2021_2022学年高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性3.3.2简单的线性规划

3.3.2 简单的线性规划问题
时间：45分钟 分值：100分
A 学习达标
一、选择题
1．线性目标函数z ＝x －y 在⎩⎨⎧
2x －y ＋1≥0
x －2y －1≤0
x ＋y ≤1
的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )
A ．(0,1)
B ．(－1，－1)
C ．(1,0)
D ．(12，12)
解析：
图1
z ＝x －y ，∴y ＝x －z ，∴线性目标函数z ＝x －y 取得最大值的可行解为(1,0)，故选C. 答案：C
2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2
D ．－2
解析：变量x 、y 的约束条件为⎩⎨⎧
x ≥0，
y ≥0，
x ＋y ≤1.
作出可行域，如图2所示，
当直线z ＝x －y 过可行域上点A 时，截距最小，z 最大，
又点A 坐标为(1,0)，所以z max ＝1.
图2
答案：B
3．若⎩⎨⎧
0≤x ≤1，0≤y ≤2，
2y －x ≥1.
则z ＝2y －2x ＋4的最小值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：本题可利用线性规划知识先求z ′＝2y －2x 的最小值，再求z ＝z ′＋4的最小值． 答案：C
4．设G 是平面上以A (2,1)，B (－1，－4)，C (－2,2)三点为顶点的三角形区域(包括边界点)，点(x ，y )在G 上运动，f (x ，y )＝4x －3y 的最大值为a ，最小值为b ，则a ＋b 的值是( ) A ．－1 B ．－9 C ．13
D ．－6
解析：利用线性规划知识求出f (x ，y )＝4x －3y 的最大值和最小值，即可求得a ＋b 的值． 答案：D
5．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 必须满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
5x －11y ≥－12，2x ＋3y ≥9，
2x ≤11.
x ，y ∈N
则z ＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90
D ．95
解析：由线性约束条件，作出可行域，根据题意，本题的最优解应该是整点解，验证后知z 的最大值是80，故选A. 答案：A
6．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≤0，
x －3y ＋5≥0，则z ＝log 2x －y ＋5
x ≥0.
的最大值为( )
A ．2
B ．log 25
C ．1
D ．log 210－log 23
解析：⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，
x ≥0.
则z ＝log 2(x －y ＋5)画出可行域，则y ＝x ＋5－2z .
当z 最大时只需5－2z 最小，当x ＝y ＝0时z max ＝log 25. 答案：B
二、填空题
图3
7．如图3所示，A (1,0)，B (0,1)，C (23，4
5)，目标函数t ＝ax －y 的可行域为四边形OACB ，
若当且仅当x ＝23，y ＝4
5时，目标函数t 取得最小值，则实数a 的取值X 围是________．
解析：方法1：k BC ＝－310，k AC ＝－125，平移斜率为a 的直线ax －y ＝0，由题意可知－12
5<a <
－3
10
. 方法2：由题意知，直线t ＝ax －y 过点A 或点B 的t 值都比它过点C 的值大，
即⎩⎨⎧
a ×0－1>23a －4
5，a ×1－0>23a －4
5
⇒－125<a <－3
10
.
答案：－125<a <－310
图4
8．图4中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，
x ≥0，y ≥0在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y 取
得最大值的点的坐标是________．
解析：首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z 最大． 答案：(0,5)
9．不等式组⎩⎨⎧
x －y ＋2≥0，
x ＋y ＋2≥0，
2x －y －2≤0
所确定的平面区域记为D .若点(x ，y )是区域D 上的点，则2x ＋y
的最大值是________；若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 上，则圆O 面积的最大值是
________． 解析：
图5
如图5，令z ＝2x ＋y 可知，直线z ＝2x ＋y 经过(4,6)时z 最大，此时z ＝14；当圆O ：x 2＋y 2＝r 2和直线：2x －y －2＝0相切时半径最大．此时半径r ＝25
，面积S ＝45π.
答案：14，4
5π
三、解答题
图6
10．已知⎩⎪⎨⎪⎧
11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，
6x ＋7y ≤42，
x ≥0，y ≥0.
求z ＝x ＋y 的最大值．
下列解法是否正确，如果不正确，请说明原因，并把正确解法写在下面．
作出可行域，如图6中阴影部分．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．
解方程组⎩⎨⎧
11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，
得点B 的坐标为(8027，7727)．∴z max ＝8027＋7727＝157
27.
解：错因分析：将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点，不是B 点而是A 点，究其原因是作图时的误差引起的，由于三条边界的直线的斜率依次是：－67，－75，－11
4，而目标函数z
＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－7
5之间，故经过B 时，则直线x ＋y ＝z 必在A 点的下方，
即B 点不是向上平移直线时最后离开的点，A 点才是最后离开的点． 正解：作约束条件的可行域，作直线l 0：x ＋y ＝0，将它向上平移， ∵1>0，∴z ＝x ＋y 的值也随之增加．当它经过A 点时，z 取得最大值．
解方程组⎩⎨⎧
7x ＋5y ＝35，
6x ＋7y ＝42，得⎩⎨⎧
x ＝35
19
，y ＝8419，
故z max ＝
3519＋8419＝11919
. 11．若二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围． 解：
图7
因为f (x )的图象过原点，所以可设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)． 所以f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .
所以⎩⎨⎧
1≤a －b ≤2，3≤a ＋b ≤4.
其图象如图7所示阴影区域．
因为f (－2)＝4a －2b ，作直线4a －2b ＝0，易知A 、B 点分别为使f (－2)取最小值点和最大值点，
列方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＝3，a －b ＝1得A (2,1)；⎩⎨⎧
a ＋
b ＝4，a －b ＝2，
得B (3,1)．
所以f (－2)min ＝4×2－2×1＝6，f (－2)max ＝4×3－2×1＝10，所以6≤f (－2)≤10.
B 创新达标
12．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为多少？
货物 体积每箱(m 3) 重量每箱50 kg 利润每箱(百元) 甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运限制
24
13
解：
图8
设托运甲货物和乙货物分别为x 箱和y 箱，则由表格中的条件知：⎩⎪⎨⎪⎧
5x ＋4y ≤24
2x ＋5y ≤13
x ≥0
y ≥0x ，y ∈N
再设该厂托运甲、乙两种货物所获利润为z ，则z ＝20x ＋10y ，作出可行域如图8，
由图分析知当直线z ＝20x ＋10y 经过直线5x ＋4y ＝24
与x 轴的交点时目标函数取最大值，但此点不是整点，故可求得当直线过(4,1)时，可获最大托运利润，所以托运甲货物4箱，托运乙货物1箱时可获得最大利润．。