试题君之单元测试君2018学年高二数学选修1-1第03章 导

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人教版选修1-1 第3章 导数及其应用
一、选择题
1．【题文】曲线()22e x f x x x =+-在点()()0,0f 处的切线的方程为（ ） A ．1y x =- B ．1y x =+ C ．21y x =- D ．21y x =+
2．【题文】若()cos f x x x =，则函数()f x 的导函数()f x '等于（ ） A ．1sin x - B ．sin x x - C ．sin cos x x x + D ．cos sin x x x -
3．【题文】下列函数求导运算正确的个数为( )
①(3x
)′＝3x
log 3e ； ②(log 2x )′＝1
ln 2
x ⋅； ③(e x )′＝e x ；
④(1ln x
)′＝x ； ⑤(x ·e x )′＝e x ＋1.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．【题文】已知函数()ln(1)f x ax =-的导函数是()f x '且(2)2f '=，则实数a 的值为（ ）
A ．12
B ．23
C ．3
4
D ．1
5．【题文】设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能是（ ）
6．【题文】已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()(21)ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线斜率为（ ）
A.2-
B.1-
C.1
D.2
7．【题文】曲线cos 16y ax x =+
1y x =+平行，则实数a 的值为 （ ）
A
8．【题文】函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B．a ＜1 C ．a ＜0 D ．a ≤1
9．【题文】已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A.－37
B.－29
C.－5
D.以上都不对
10．【题文】函数错误！未找到引用源。

的最大值为（ ）
A ．1e -
B ．e
C ．
2e 错误！未找到引用源。

D ．103
11．【题文】若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．),3(+∞
B ． ),3[+∞-
C ． ),3(+∞-
D ．)3,(--∞
12．【题文】已知()f x 是定义在区间(0)+∞，
上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，则（ ）
A.4(1)(2)f f <
B.4(1)(2)f f >
C.(1)4(2)f f <
D.(1)4(2)f f '<
二、填空题
13．【题文】已知直线e 1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为_____.
14．【题文】已知函数()y f x =(x ∈R )的图象如图所示，则不等式()0xf x '<的解集为
________.
15．
【题文】若曲线y
在点(P a 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
2，则实数a 的值是______．
16．【题文】已知2
()(1),()e x
f x x m
g x x =--+=，若12x x ∃∈R ，,使得
12()()f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围是_______．
三、解答题
17．【题文】已知函数2()ln f x ax b x =+在1x =处有极值
1
2
． （1）求,a b 的值；
（2）判断函数()y f x =的单调性并求出单调区间.
18．【题文】已知函数()2
ln f x x x x =--的导函数为()f x '．
（1）解不等式()2f x '<；
（2）求函数()()4g x f x x =-的单调区间．
19．【题文】某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m 与商品单价的降低值x （单位：元，
90<≤x ）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件.
（1）将一星期的商品销售利润y 表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
20．【题文】据统计，某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时，每小时
的耗油量y （升）与行驶速度x （千米∕时）之间有如下函数关系
：
已知甲、乙两地相距100千米.
（1）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
21．
（1）求()f x 的最小值；
（2）若()1f x ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.
22．【题文 】已知函数2
3()ln 42
f x m x x x =+
-． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求函数()f x 的极值；
（2）设3()4g x x =-，若()()()h x f x g x =-在(1,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围．
答题卡
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名和班级填写在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
人教版选修1-1 第3章 导数及其应用
参考答案与解析
一、选择题 1． 【答案】A
【解析】由题意得()01f =-，即切点的坐标为(0,1)-，又()22e x f x x '=+-，所以
()002e 1f '=-=，即切线的斜率为1k =，由直线的点斜式方程可得切线的方程为
(1)y x --=，即1y x =-，故选A ． 考点：导数的几何意义． 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】D
【解析】由题意得()cos (cos )cos sin f x x x x x x x x '''=+=-，故选D ． 考点：导数的计算． 【题型】选择题 【难度】较易 3． 【答案】B
正确的为②③，共2个.
考点：函数导数的运算.
【题型】选择题 【难度】较易 4． 【答案】B
B ． 考点：导数． 【题型】选择题 【难度】较易 5． 【答案】C
【解析】由导函数图象可知，函数()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，在()0,2上单调递减，故选C. 考点：函数导数与图象. 【题型】选择题 【难度】较易 6． 【答案】B
【解析】当0x >时，x
x x x f 1
2ln 2)(-+
='，则1)1(='f ， 函数()f x 是偶函数，1)1(-=-'∴f ，故选B.
考点：偶函数的性质，导数的运算． 【题型】选择题 【难度】一般
7． 【答案】A
【解析】因为()cos 16f x y ax x ==+，所以()cos sin f x a x ax x '=-，又因为曲线
cos 16y ax x =+
1y x =+平行，
A.
考点：两直线平行的性质，利用导数求曲线切线的斜率. 【题型】选择题 【难度】一般 8． 【答案】A
【解析】当0=a 时，x x f -=)(，在R 上为减函数，成立；当0≠a 时, )(x f 的导函数为13)(2-='ax x f ，根据题意可知，013)(2≤-='ax x f 在R 上恒成立，所以0a <且
0∆≤，可得0a <. 综上可知0≤a .
考点：导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立. 【题型】选择题 【难度】一般 9． 【答案】A
【解析】f′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)．当－2<x <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－2,0)上为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0,2)上为减函数，f (0)为极大值且
f (0)＝m ，∴f (x )max ＝m ＝3，此时f (2)＝－5，f (－2)＝－37. ∴f (x )在[－2,2]上的最小值为－37.
考点：函数的最值. 【题型】选择题 【难度】一般 10． 【答案】A
【解析】2
ln 1x
x
y -=
'，当0e x <<时，0>'y ，当e x >时，0<'y ，所以当e x =
考点：利用导数求最值. 【题型】选择题 【难度】一般 11． 【答案】B
【解析】∵2)(3-+=ax x x f ，∴f′（x ）=3x 2+a ， ∵函数2)(3-+=ax x x f 在区间[1，+∞）内是增函数， ∴f ′（1）=3+a ≥0，∴3a ≥-．故选B ．. 考点：利用导数研究函数的单调性. 【题型】选择题 【难度】一般 12． 【答案】B
【解析】设函数2()
()f x g x x =(0)x >，则243
()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x
''--'==<，
所以函数()g x 在(0,)+∞上为减函数，所以(1)(2)g g >，即22(1)(2)
12
f f >，所以4(1)(2)
f f >，故选B. 考点：利用导数研究函数的单调性；不等式恒成立问题. 【题型】选择题 【难度】较难
二、填空题 13．
【解析】设切点),(00y x P ，则00e 1y x =+，)ln(00a x y +=，
∴e a x 10=+，
1-，02e x ∴=-，3
e a ∴=.
考点：曲线的切线方程. 【题型】填空题 【难度】较易 14．
1
,0)(,2)2
【解析】当0>x 时，()0()0xf x f x ''<⇒<，观察函数)(x f 在),0(+∞上的图象，可得
)(x f 在)2,21(上单调递减，即当)2,21
(∈x 时，0)('<x f ，∴x ∈1(,2)2
；当0<x 时，
()0()0xf x f x ''<⇒>，观察函数)(x f 在()0-∞，上的图象，可得)(x f 在()0-∞，上单调
递增，即当()0x ∈-∞，时，()0f x '>，∴()0x ∈-∞，，综上，不等式的解集为
1
,0)(,2)2
.
考点：导数的运用. 【题型】填空题 【难度】一般 15． 【答案】4 【
解析】y '=
，则
切线斜率k
=
，则过(P a 的
切线方程
为
)y x a
-，与坐标轴交点分别为(),,0a ⎛- ⎝⎭
，又所成三角形面积为
2，
所以1222
a ⋅=，所以4a =.
考点：导数的应用. 【题型】填空题 【难度】一般 16．
【答案】1,e ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】易知2()(1)f x x m =--+的最大值为m ，()()e e e 1x x x g x x x '=+=+，当1x <-时，
()0g x '<，()g x 减函数，当1x >-时，()0g x '>，()g x 为增函数，所以()g x 的最小值
为()11e g -=-.12x x ∃∈R ，,使得12()()f x g x ≥成立，只需1
m e
≥-.
考点：利用导数判断函数的单调性. 【题型】填空题 【难度】较难
三、解答题 17．
【答案】（1）1
,12
a b ==- （2）()f x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞
【解析】（1
（2）由（1
()f x 的定义域为(0,)+∞，
令()0f x '=，则1x =或－1（舍去），当01x <<时，()0f x '<，
()f x 递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 递增.∴()f x 的递减区间是(0,1)，递增区间
是(1,)+∞.
考点：导数与函数的单调性，导数与函数的极值. 【题型】解答题 【难度】一般 18．
【答案】（1）()1,+∞ （2）()g x 的单调增区间为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【解析】（1）()()22110f x x x x '=+
->，由()2f x '<得()221100x x x
--<>， ∴()2200x x x +->>，∴1x >，则()2f x '<解集为()1,+∞.
（2）()()()()()2222
13222132
43ln ,g 3x x x x g x f x x x x x x x x x x +---+'=-=---=-+-==-，
∴203x <<时，()2
0,3
g x x '>>时，()0g x '<，
∴()g x 的单调增区间为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为2,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
考点：不等式的求解，利用导数研究函数的单调性． 【题型】解答题 【难度】一般 19．
【答案】（1）3254575675y x x x ∴=-+-+)90(<≤x （2）商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大
【解析】（1）依题意，设2kx m =，由已知有215⋅=k ，从而5=k ，
25x m =∴，232(145)(755)54575675(09)y x x x x x x ∴=--+=-+-+≤<. （2）易得215907515(1)(5)y x x x x '=-+-=---， 由0>'y 得51<<x ，由0<'y 得10<≤x 或95<<x ， 可知函数y 在[)1,0上递减，在()5,1递增，在()9,5上递减， 从而函数y 取得最大值的可能位置为0=x 或5=x ，
675x y
=
=∴当5=x 时，800max =y .
答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大. 考点：函数模型及其应用，导数的实际应用. 【题型】解答题 【难度】一般 20．
【答案】（1）17.5 （2）当汽车以80千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升
【解析】（1）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了
100
2.540=（小时）， 需耗油313
40408 2.517.512800080⎛⎫⨯-⨯+⨯= ⎪⎝⎭
（升）.
所以汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油17.5升. （2）当汽车的行驶速度为x 千米∕时时，从甲地到乙地需行驶
100
x
小时. 设耗油量为()h x 升，依题意，得32
131001()8128000801280
h x x x x x ⎛⎫=-+⋅= ⎪⎝⎭
800154x +-，0120x <≤，则()33
2280080()0120640640x x h x x x x
-'=-=<≤. 令()0h x '=，得80x =，当()0,80x ∈时，()0h x '<，()h x 是减函数；当()80,120x ∈时，
()0h x '>，()h x 是增函数，所以当80x =时，()h x 取得最小值(80)11.25h =.所以当汽
车以80千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 考点：利用导数求实际问题最值. 【题型】解答题 【难度】一般 21．
【答案】（1）1 （2）(],0-∞
【解析】（1
所以()e 1x f x x '=--,令()e x g x x =-
1-,则()e 1x g x '=-,所以当0x >时，()0g x '>,故()g x 在[)0,+∞上单调递增，所以当
0x >时，()()00g x g >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，故当0
x =时，取得最小值1.
（2）①当0a ≤时，对于任意的0x ≥，恒有11ax +≤，又由（1）得()1f x ≥，故
()1f x ax ≥+恒成立.
②当0a >时，
则()e 1x h x x a '=---，由（1）知
()e 1x g x x =--在[)0,+∞上单调递增，所以()e 1x h x x a '=---在[)0,+∞上单调递增，
所以函数()
h x '存在唯一的零点00,x ∈，当()00,x x ∈时，()()'0,h x h x <在[)00,x 上单调递减 ，所以当()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()1f x ax <+，不符合题意.综上，a 的取值范围为(],0-∞.
考点：利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性. 【题型】解答题 【难度】较难 22．
【答案】（1）极大值为7ln 36--，极小值为5
2
- （2）(],4-∞
【解析】（1）由23()ln 42f x m x x x =+-可得()34m
f x x x
'=+-，
由题意知(1)340f m '=+-=，解得1m =， 所以23
()ln 42
f x x x x =+-，
21341(31)(1)
()34(0)x x x x f x x x x x x
-+--'=+-==>．
当()0f x '>时，103x <<或1x >；当()0f x '<时，1
13
x <<．
所以()f x 的单调递增区间为1
(0,),(1,)3+∞,单调递减区间为1(,1)3
，
所以()f x 的极大值为113117
()ln 4ln 3332936f =+⨯-⨯=--，
极小值为35
(1)0422
f =+-=-.
（2）由233
()()()ln 442
h x f x g x m x x x x =-=+--+可得
2()343m h x x x x
'=+--，由()h x 在(1,)+∞上单调递减可得 2()3430m h x x x x
'=+--≤在(1,)+∞上恒成立， 即32334m x x x ≤-+在(1,)+∞上恒成立，
令32()334x x x x ϕ=-+，则22()964(31)30x x x x ϕ'=-+=-+>， 所以32()334x x x x ϕ=-+在(1,)+∞上单调递增. 故()3344x ϕ>-+=， 所以4m ≤，即实数m 的取值范围是(],4-∞.
考点：导数的几何意义；函数的极值；函数的单调性；函数与不等式．
【题型】解答题
【难度】较难。