人教A版选修2-2双基限时练18

双基限时练(十八)
1．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，用反证法求证a >0，
b >0，
c >0时的假设为( )
A ．a <0，b <0，c >0
B ．a ≤0，b >0，c >0
C ．a ，b ，c 不全是正数
D ．abc <0
答案 C
2．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A ．有一个解 B ．有两个解 C ．至少有两个解 D ．至少有三个解 答案 D
3．设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a
( )
A ．都大于2
B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2
解析∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋1
b
＋b＋
1
c
＋c＋
1
a
＝(a＋1
a )＋(b＋
1
b
)＋(c＋
1
c
)
≥2＋2＋2＝6.
由此可断定三个数a＋1
b
，b＋
1
c
，c＋
1
a
至少有一个不小于2.
答案 C
4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三个内角都大于60°
B．假设三个内角都不大于60°
C．假设三个内角至多有一个大于60°
D．假设三个内角至多有两个大于60°
答案 A
5．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
解析假设c∥b，则由c∥a，得b∥a，这与a，b是异面直线矛盾．故c与b不可能是平行直线．
答案 C
6．命题“在△ABC中，A＞B，则a>b”，用反证法证明时，假设
是________．
解析命题的结论是a>b，假设应是“a≤b”．
答案a≤b
7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．
答案a≠1或b≠1
8．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排列的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则________均为奇数．①
因为7个奇数之和为奇数，所以
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为________．②
而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③
②与③矛盾，故p为偶数．
答案①a1－1，a2－2，…，a7－7 ②奇数③0
9．求证：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
证明假设方程f(x)＝0在[a，b]上至少有两个实根α，β，即f(α)＝f(β)＝0，
∵α≠β，不妨设α>β，
又∵f(x)在[a，b]上单调递增，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，
∴f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实根．
10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2
＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．
解 设三个方程均无实根，则有
⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ1＝16a 2
－4(－4a ＋3)<0，Δ2
＝(a －1)2
－4a 2
<0，Δ3
＝4a 2
－4(－2a )<0，
解得⎩⎪
⎨⎪
⎧
－32<a <12
，a <－1或a >13
，－2<a <0，
∴－3
2
<a <－1，
所以当a ≥－1，或a ≤－3
2时，三个方程至少有一个方程有实根．
11．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c . 证明：2b ＝1a ＋1
c
不成立．
证明 假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b
ac
，
∴b 2＝ac . 又∵b ＝
a ＋c
2
，∴(
a ＋c
2
)2＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，即(a －c )2＝0，
∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，
∴2b ＝1a ＋1
c
不成立．
12.
如右图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
解(1)如右图，取CD的中点G，连接MG，NG，
∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2.
∵平面ABCD⊥平面DCEF，
∴MG⊥平面DCEF.
∴MG⊥GN.
∴MN＝MG2＋GN2＝ 6.
(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN.
由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF.
又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF.
∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF，
∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，
故假设不成立．
∴ME与BN不共面，它们是异面直线．。