
F N
M
P
B H E
一、与三角形有关的相似问题
【例1】 如图，在△ABC 中， AC AB ，点 D 在 AC 边上，若在增加一个条件就能使△ABC ∽△ACB ，则这个
D
E
D G
E
E
E
E
D
D E
D
D
D
D
G
A
O
A
F
F E
E
C C
E
C
C
B
B
B B
A
C B
D
条件可以是
．
A
B C
【巩固】如图， D 、 E 是 ABC 的边AC 、 AB 上的点，且AD . AC = AE . AB p 求证： 三ADE = 三B .
A
B C
【巩固】如图， 在 ABC 中， AD 」BC 于 D ，CE 」AB 于 E ，ABC 的面积是 BDE 面积的 4 倍， AC = 6 ，求DE
的长.
A
B D C
【例2】 如图， △ABC 中，三ABC = 60o ，点P 是 △ABC 内一点，使得三APB = 三BPC = 三CPA ，PA = 8，PC = 6 ，
则 PB =
．
A
B 【巩固】如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求三EBF + 三EBG ．
A H G
C
F
B C D E
【例3】 如图， 已知 ABC 中， AE : EB = 1:3 ，BC : CD = 2:1 ，AD 与CE 相交于F ，则 FC
5 3
A. B. 1 C. D.2 2 2
F
P
E
E
D
D
+ 的值为 ( ) FD
AF EF A E
【巩固】在 ABC 中， BD = CE ，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证： AD . BP = AE . CP .
A
B C P
【巩固】 如图， M 、N 为 △ABC 边BC 上的两点， 且满足BM = MN = NC ，一条平行于AC 的直线分别交AB 、
AM 和AN 的延长线于点D 、 E 和 F .
求证： EF = 3DE .
A
D E
B M N C
F
【例4】 如图，已知AB / /EF / /CD ，若 AB = a ， CD = b ， EF = c ，求证： = + .
c a b
A
B F D
【巩固】 如图， AB 」BD ，CD 」BD ，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF 」BD ，垂足为 F .证明：
1 1 1 + = . AB CD EF
E
D E
1 1 1
C
A
B
E
F
C
D
【巩固】如图，已知 AB / /EF / /CD ，找出 S 、 S 、 S 之间的关系，并证明你的结论.
ABD BED BCD
C
A
E
B H F M
【例5】 如图，在四边形ABCD 中， AC 与BD 相交于点O ，直线 l 平行于BD ，且与 AB 、DC 、 BC 、AD
及 AC 的延长线分别相交于点M 、 N 、R 、 S 和P .求证： PM . PN = PR . PS
A
M
B
O C
N P
D
l
R S
【巩固】已知， 如图， 四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD ∥EF ，AC 的延长线交EF 于 G ．求 证： EG = GF ．
【考点】相似三角形的性质与判定 【难度】 5 星 【题型】解答 【关键词】
B
A
D
C
E
G F
【例6】 如图， ABC 中， BC = a ，若 D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则D E = a ；
1 1 1 1 2
D N
1
若 D 2 、E 2 分别是D 1B 、E 1C 的中点，则D 2 E 2 = 21(|(a 2+ a ))| = 4
3
a ；
若 D 3、E 3 分别是D 2 B 、E 2 C 的中点，则D 3 E 3 = 21(|(43a + a ))| = 87
a ；
…………
若 D 、E 分别是D B 、E C 的中点，则D E = _________.
n n n- 1 n- 1 n n
A
D
1
E
2
D D 3
n
B
【例7】 如图， △ABC 内有一点P ，过P 作各边的平行线，把△ABC 分成三个三角形和三个平行四边形．若三
个三角形的面积S ，S ，S 分别为1，1，2 ，则 △ABC 的面积是．
1 2 3
A
I
F
D S S 2
E P
S
3
B H G C
【例8】 如图，梯形 ABCD 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为 ( )
A ． 2 (p 2 + q 2 )
B ． (p + q )2
C ． p 2 + q 2 + pq
D ． P 2 + q 2 +
p 2 ，q 2 ，则梯形的面积是
D C
A B
【巩固】如图，梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，两条对角线 AC 、 BD 相交于 O ，若 S : S = 1: 9，那末
△AOD △ COB
2
O p 2
q n C
D E 3 E E 1
2
1
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S : S =
．
△BOC △DOC
D
O
C
A
B
二、与平行四边形有关的相似问题
【例9】 如图， 已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线按次与AC 、AD 及 CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，
若 BE = 5 ， EF = 2 ，则 FG 的长是
．
G
B C
【巩固】如图，已知 DE ∥AB ， OA 2= OC . OE ，求证： AD ∥BC .
A B
【例10】如图， ABCD 的对角线相交于点 O ，在 AB 的延长线上任取一点 AB = a ，AD = c ， BE = b,求BF 的值． D
O
F
A
E ，连接 OE 交 BC 于点
F ，若
D K
O
F
A
【巩固】如图： 矩形ABCD 的面积是 36，在AB ，AD 边上分别取点E ，F ，使得AE = 3EB ，DF = 2AF ，且DE
与 CF 的交点为点O ，求 FOD 的面积。

C
D E
O
A
D E
F
E
E
C C
B
B
B E
A
F
C
D B
E
A
K
O
F
C
D
三、与梯形有关的相似问题
【例11】 已知：如图，在梯形ABCD 中， AB / /CD ，M 是 AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC
与MD 交于点E ， DB 与MC 交于 F .
(1)求证： EF / /CD
(2)若 AB = a , CD = b ，求 EF 的长.
M
F
D
【巩固】如图， 在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AD = a ，BC = b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点， AF 交BE 于P ，
CE 交DF 于Q ，求 PQ 的长．
A
P
B
E
O
F
D Q
C
【例12】如图， 已知梯形ABCD 中， AD // BC ，三A = 90。

，AB = a , AD = b , BC = 2b ( a > b ),DE 」DC , DE 交AB
O
A
C
E
B
于点 E ，连接 EC .
(1)判断 DCE 与 ADE ， DCE 与 BCE 是否分别一定相似，若相似，请加以证明. (2)如果不一定相似，请指出 a 、b 满足什么关系时，它们就能相似.
D
E
C
四、与内接矩形有关的相似问题
【例13】 ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在 BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上， BC = 15 ,
BC 边上的高AD = 10 ,求S
B
H
E A
G
D F C
B
E
M
D
A
F
C
【巩固】如图，已知ABC 中， AC = 3，BC = 4 ，三C = 90。

，四边形DEGF 为正方形，其中D ，E 在边AC ，BC
上， F ，G 在 AB 上，求正方形的边长．
C
A F G B
【例14】如图，已知 ABC 中，四边形 DEGF 为正方形， D ，E 在线段 AC ，BC 上， F ，G 在 AB 上，如果
S = S = 1 ， S = 3 ，求 ABC 的面积．
ADF CDE BEG
D E
EFGH .
A B
C
A F G B
【巩固】如图，在ABC 中， AB = 5 ，BC = 3 ，AC = 4 ，动点 E (与点A ，C 不重合)在AC 边上， EF ∥ AB 交
BC 于 F 点．
⑴当 ECF 的面积与四边形EABF 的面积相等时，求CE 的长．
⑵当 ECF 的周长与四边形EABF 的周长相等时，求CE 的长．
⑶试问在 AB 上是否存在点 P ，使得 EFP 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在， 请求出 EF 的长．
C
A
B
F
E
D E
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1. 直线DE 与△ABC 的AB 边相交于点D ，与AC 边相交于点E ，下列条件：① DE∥ BC ；② 三AED= 三B ；
AE ED
AC BC
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
2. 如图，在ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD E
BP BD
CP CE
，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，
A
D
E
C
3. 已知：
AD
+
DC P 为ABC 的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ，求证：AE
=1
EB
A
B C
E
M
P
D
N
③ AE . AC = AD . AB ；④ = 中，能使△ADE 与△ABC 相似的条件有( )
求证：=
B P
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4. 如图，已知在矩形ABCD 中， E 为AD 的中点， EF 」EC 交 AB 于F ，连接 FC ( AB > AE ) .
(1) AEF 与 ECF 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.
AB
存在，说明理由.
A E D F
B C
5. 如图，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AD = 3，BC = 9，AB = 6 , CD = 4 ，若 EF ∥BC ，且梯形AEFD 与
梯形 EBCF 的周长相等，求EF 的长．
A D
E F
B C
6. 如图， 已知 ABC 中， AC = 5，AB = 11，BC = 4 5 ，四边形DEGF 为正方形， 其中D ，E 在边AC ，BC
上， F ，G 在 AB 上，求正方形的边长．
C
A F G B
D E
(2)设
= k 是否存在这样的k 值，使得 AEF ∽ BCF ，若存在，证明你的结论并求出 k 值；若不 BC。