第11讲 圆与圆的位置关系(解析版)

第11讲 圆与圆的位置关系
题型一：圆与圆的位置关系
【例1】（2022·全国·高二课时练习）“a ＝3”是“圆与圆相切”的（ ）
22
1x y +=()2
24x a y ++=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件
【例2】（北京高二期末）已知圆的方程为
，圆的方程为1O 22()()4x a y b -+-=2O ，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ）
22(1)1x y b +-+=,a b ∈R A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径为()()4:2
2
1=-+-b y a x O ()b a O ,12
1=r 圆
的圆心为，半径为()11:2
2
2=+-+b y x O ()1,01-b O 12=r 所以，所以两圆不可能内含，故选C
2122111r r a O O -=≥+=
【例3】（山东聊城市·高二期末）已知圆
与圆
()()()
22
1:80C x a y a a -+-=>没有公共点，则实数的取值范围为（ ）
222:220C x y x y +--=a A ．B ．()
0,2()4,+∞C ．
D ．
()()0,24,+∞ ()()()
0,10,24,⋃⋃+∞【答案】C
【解析】圆，表示以为圆心，半径的圆；
()()8:2
2
1=-+-a y a x C ()a a C ,1221=r 所以圆，，圆心，半径为()()211:2
2
2=-+-y x C (
)1,12C 22=r 所以
，由于两圆没有公共点，则
或者
()()1
2112
221-=-+-=
a a a C C 1
21-<r C C ，解得或者，故选C
1
21+>r C C 20<<a 4>a 【例4】（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知圆C ：()()
2
2
681
x y -+-=和两点，，若圆C 上存在点P ，使得(),0A m -()(),00B m m >90APB ∠=︒
，则m 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9
【答案】B 【解析】【分析】
由题意得点轨迹，转化为有交点问题P 【详解】
，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
90APB ∠=︒AB O ||OP m =P m
又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则，而，
|1|||1m OC m -≤≤+||10OC ==得．911m ≤≤故选：B
【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知圆
，圆229
:4O x y +=
22
:()(1)1
M x a y -+-=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得，则实数π
3APB ∠=
a
的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．[[[
【题型专练】
1.（浙江高二期末）圆与圆
的位置关系为（ ）221:(1)1C x y -+=22
2:(4)(4)17C x y -+-=A ．内切B ．相切C ．相交D ．外离
【答案】C
【解析】圆
的圆心为，半径为()11:2
2
1=+-y x C ()0,11C 11=r 圆的圆心为，半径为()()1744:2
2
2=-+-y x C ()4,42C 17
2=r 所以，所以两圆相交，故选C
()1715414117212
22112+=+<=+-=
<-=-r r C C r r
2.（2022·全国·高二课时练习）（多选）若圆与圆()(
2
2
1:19C x y -+=()2
2
2:1
C
x a y -+=没有公共点，则实数a 的值可能是（ ）
A ．7
B ．
C ．－2
D ．1
1【答案】AD
3.（江西上高二中高二其他模拟（文））已知圆
关于直线
()
221:210C x y x my m R +-++=∈对称，圆的标准方程是，则圆与圆210x y ++=2C ()()2
2
2316x y ++-=1C 2
C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交
D ．内含
【答案】B
【解析】圆，即，表示以012:2
21=++-+my x y x C ()42122
2
m m y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫
⎝
⎛-2,11m C 为圆心，因为圆关于直线对称。

所以圆心在直线上，即1C 012=++y x ⎪
⎭⎫
⎝
⎛-2,11m C 012=++y x ，解得，所以圆，，圆心，半径为01221=+⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯+m 2=m ()()111:2
21
=++-y x C ()1,11-C 11=r 圆，，圆心，半径为()()1632:2
2
2=-++y x C ()3,22-C 4
2=r 所以
，所以两圆相外切，故选B
()()1
22
22151213r r C C +==--++=
4.（2022·山东聊城·二模）已知点在圆：上，点，，满足P O 224x y +=()30A -,()0,4B AP BP
⊥的点的个数为（ ）P A ．3B ．2C ．1D ．0
【答案】B 【解析】
【分析】设，轨迹可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.(,)P x y AP BP ⊥
【详解】
设点，则，
(,)P x y 22
4x y +=
且
，由，得(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，AP BP ⊥，
22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-=
即
，22325()(2)24x y ++-=
故点P 的轨迹为一个圆心为、半径为的圆，
3(,2)
2-5
2则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，525922
2+=51
222-=
有
，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.159222<<故选：B.
5．（全国高二（文））已知圆的标准方程是，圆：
1C ()()22
4425x y -+-=2C
关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（ ）
22430x y x my +-++=10x ++=1C 2C A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含
【答案】C
【解析】圆，表示以为圆心，半径的圆；因为圆
()()2544:2
2
1=-+-y x C ()4,41C 51=r 关于直线对称。

所以圆心在直线034:222=++-+my x y x C 013=++y x ⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-2,22m C 上，即，解得，
013=++y x 0
1232=+⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯+m 32=m 所以圆，，圆心，半径为()()
432:22
2=++-y x C ()
3,22-C 2
2=r 所以
，所以()()2
2213
424+
+-=
C C 5
27364252
1
+=<+<<-C
C 所以两圆相交，故选C
6．（四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知圆
和圆22
1:1C x y +=，若圆
和有公共点，则的取值范围是（ ）
()()
2
222:20C x y r r +-=>1C 2C r A ．
B ．
C ．
D ．
(]
0,1(]0,3[]
1,3[)
1,+∞【答案】C
【解析】圆
，表示以为圆心，半径的圆；1:2
21=+y x C ()0,01C 11=r
所以圆
，，圆心，半径为()()02:2
2
22>=-+r r y x C ()2,02C r r =2所以
，由于两圆有公共点，则
，解得2
21=C C 1
121+<<-r C C r 3
1≤≤r 所以两圆相交，故选C
7．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆，圆，则“
22
1:2880C x y x y +++-=()2222:0C x y r r +=>
是“圆与圆相交”的（ ）．
55r <<1C 2C A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】【分析】
根据两圆相交可求得，由此可判断和55r <<55r <55r <<+推理关系，即可得出答案.【详解】
圆的标准方程为，故，
1C ()()2
2
1425x x +++=1C 若圆与圆相交，则有，
1C 2C 1255r C C r
-<<+
，解得5r
<+55r <<55r <<
当满足55r <<55r <<+
故“是“圆与圆相交”的充分不必要条件，55r <<1C 2C 故选：A ．
题型二：圆与圆相交公共弦问题
【例1】（湖南湘潭市）已知圆与圆
相交于221:40C x y +-=22
2:44120C x y x y +-+-=,A B 两点，则两圆的公共弦AB =
A ．
B ．
C
D ．2
【答案】A
【解析】圆与圆两式相减得公共弦所在直线的方程为，因为圆的圆心为
1C 2C AB 02=+-y x 1C ，半径为，所以圆心到直线的距离为，则
()0,01C 2=r ()0,02
1
12002
2
=++-=
d 故选：A
2
2242222=-=-=d r AB 【例2】（2022·全国·高二课时练习多选题）圆和圆
221:20x y x O +-=22
2:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（
）
A ．公共弦A
B 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10
x y +-=C ．公共弦AB 的
1O 1【例3】（2022·河南·二模（文））已知圆与圆221:20C x y kx y +-+=22
2:20
C x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过点P ，则点P 的坐标为（ ）A ．B ．C ．
D ．(
)
1,1-(
)
1,1--()
1,1-()
1,1
【答案】A
【解析】由，
2220x y kx y +-+=2220x y ky ++-=两式相减得公共弦所在直线方程为：，
(2)20kx k y +--=分别取，得，解得，即0,2k k ==220220y x --=⎧⎨-=⎩1
1y x =-⎧⎨=⎩(1,1)
P -故选：A
【题型专练】
1．（2021·福建·南靖县第一中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
A ．过点且在、轴截距相等的直线方程为()1,2
P x y 30
x y +-=B ．过点且垂直于直线的直线方程为(
)
1,2-230x y -+=20
x y +=C ．过两圆及的交点的直线的方程是22640x y x y +++=22
4240x y x y +++-=20
x y ++=
()24y k x =-+1y =53,124⎡⎤
⎢⎥⎣
2.（天津市南仓中学高二期末）已知圆和圆
22
1:4C x y +=()222:2600C x y ay a ++-=>的公共弦长为，则实数的值为（ ）
2a A
B
C
D
．【答案】A
【解析】圆与圆两式相减得公共弦所在直线的方程为
，因为圆的圆心为1C 2C AB a y 1
=
1C ()
0,01C ，半径为，所以圆心到直线的距离为
，则2=r ()0,0a d 1=
214222
22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=a d r AB ，解得
因，故选：A
33
±
=a 0>a 题型三：两圆公切线问题
【例1】（2022·全国·高二课时练习）设圆，圆
，则圆221:244C x y x y +-+=22
2:680C x y x y ++-=1C ，的公切线有（ ）2C A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条
【例2】（2022·贵州·遵义四中高二期末）已知点，则满足点到直线()()2,3,5,1A B -A l
的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（ ）
1B l 3l
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】【分析】
以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，将所求转化为求圆与圆A 1B 3A B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】
以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，如图所示，
A 1
B 3由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数A l 1B l 3l 即为圆与圆的公切线条数，A B
因，所以两圆外离，
513
=>+所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.l 故选：D
【例3】（2022全国新高考1卷）写出与圆＋＝1和＋x y (x －3)(y －4)＝16都相切的一条直线的方程_______．
【答案】
或或3544y x =-+7252424y x =-
1x =-【解析】【分析】
先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
221x y +=()0,0
O 122(3)(4)16x y -+-=1O (3,4)4两圆圆心距
，等于两圆半径之和，故两圆外切，
5=如图，
当切线为l 时，因为
，所以，设方程为
143OO k =
34l k =-3
(0)
4y x t t =-+>O 到l 的距离
，解得
，所以l 的方程为，
1
d =
=5
4t =
3544y x =-+
当切线为m 时，设直线方程为，其中，，
0kx
y p ++=0p >
0k <由题，解得，14⎧=⎪⎪7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为，
1x =-故答案为：
或或
.3544y x =-+725
2424y x =-
1x =-【题型专练】
1．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））若圆
与圆22
1x y +=()()22
416x a y -+-=有3条公切线，则正数（ ）
=a
A ．3
B ．3
C ．5
D ．3或3
--
2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆
与圆
()2
21:9
C x y a +-=()2
22:1
C x a y -+=有四条公切线，则实数a 的取值可能是（ ）
A ．－4
B ．－2
C ．
D ．3
3.（2022·全国·高二课时练习）已知圆
，圆
()()2
2
:211
M x y -+-=()()22
:211
N x y +++=，则下列是M ，N 两圆公切线的直线方程为（ ）
A ．y ＝0
B ．3x －4y ＝0
C ．
D ．20
x y -+=20
x y -=【答案】ACD
【分析】先判断两圆的位置关系可知，两圆相离，公切线有四条，然后由圆的方程可知，两圆关于原点O 对称，即可知有两条公切线过原点O ，另两条公切线与直线MN 平行，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出直线方程，从而解出．
4．（2022·广东广州·高二期末）写出与圆
和圆221x y +=()()2
2
4316x y -++=都相切的一条切线方程___________.
题型四: 有关圆的轨迹方程
【例1】（广东）已知动点M 与两个定点，的距离的比为()0,0O ()3,0A 12
，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
【答案】
，以为圆心2为半径的圆22
(1)4x y ++=(1,0)-【解析】设点.则
，化简得：
(,)M x y 1
2
MO MA ==2222230(1)4x y x x y ++-=⇒++=为以为圆心2为半径的圆.
(1,0)-
【例2】已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；
(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．
【答案】（1）x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)（2）(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)【解析】(1)方法一　设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝
，k BC ＝，所以·＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.y x ＋1y x －3y x ＋1y x －3
因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．
方法二　设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝
12
|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．
所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．
(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝，y ＝
x 0＋3
2，y 0＋0
2
所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .
由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，
即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知点，
，动点
满足
()
0,1A ()
2,1B -()
,P x y 1PA PB ⋅= ，则点P 的轨迹为___________.
【答案】22
(1)3
x y -+=【解析】【分析】
用向量数量积的坐标运算表示已知等式化简即得轨迹方程，由方程可判断轨迹．【详解】
，
(,1),(2,1)PA x y PB x y =--=---
，
PA PB ⋅ 22
(2)(1)(1)211x x y y x x y =----+=-+-+=化简得：，所以，点P 的轨迹为圆：22(1)3x y -+=22
(1)3
x y -+=故答案为：
22
(1)3x y -+=【例4】（2022·全国·高二期中）当点A 在曲线
上运动时，连接A 与定点22
1x y +=()6,0B ，则AB 的中点P 的轨迹方程为______．【答案】221
(3)4
x y -+=
【解析】【分析】
设出点A 、P 坐标，根据中点坐标公式得到其关系，借助A 点在已知曲线上代入可得.【详解】
设，
00(,),(,)A x y P x y 则由中点坐标公式可得，代入得0026
2x x y y
=-⎧⎨=⎩221x y +=22(26)(2)1
x y -+=整理得P 的轨迹方程为.
221(3)4x y -+=故答案为：
221(3)4
x y -+=
【题型专练】
1．（全国高二课时练习）方程y
）
A ．一个圆
B ．两条射线
C ．半个圆
D ．一条射线
【答案】C
【解析】由，即y =2236y x =-2236(0)
x y y +=≥，∴曲线表示圆x 2＋y 2＝36在x 轴上方的半圆．故选：C.
2．（上海高二专题练习）已知圆过三个点，， ．C (1,0)M (3,2)N (5,0)R （1）求圆的方程；
C （2）过原点的动直线与圆相交于不同的、两点，求线段的中点 的轨迹．
O l C A B AB Q
【答案】（1）；（2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆（点22
(3)4x y -+=M 3
(,0)232M 在圆内，不与边界重合）．
C 【解析】（1）设圆方程为
，220x y Dx Ey F ++++=则
，解得
，
10
943202550D F D E F D F ++=⎧⎪
++++=⎨⎪++=⎩
605D E F =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
所以圆方程为，即
；22650x x y -++=22(3)4x y -+=（2）由（1），设
，则由 得，，即 ，
(3,0)C ()
,Q x y OQ QC ⊥0OQ CQ ⋅=
(,)(3,)0x y x y ⋅-=，．
2
2
30x x y -+=2239()24x y -+=
又在圆内部，所以的轨迹是以为圆心， 为半径的圆（点在圆内部）．Q C Q 3
(,0)
232Q C 3．（上海）圆C 过点，
，且圆心在直线上.
()
60A ，()
1,5B :2780l x y -+=（1）求圆C 的方程；
（2）P 为圆C 上的任意一点，定点
，求线段中点M 的轨迹方程.
()
8,0Q PQ 【答案】（1）；（2）
.22
(3)(2)13x y -+-=2
2
1113(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【解析】（1）直线的斜率
，
AB 50
116k -=
=--所以的垂直平分线m 的斜率为1.
AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为
，.
AB 61722x +=
=955
22y +==因此，直线m 的方程为
.即.
57122y x ⎛
⎫-
=- ⎪⎝⎭10x y --=又圆心在直线上，所以圆心是直线m 与直线的交点.联立方程组
l l ，解得102780x y x y --=⎧⎨-+=⎩3
2
x y =⎧⎨=⎩
所以圆心坐标为
，又半径
，
()
3,2
C r CA ==则所求圆的方程是
.22
(3)(2)13x y -+-=（2）设线段的中点
，
PQ ()
,M x y ()
00,P x y M 为线段的中点，则，解得PQ 008
2
02x x y y
+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩00
282x x y y =-⎧⎨=⎩代入圆C 中得
，()
28,2P x y -22
(283)(22)13x y --+-=即线段中点M 的轨迹方程为
.PQ 2
2
1113(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭4．（江苏）在半面直角坐标系中，如果点P 的坐标满足，其中(),x y cos sin x a r y b r θ
θ=+⎧⎨=+⎩θ为参数，．证明：点P 的轨迹是圆心为，半径为r 的圆．
0r >(),a b 【答案】证明见解析.
【解析】由可得，所以点的轨迹是圆心为，半径为cos sin x a r y b r θ
θ=+⎧⎨=+⎩222()()x a y b r -+-=P (,)a b r 的圆.
题型五：与圆有关的最值
【例1】（2022·全国·高二课时练习）过､(3,0)A -(3,0)B 两点的所有圆中面积最小的圆方程是___________.
【答案】22
9
x y +=【解析】【分析】
过､两点的所有圆中面积最小的圆是以AB 为直径的圆，由此可求得答案.(3,0)A -(3,0)B 【详解】
由题意知､的中点为 ,
(3,0)A -(3,0)B (0,0),||6AB =因为过､两点的所有圆中面积最小的圆是以AB 为直径的圆，(3,0)A -(3,0)B 此时圆的半径最小，
故该圆方程为：
，229x y +=故答案为：
22
9x y +=【例2】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则(1)的最大值和最小值分别为________和________；y
x (2)y －x 的最大值和最小值分别为________和________；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值分别为_______和_______．
【答案】（1） - （2）－2＋，－2－.（3）7＋4　7－4336633【解析】原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心， 为半径的圆．3(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x y x
＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时＝|2k －0|k 2＋1
3，解得k ＝±.所以的最大值为，最小值为－.
3y
x
33(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时＝，解得b ＝－2±，所以y －x 的最大值为－2＋|2－0＋b |
2
366
，最小值为－2－.
6(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋4，x 2＋y 2的最小值是(2－)2＝7－4.
333
（1） （3）
【例3】（2022·浙江宁波·高一期中）已知复数z 满足（i 为虚数单位），则
1i 1
z +-=z
的最大值为（ ）
A ．2
B C D ．1
1
1
【答案】B
【解析】令，x ，，则
，i z x y =+y ∈R ()1i 11i 1z x y +-=++-=即，表示点与点距离为1的点集，()()
22111x y ++-=(),x y ()1,1-
此时，圆i z x y =-=()()22111
x y ++-=上点到原点距离，所以的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，
z
而圆心到原点距离为1，
所以圆上点到原点的距离的最大．
1故选：B ．
【题型专练】
1．（全国高二课时练习）若，则的取值范围为 0x =2y
x -【答案】11[,22
-
【解析】因为所以
0x =x =-()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,
的几何意义是点与点连线的斜率
2y
x -(),x y ()2,0如图，
，()()0,1,0,1A B -()2,0P ，101022PA k -==--101022
PB k --==-所以的取值范围为故选：D
2y x -11[,22-
2.(保定质检)已知A (0,2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|PQ |的最小值是________．
【答案】　25
【解析】因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，
故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝的圆．
5设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，
故Error!解得Error!故A ′(－4，－2)．
连接A ′C 交圆C 于Q ，由对称性可知
|PA |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2.
53.（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））18
世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数
z OZ =z z Z 满足，则的最大值为（ ）
z 2z =34i z --A ．B ．C ．D ．3
579【答案】C 【解析】，对应的点的轨迹为圆；
2z = z ∴(),Z x y 224x y +=的几何意义为点到点的距离，
34i z -- (),Z x y ()3,4
.故选：C.
max 34i 27z ∴--==4.已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．
(1)求|MQ |的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．y －3x ＋2
【答案】（1）6 2（2）2＋，2－.
2233【解析】(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，
∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2.
2又|QC |＝＝4，∴|MQ |max ＝4＋2＝6，
2＋2 2＋ 7－3 22222|MQ |min ＝4－2＝2.
222(2)可知表示直线MQ 的斜率k .y －3x ＋2
设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.
∵直线MQ 与圆C 有交点，∴≤2，
|2k －7＋2k ＋3|
1＋k 22可得2－≤k ≤2＋，33∴的最大值为2＋，最小值为2－.y －3x ＋233。