高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数学案新人教A选修2_2201903203100

1．3.3 函数的最大(小)值与导数
1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．
2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值
(1)能够取得最值的前提条件：在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线．
(2)函数的最值必在极值点或端点处取得． 2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．
(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值包含以下两点
(1)给定函数的区间必须是闭区间，f (x )在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值．
常见的有以下几种情况：
图①中的函数y ＝f (x )在(a ，b )上有最大值而无最小值；图②中的函数y ＝f (x )在(a ，
b )上有最小值而无最大值；图③中的函数y ＝f (x )在(a ，b )上既无最大值又无最小值；图④
中的函数y ＝f (x )在(a ，b )上既有最大值又有最小值．
(2)函数f (x )的图象在区间[a ，b ]上连续不断是f (x )在[a ，b ]上存在最大值和最小值的
充分不必要条件．如函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧|x |，－1≤x ≤1，且x ≠0，－1，x ＝0的图象(如图⑤)在[－1，1]上
有间断点，但存在最大值和最小值．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值不一定是函数的极大值．( )
(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．( ) (3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×
函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( )
A ．无最值
B ．有极值
C ．有最大值
D ．有最小值
答案：A
函数y ＝x 3
－3x ＋3在区间[－3，3]上的最小值为( )
A ．1
B ．5
C ．21
D ．－15
答案：D 函数f (x )＝x
x ＋1
的最大值为________．
答案：12
探究点1 求函数的最值
求下列函数的最值： (1)f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－2，3]； (2)f (x )＝1
2x ＋sin x ，x ∈[0，2π]．
【解】 (1)因为f (x )＝2x 3
－12x ， 所以f ′(x )＝6x 2
－12 ＝6(x ＋2)(x －2)， 令f ′(x )＝0， 解得x ＝－2或x ＝ 2. 因为f (－2)＝8，f (3)＝18，
f (2)＝－82，f (－2)＝82；
所以当x ＝2时，
f (x )取得最小值－82；
当x ＝3时，
f (x )取得最大值18.
(2)f ′(x )＝1
2＋cos x ，令f ′(x )＝0，
又x ∈[0，2π]，解得x ＝23π或x ＝4
3π.
计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝π
3＋32
，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＝23
π－
32
. 所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.
求函数最值的步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0. 第三步：列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表． 第四步：求极值、端点处的函数值，确定最值．
1.函数f (x )＝
4x
x 2
＋1
(x ∈[－2，2])的最大值是________，最小值是________．
解析：因为f ′(x )＝4（x 2
＋1）－2x ·4x （x 2＋1）2＝－4x 2
＋4
（x 2＋1）2，
令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1. 又因为f (1)＝2，
f (－1)＝－2，f (2)＝85
， f (－2)＝－85
，
所以f (x )在[－2，2]上的最大值为2，最小值为－2. 答案：2 －2 2．求函数f (x )＝x －1
e x
的最值．
解：函数f (x )＝
x －1
e
x 的定义域为x ∈R .
f ′(x )＝1·e x
－e x （x －1）（e x ）2
＝2－x
e x ， 当
f ′(x )＝0时，x ＝2， 当f ′(x )>0时，x <2，
当f ′(x )<0时，x >2.
所以f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 所以f (x )无最小值， 且当x ＝2时，
f (x )max ＝f (2)＝1e
2.
探究点2 含参数的最值问题
已知函数f (x )＝e x －ax 2
－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的
底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值．
【解】 由f (x )＝e x
－ax 2
－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x
－2a . 因此，当x ∈[0，1]时，
g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．
当a ≤1
2时，g ′(x )≥0，
所以g (x )在[0，1]上单调递增，
因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当a ≥e
2时，g ′(x )≤0，
所以g (x )在[0，1]上单调递减，
因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e
2时，令g ′(x )＝0， 得x ＝ln(2a )∈(0，1)，
所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b . 综上所述，当a ≤1
2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；
当12<a <e
2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e
2
时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .
若将本例条件改为“当b ＝0时，函数g (x )在区间[0，1]上的最小值为0”，求a 的值． 解：当b ＝0时，因为f (x )＝e x
－ax 2
－1，
所以g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax ，又g ′(x )＝e x
－2a ， 因为x ∈[0，1]，1≤e x
≤e ，
所以(1)若a ≤12
，则2a ≤1，g ′(x )＝e x
－2a ≥0，
所以函数g (x )在区间[0，1]上单调递增，g (x )min ＝g (0)＝1，不符合题意． (2)若12<a <e 2，则1<2a <e ，于是当0<x <ln(2a )时，g ′(x )＝e x
－2a <0，
当ln(2a )<x <1时，g ′(x )＝e x
－2a >0， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，
在区间(ln(2a )，1]上单调递增，g (x )min ＝g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )＝0， 解得a ＝e
2
不符合题意，舍去．
(3)若a ≥e 2，则2a ≥e ，g ′(x )＝e x
－2a ≤0，
所以函数g (x )在区间[0，1]上单调递减，
g (x )min ＝g (1)＝e －2a ＝0，
解得a ＝e 2.综上所述，a ＝e
2
.
(1)含参数的函数最值问题的两类情况
①能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题；
②对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
(2)已知函数最值求参数值(范围)的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．
已知函数f (x )＝ax 3
－6ax 2
＋b ，x ∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－
29，求a ，b 的值．
解：由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2
－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．
①当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以f (0)＝b ＝3.
又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， 所以f (2)＝－16a ＋3＝－29， 解得a ＝2. ②当a <0时，
同理可得，当x ＝0时，
f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1，2]上的最小值，
所以f (0)＝b ＝－29. 又f (－1)＝－7a －29，
f (2)＝－16a －29>f (－1)，
所以f (2)＝－16a －29＝3， 解得a ＝－2.
综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 探究点3 函数最值问题的综合应用
设函数f (x )＝2x 3
＋3ax 2
＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a ，b 的值；
(2)若对于任意的x ∈[0，3]，都有f (x )＜c 2
成立，求c 的取值范围． 【解】 (1)f ′(x )＝6x 2
＋6ax ＋3b ， 因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值， 所以f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4. (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2
＋12x ＋8c ，
f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．
当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，2)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(2，3)时，f ′(x )＞0.
所以，当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c ， 又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c . 所以当x ∈[0，3]时，
f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c .
因为对于任意的x ∈[0，3]，有f (x )＜c 2
恒成立， 所以9＋8c ＜c 2
， 解得c ＜－1或c ＞9.
因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
若本例中“x ∈[0，3]”变为“x ∈(0，3)”仍有f (x )<c 2
成立，求c 的取值范围． 解：由本例解析知f (x )<f (3)＝9＋8c ， 所以9＋8c ≤c 2
，即c ≤－1或c ≥9，
所以c 的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．
不等式恒成立问题常用的解题方法
设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．
(1)求g (x )的单调区间和最小值；
(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1
a
对任意x >0成立．
解：(1)由题设知f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)，
f ′(x )＝1x ，
g (x )＝ln x ＋1
x
，
所以g ′(x )＝
x －1
x 2
. 令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0， 故(0，1)是g (x )的单调递减区间；
当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．
因此，x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以最小值为g (1)＝1.
(2)g (a )－g (x )<1
a
对任意x >0成立，
即ln a <g (x )对任意x >0成立．
由(1)知g (x )的最小值为1， 所以ln a <1.解得0<a <e.
(本题满分12分)已知函数f (x )＝2x 2
－a ln x (a ∈R )．
(1)求f (x )的单调区间；
(2)当x >1时，证明：12x 2＋ln x <23
x 3
.
【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，(1分)
f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a
x
.
当a ≤0时， f ′(x )>0，则f (x )的单 调递增区间为(0，＋∞)，(2分)
含参数应注意分类讨论
当a >0时，由f ′(x )>0得x >a ， 由f ′(x )<0，得0<x <a ，
所以当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(5分)
(2)证明：当x >1时， 12x 2＋ln x <2
3x 3恒成立，
令g (x )＝23x 3－12x 2
－ln x ，
(7分)
构造新函数是本题难点 g ′(x )＝2x 2
－x －1x ＝2x 3
－x 2
－1
x
＝2x 3－2x 2＋x 2
－1x
＝（x －1）（2x 2
＋x ＋1）x
，（9分）
当x >1时，g ′(x )>0， 故g (x )在(1，＋∞)上递增， 所以g (x )>g (1)>0，
所以23x 3－12
x 2
－ln x >0.(12分)
利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．
1．若函数f (x )导函数的图象是如图所示的一条直线，则( )
A ．函数f (x )没有最大值也没有最小值
B ．函数f (x )有最大值，没有最小值
C ．函数f (x )没有最大值，有最小值
D ．函数f (x )有最大值，也有最小值
解析：选C.由导函数图象可知，函数f (x )只有一个极小值点1，即f (x )在x ＝1处取得最小值，没有最大值．
2．函数f (x )＝x 3
－3x (－1<x <1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，也无最小值 D ．无最大值，但有最小值
解析：选C.f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x 2
－1)． 因为－1<x <1，所以x 2
<1. 所以3(x 2
－1)<0，即f ′(x )<0.
所以f (x )是(－1，1)上的减函数，f (1)<f (x )<f (－1)， 故f (x )在－1<x <1时既无最大值，也无最小值，故选C.
3．已知函数f (x )＝2x 3
－6x 2
＋a 在[－2，2]上有最小值－37，求a 的值，并求f (x )在[－2，2]上的最大值．
解：f ′(x )＝6x 2
－12x ＝6x (x －2)． 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
min
所以当x ＝0时，f (x )取到最大值3.
[A 基础达标]
1．函数f (x )＝x ＋cos x 在[0，π]上的( ) A ．最小值为0，最大值为π
2
B ．最小值为0，最大值为π
2＋1
C ．最小值为1，最大值为π
2
D ．最小值为1，最大值为π－1
解析：选D.f ′(x )＝1－sin x ．因为0≤x ≤π，所以0≤sin x ≤1，所以f ′(x )≥0，即f (x )在[0，π]上是增函数，所以f (x )max ＝f (π)＝π－1，f (x )min ＝f (0)＝1，选D.
2．函数f (x )＝x 3
－3x ＋1在闭区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17
D ．9，－19
解析：选C.f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.又f (－3)＝－27＋9＋1＝－17，f (0)＝1，f (－1)＝－1＋3＋1＝3，1∉[－3，0]，所以最大值为3，最
小值为－17.
3．函数f (x )＝x －1
2x 在区间[0，＋∞)上( )
A ．有最大值，无最小值
B ．有最大值，有最小值
C ．无最大值，无最小值
D ．无最大值，有最小值
解析：选A.由已知得f (x )的定义域为[0，＋∞)，
f ′(x )＝
1
2x －12
， 令f ′(x )>0，得f (x )的单调递增区间为[0，1)；令f ′(x )<0，得f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)．
所以f (x )在区间[0，＋∞)上有最大值，无最小值．
4．已知f (x )＝x 2
－cos x ，x ∈[－1，1]，则导函数f ′(x )是( ) A ．仅有最小值的奇函数
B ．既有最大值，又有最小值的偶函数
C ．仅有最大值的偶函数
D ．既有最大值又有最小值的奇函数 解析：选D.因为f ′(x )＝2x ＋sin x ， 则f ′(－x )＝－2x －sin x ＝－f ′(x )，
所以导函数f ′(x )是奇函数，又因f ″(x )＝2＋cos x >0，所以f ′(x )在[－1，1]上单调递增，故f ′(x )max ＝f ′(1)，f ′(x )min ＝f ′(－1)，所以f ′(x )既有最大值又有最小值．
(说明：f ″(x )表示对f ′(x )再次求导，即f ′(x )的导函数)
5．已知e 是自然对数的底数，若函数f (x )＝e x
－x ＋a 的图象始终在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－1，＋∞)
B ．(－∞，－1)
C ．[－1，＋∞)
D ．(－∞，－1]
解析：选A.因为函数f (x )＝e x
－x ＋a 的图象始终在x 轴的上方，所以f (x )＝e x
－x ＋a >0对一切实数x 恒成立，即f (x )min >0.f ′(x )＝e x
－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝0，当x <0时，
f ′(x )<0，则f (x )在(－∞，0)上单调递减；当x >0时，f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上
单调递增，所以当x ＝0时，f (x )取得极小值即最小值，最小值为f (0)＝1＋a ，所以1＋a >0，即a >－1，故实数a 的取值范围为(－1，＋∞)．
6．函数f (x )＝x
e
x 在区间[2，4]上的最小值为________．
解析：f ′(x )＝e x －x e x
（e x ）2＝1－x
e x ，当x ∈[2，4]时，
f ′(x )<0，即函数f (x )在[2，4]上单
调递减，故当x ＝4时，函数f (x )有最小值4
e
4.
答案：4
e
4
7．设0<x <π，则函数y ＝2－cos x
sin x
的最小值是________．
解析：y ′＝sin 2
x －（2－cos x ）cos x sin 2x ＝1－2cos x sin 2
x ，因为0<x <π，所以当π
3
<x <π时，y ′>0；当0<x <π3时，y ′<0.所以x ＝π3
时，y min ＝ 3.
答案： 3
8．已知函数f (x )＝ax 3
－3x ＋1，且对任意x ∈(0，1]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：当x ∈(0，1]时，不等式ax 3
－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x 3.设g (x )＝3x －1x
3，x ∈
(0，1]，
则g ′(x )＝3x 3
－（3x －1）·3x 2
x 6＝－6⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x －12x
4
. 令g ′(x )＝0，得x ＝12
.
g ′(x )与g (x )随x 的变化情况如下表：
答案：[4，＋∞)
9．已知h (x )＝x 3
＋3x 2
－9x ＋1在区间[k ，2]上的最大值是28，求k 的取值范围． 解：h (x )＝x 3
＋3x 2－9x ＋1，
h ′(x )＝3x 2＋6x －9.
令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1，
当x 变化时h ′(x )及h (x )的变化情况如下表：
当x ＝1时，取极小值－4.
而h (2)＝3<h (－3)＝28，如果h (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则k ≤－3. 10．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－1
2相
切．
(1)求a ，b 的值；
(2)求f (x )在[1
e ，e]上的最大值．
解：(1)f ′(x )＝a x
－2bx .
由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－1
2
相切，
得⎩
⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0f （1）＝－12，
即⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝0－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝12
.
(2)由第一问，得f (x )＝ln x －12x 2
，
定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x －x ＝1－x
2
x
.
令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1， 所以f (x )在(1
e ，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，
所以f (x )在[1e ，e]上的最大值为f (1)＝－1
2
.
[B 能力提升]
11．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2
，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |取最小值时t 的值为( )
A ．1
B.1
2
C.
52
D.
22
解析：选D.由题意画出函数图象如图所示， 由图可以看出|MN |＝t 2
－ln t (t >0)．
记h (t )＝t 2
－ln t (t >0)，
则h ′(t )＝2t －1t ＝2t 2
－1
t ＝2（t ＋22）（t －2
2）t
.
当0<t <22时，h ′(t )<0，h (t )在(0，2
2
)上单调递减； 当t >
22时，h ′(t )>0，h (t )在(2
2，＋∞)上单调递增． 故当t ＝
2
2
时，|MN |有最小值． 12．已知(a ＋1)x －1－ln x ≤0对任意x ∈[1
2，2]恒成立，则实数a 的最大值为( )
A ．0
B ．1
C ．1－2ln 2
D.
－1＋ln 2
2
解析：选C.原问题等价于a ＋1≤ln x ＋1x 对任意x ∈[1
2
，2]恒成立．
令h (x )＝ln x ＋1x ，则h ′(x )＝－ln x x 2.令h ′(x )＝0，得x ＝1，且当x ∈[1
2，1)时，h ′
(x )>0；当x ∈(1，2]时，h ′(x )<0，
所以函数h (x )在[1
2，1)上单调递增，在(1，2]上单调递减，
所以最小值为min{h (12)，h (2)}＝h (1
2)＝2－2ln 2，
所以a ≤2－2ln 2－1＝1－2ln 2，选C. 13．设函数f (x )＝12x 2e x
.
(1)求f (x )的单调区间；
(2)若当x ∈[－2，2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x e x
＋12x 2e x ＝e
x
2
x (x ＋2)．
由e
x
2
x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2. 所以f (x )的增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)． 由e
x
2x (x ＋2)<0，得－2<x <0. 所以f (x )的减区间为(－2，0)．
所以f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调减区间为(－2，0)． (2)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2. 因为f (－2)＝2e 2，f (2)＝2e 2
，f (0)＝0，
所以f (x )∈[0，2e 2
]．
又因为f (x )>m 恒成立，所以m <0. 故m 的取值范围为(－∞，0)． 14．(选做题)已知f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的最小值；
(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2
e x 成立．
解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝ln x ＋1.
当x >1
e 时，
f ′(x )>0，f (x )为增函数；
当0<x <1
e 时，
f ′(x )<0，f (x )为减函数．
所以函数f (x )的最小值为f (1e )＝－1
e
.
(2)证明：问题等价于证明x ln x >x e x －2
e
.
由第一问可知f (x )＝x ln x 的最小值是－1
e ，
当且仅当x ＝1
e
时取到．
设m (x )＝x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)，则m ′(x )＝1－x
e
x ，
易知m (x )max ＝m (1)＝－1
e
，
当且仅当x ＝1时取到，所以x ln x >x e x －2
e
.
从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2
e x
成立．
导数在研究函数中的应用(强化练)
一、选择题
1．已知函数y ＝f (x )，x ∈R 有唯一的极值，且x ＝1是f (x )的极小值点，则( ) A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )≥0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≤0 B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )≥0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≥0 C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )≤0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≥0 D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )≤0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≤0
解析：选C.由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是左负右正，又函数
f (x )，x ∈R 有唯一的极值，故当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )≤0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≥0.
2．函数f (x )＝x e －x
的一个单调递增区间是( ) A ．[－1，0] B ．[2，8] C ．[1，2]
D ．[0，2]
解析：选A.因为f ′(x )＝e x
－x e x
（e x ）2＝(1－x )·e －x
＞0，
又因为e －x
＞0，所以x ＜1.
3．函数y ＝2x 3
－3x 2
－12x ＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，15 B ．5，－4 C ．5，－15
D ．5，－16
解析：选C.y ′＝6x 2
－6x －12＝6(x ＋1)(x －2)， 令y ′＝0得x ＝－1或x ＝2.当x ＝2时y ＝－15， 当x ＝0时y ＝5，
当x ＝3时，y ＝－4.故选C.
4．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )
解析：选C.观察题图可知：当x <0时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；当0<x <1时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减，即f (x )的图象在x ＝0左侧上升，右侧下降．故选C.
5．已知函数f (x )＝－x
e x ＋ln 2，则( )
A ．f (1e )＝f (12)
B ．f (1e )<f (12)
C ．f (1e )>f (12
)
D ．f (1e )，f (1
2
)的大小关系无法确定
解析：选C.f ′(x )＝－e x －（－x ）e x
e x ·e x
＝x －1e x ， 当x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 因为1e <1
2
<1，
所以f (1e )>f (1
2
)．故选C.
6．若函数f (x )＝x 3
－ax 2
－x ＋6在(0，1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．a ＝1 C ．a ≤1
D ．0＜a ＜1
解析：选A.因为f ′(x )＝3x 2
－2ax －1，又f (x )在(0，1)内单调递减， 所以不等式3x 2
－2ax －1＜0在(0，1)内恒成立， 所以f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0， 所以a ≥1.
7．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1，2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜2 B ．1＜a ＜4 C ．2＜a ＜4
D ．a ＞4或a ＜1
解析：选B.y ′＝3x 2－3a .当a ≤0时，f ′(x )≥0，函数y ＝x 3
－3ax ＋a 为单调函数，
不合题意，舍去；要使函数y ＝x 3
－3ax ＋a 在(1，2)内有极小值，则⎩
⎪⎨⎪⎧f ′（1）<0f ′（2）>0即⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，4－a >0，所以1<a <4，故选B.
8．(2018·济南期末检测)已知函数f (x )＝－2f ′（1）
3x －x 2的最大值为f (a )，则a
等于( )
A.116
B.344
C.14
D.
348
解析：选B.因为f ′(x )＝－
2f ′（1）3·12x
－2x ，所以f ′(1)＝－1
3f ′(1)－2，解得f ′(1)＝－32，故f (x )＝x －x 2
，f ′(x )＝1－4x x 2x .令f ′(x )>0，解得x <3
44；令f ′(x )<0，
解得x >3
44，所以f (x )在(0，344)上单调递增，在(34
4，＋∞)上单调递减，故f (x )的最大
值是f (3
44)，所以a ＝34
4
.
9．若存在正数x 使2x
(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
解析：选D.因为2x (x －a )<1，所以a >x －12x .令f (x )＝x －12x ，所以f ′(x )＝1＋2－x
ln 2>0，
所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (0)＝0－1＝－1，所以a 的取值范围为(－1，＋∞)．
10．定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )>1－f (x )，f (0)＝6，其中f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x
f (x )>e x
＋5(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)
C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D ．(3，＋∞)
解析：选A.不等式e x
f (x )>e x
＋5可化为e x
f (x )－e x
－5>0.
设g (x )＝e x f (x )－e x －5，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x
[f (x )＋f ′(x )－1]>0， 所以函数g (x )在定义域R 上单调递增． 又g (0)＝0，所以g (x )>0的解集为(0，＋∞)． 二、填空题
11．函数f (x )＝x －2ln x 的单调递减区间是________． 解析：f ′(x )＝1－2x (x >0)，令f ′(x )＝1－2
x
<0，
得0<x <2，因此，函数f (x )＝x －2ln x 的单调递减区间是(0，2)． 答案：(0，2)
12．若函数h (x )＝2x －k x ＋k
3
在(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数，则实数
k ＝________．
解析：h ′(x )＝2＋k
x
2，
根据题意，知h ′(1)＝0，即2＋k ＝0， 解得k ＝－2，经验证，符合题意． 答案：－2
13．函数f (x )＝x 3
－3x 2
－9x ＋k 在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________．
解析：f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.
因为f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20， 所以f (x )max ＝k ＋5＝10， 得k ＝5，
所以f (x )min ＝k －76＝－71. 答案：－71
14．函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a ，10－a 2
)上有最大值，则实数a 的取值范围是________．
解析：由于f ′(x )＝－x 2
＋1.
易知f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在[－1，1]上单调递增．故函数f (x )
在(a ，10－a 2
)上存在最大值的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a <1，10－a 2>1，f （1）≥f （a ）.
即－2≤a <1.
答案：[－2，1) 三、解答题
15．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2
－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，求f (m )＋f ′(n )的最小值．
解：f ′(x )＝－3x 2
＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知，f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，
所以a ＝3，由此可得f (x )＝－x 3
＋3x 2
－4，f ′(x )＝－3x 2
＋6x .
易知f (x )在区间[－1，0)上单调递减，在区间(0，1]上单调递增，所以当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.
又f ′(x )＝－3x 2
＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，所以当n ∈[－1，1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.
故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 16．已知函数f (x )＝x 3
－ax 2
＋3x .
(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；
(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在[1，a ]上的最大值和最小值． 解：(1)f ′(x )＝3x 2
－2ax ＋3， 因为f (x )在[1，＋∞)上是增函数，
所以当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，
所以a ≤[32(x ＋1
x )]min ＝3(当且仅当x ＝1时取等号)，所以实数a 的取值范围是(－∞，
3]．
(2)由题意，知f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，解得a ＝5， 所以f (x )＝x 3
－5x 2
＋3x ，f ′(x )＝3x 2
－10x ＋3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝1
3
(舍去)．
当1<x <3时，f ′(x )<0；当3<x <5时，f ′(x )>0， 即当x ＝3时，f (x )取得极小值，为f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，
所以f (x )在[1，5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15. 17．已知函数f (x )＝x 2
－(a ＋2)x ＋a ln x ，其中a ∈R .
(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线的斜率为1，求a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．
解：(1)由f (x )＝x 2
－(a ＋2)x ＋a ln x ，可知函数f (x )的定义域为{x |x >0}，且f ′(x )＝2x －(a ＋2)＋a x
.
由题意，知f ′(2)＝4－(a ＋2)＋a
2
＝1，
解得a ＝2.
(2)f ′(x )＝2x －(a ＋2)＋a x ＝（2x －a ）（x －1）x
(x >0)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a 2
. ①当a ≤0时，a 2
≤0，令f ′(x )>0，得x >1； 令f ′(x )<0，得0<x <1，
所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
②当0<a 2<1，即0<a <2时，令f ′(x )>0，得0<x <a 2
或x >1， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，a 2
)，(1，＋∞)； 令f ′(x )<0，得a 2
<x <1， 所以函数f (x )的单调递减区间为(a 2
，1)． ③当a 2
＝1，即a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
④当a 2>1，即a >2时，令f ′(x )>0，得0<x <1或x >a 2
， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，(a 2
，＋∞)； 令f ′(x )<0，得1<x <a 2
， 所以函数f (x )的单调递减区间为(1，a 2
)． 综上，当a ≤0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当0<a <2时，函数f (x )的单调递增区间为(0，a 2)，(1，＋∞)，单调递减区间为(a 2，1)；当a ＝2时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a >2时，函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，(a 2，＋∞)，单调递减区间为(1，a 2
)． 18．已知函数f (x )＝a （x －1）＋b e x
e x (a ≠0)．
(1)当a ＝－1，b ＝0时，求函数f (x )的极值；
(2)当b ＝1时，若函数f (x )没有零点，求实数a 的取值范围．
解：(1)当a ＝－1，b ＝0时，f (x )＝－x ＋1e x ， 所以f ′(x )＝x －2
e x ，
所以当x ∈(－∞，2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；
当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．
所以f (x )的极小值为f (2)＝－1e 2，无极大值． (2)当b ＝1时，f (x )＝
ax －a ＋e x e x . 根据题意，知
ax －a ＋e x e ＝0无实根， 即ax －a ＋e x ＝0无实根．
令h (x )＝ax －a ＋e x ，则h ′(x )＝a ＋e x
.
若a >0，则h ′(x )>0，h (x )在R 上单调递增，存在x 0，使得h (x 0)＝0，不合题意； 若a <0，令h ′(x )>0，得x >ln(－a )；
令h ′(x )<0，得x <ln(－a )，
所以h (x )min ＝h (ln(－a ))＝a ln(－a )－2a .
由题意，得h (x )min >0，
即a ln(－a )－2a >0，
解得－e 2<a <0，符合题意．
综上所述，a 的取值范围为(－e 2，0)．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。